1.3空间几何体的表面积与体积(1)

x 2r'
r'O’
2r
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
r O
r'O’ l
l
rO
O
S (r'2 r 2 r'l rl )
又4a2 = 2πra
∴r = 2 a
π
∴ 正方体的体积V正方体
=
a3 ,圆柱的体积V圆柱
=
πr
2a
=
4 π
a3
∴ V正方体 V圆柱
=
a3 4 a3
=
π 4
π
练习：
(1)圆柱的侧面展开图是边 长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面 积为 (2)正四棱锥的底面正方形 边长为4cm，高和斜高的夹角为 30°，
h
D
S C
B
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V 1 h[Sh (S S' )
S' ] 1 [S SS' S' ]h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh S' 0 V 1 (S' S'S S )h S' S V 1 Sh
第一章空间几何体
——柱、锥、台体的表面积和体积
复习引入：
投影
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物
平行投影 投影线平行
斜投影 不改变原 正投影 物形状
正视图
侧视图
三视图
俯视图
长对正、高平齐、宽相等
根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
视图
直观图 斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
abc - 1
5
6 abc
abc
6
A'
B'
D A
C B
∴V三棱锥C-A′DD′：V剩 = 1：5
方法二：
长方体可以看成侧棱垂 直于地面的四棱柱
ADD′A′- BCC′B′, 设它的底面 ADD′A′面积为S，高为h，则
V = Sh 而棱锥C -
A′DD′的底面积为1
S,
高为h,
2
∴V棱锥
=
1 3
×
四棱锥的侧面积和表面 积.
探究
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推 一下以改变其形状．
启发思考： 1) 推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大 小不变） 2) 推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行 六面体）还有什么共同之处？（高度没有改变，每页 纸张的顺序和面积也没有改变）
幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相等，那么这两个几何体的体积相等．
正棱锥的侧面展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
几何体表面积 展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
V柱体= sh
h S
h
S
S
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这
三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什 么关系？
3 2
1 1
3 2
A′
C′ A′
A′
B′
A′
C′
B′
B′
A
CA
C
C
C
思考： B
B
（1） VA' ABC 与 VC A'B'C ' 关系：
V V （2） A'BB 'C 与 A' B'C 'C 关系：
l
rO
S r2 rl r(r l)
2r
圆锥的侧面展开图是扇形
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r'O’
2r
l
S (r'2 r 2 r'l rl )
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S (r'2 r 2 r'l rl )
r' x
Hale Waihona Puke Baidur xl
1 2
S
•
h
= 1 Sh 6
∴V剩
=
Sh
-
1 6
Sh
=
5 6
Sh
∴V棱锥：V剩 =1：5
D' A'
D A
C' B'
C B
练习：
(1)求下列几何体的体积： ①长、宽、高分别为 3，4，5的长方体； ②底面半径为 3，母线长为 5的圆锥体； ③上、下底面边长分别 为3，5，高为4的正四棱台；
(2)圆锥中过高的中点且与 底面平行的截面把圆锥 分成两部分的体积之比 是：
B
V V A' ABC ＝ C A'B'C '
V V A'BB 'C ＝ A' B'C 'C
V V V V （3） C A'B'C '与
关系：
A' B'C 'C
C A'B'C ' ＝ A' B'C 'C
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
22
S
1
1
SSBC
2
BC
SD
a 2
3a 2
3 a2 4
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
B
DC
S 4 3 a 3a2 2
例2．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相 等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
解：设正方体的棱长和圆柱 的高(母线)长为a，圆柱的底面半径为 r，则
正方体的侧面积为 4a2 ,圆柱的侧面积为 2πra，
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 ．1
3
P
根据台体的特征，如何求台体的体积？ A
D
圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
S
C
B
V 1 (S' S'S S )h
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
A
1 [Sh (S S' )x] 3
学习新课：
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S
1 2
ah
1 2
ac sin
B
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
bh
2
r S r2
l
S 1 lr n r2
2
360
r
圆心角为n0
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，您知 道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
l
r
O
S r2 rl r(r l)
精讲精练：
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
方法一：
D'
C'
设AB = a, AD= b, DD′= c
则长方体ABCD- A′B′C′D′的体积
V长方体 = abc
又SΔ
= A′DD′
1 2
bc
且三棱锥C - A′DD′的高为CD = a
∴V三棱锥C -
= A′DD′
1 3
SΔ
• A′DD′
CD
= 1 abc
6
∴ 剩余部分的体积为：V剩
= =
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 的体积如何？
幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相等，那么这两个几何体的体积相等．
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 的体积如何？
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到， 因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱） 应该具有相等的体积．
3
3
精讲精练：
例1．一个圆台上底面半径为2，下底面的半径为3， 截得此圆台的圆锥的高为6，求此圆台的体积.
解： 如图，设圆台的高为 h，则
2 = 6-h 36 ∴h = 2 ∴V = π (22 + 2×3+32 )× 2
3 = 28π
3
6 2
h
3
例 如图所示，在长方体 ABCD - A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥C - A′DD′, 2． 求棱锥C - A′DD′的体积与剩余部分的体 积之比.