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第一章 随机事件及其概率总结

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第一章随机事件及其概率一、基本概念、基本定理、基本计算公式1．几个基本概念互不相容事件（即互斥事件）：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。

也可叙述为：不可能同时发生的事件。

如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生对立事件：对立事件亦称“逆事件”，不可能同时发生。

若A交B为不可能事件，A并B 为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

定义：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。

独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

2．（1）随机事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件。

随机事件具有以下特点：首先，事件的发生具有偶然性。

在一次试验中，它可能发生，也可能不发生；其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性。

（2）概率概率简单来说就是一个在 0 和 1 之间的数，用来度量在一定条件下事件发生的可能性大小。

两个极端情况是，在一定条件下必定发生的事件，其概率是 1；在一定条件下不可能发生的事件，其概率是 0。

任一事件的概率在 0 和 1 之间。

我们用 P(A)表示事件 A 的概率，用 S 表示必然事件，用 表示不可能事件，则有P(S)=1， 0≤P(A) ≤1.（3）条件概率a．条件概率P（A|B）与概率 P（A）的区别条件概率P（A|B）是指在添加条件“事件 B 发生”时，事件 A 发生的可能性大小，及P（A|B）仍是概率。

二者一般在数值上也不相同。

计算性质：b．积事件 P（AB）与条件概率 P（A|B）的区别初学者往往分不清求的是 P（A|B）还是P（AB），这是容易混淆的问题之一，尤其在实际计算问题中P（A|B）是指在 B 发生的条件下 A 发生的概率，而P（AB）是指 A、 B 同时发生的概率。

（4）独立性、相互独立a．正确理解独立的概念若两事件 A、B 满足 P(AB)=P(A)P(B)则称 A、B 相互独立，或 A、B 独立。

即：设两事件 A、B， .若 A、B 相互独立，则P(A|B)=P(A) 反之亦然。

若A与B相互独立，则与与，与也相互独立。

（别以为你穿马甲我就不认识你了）A B A B A B,b.多个事件相互独立（判断条件，例题）c ．独立与互斥的区别两个事件互斥是指两个时间不可能同时发生。

因而，当两个时间的概率都大于零时，若它们互斥，一个事件的发生必导致另一个事件的不发生，即一个事件的发生影响另一个事件发生的概率，所以两个事件不独立。

反之，若它们相互独立，即一个事件是否发生对另一个事件的概率没有影响，当然推不出一个事件发生，另一个事件不发生，所以两事件不互斥。

有命题： 若P(A)>0, P(B)>0,则 A 、B 互斥与独立不能同时成立。

（5）.从包含有n 个不同元素的总体中任意取出r （r ≤n ）个元素排成一列，就成为一个排列。

此时要顾及取出的顺序。

（重点）①有放回选取 每次选取的都是n 种可能，共有n^r 种取法；②不放回选取 第一次选取有n 种可能，第二次选取有n-1种可能，……第r 次选取有n-r+1种可能，共有A n r =n n −1 n −2 …(n −r +1)种。

i. 一次取一个a.又放回 n rb.无放回ii. 一次去多个（m 次）a.有放回 C n r mb.无放回 C n r C n−rr ……（m 次） 2.概率的两个定义统计定义 ()n P A m=古典概型()k P A n=3．有关条件的三个定理 ①加法公式 、乘法公式加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)，特别当AB 互斥时有P(AUB)=P(A)+P(B) ； 加法公式的推广乘法公式：若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A) 乘法公式的推广4.全概率公式和贝叶斯公式（必考大题）定义1.1 设S 为样本空间,设1A ,2A ，n A 为S 的一个划分组,若它满足(1)i j =A A ∅,i ,j=1,2,…,n ,i ≠j ;(2)12···n A A A ∪∪∪=S .则称1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组. 1.1 全概率公式全概率公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,P (i A )＞0(i =1,2…),则对于任意事件B ,有 [1]1()()(|)ni i i P B P A P B A ==∑.全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A (i =1,2…),并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P B A (i =1,2…)有关,且等于其总和11()()(|)nni i i i i P B A P A P B A ===∑∑.全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P B A ,或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2…).通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和. 1.2 贝叶斯公式贝叶斯公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,且()i P A ＞0(i =1,2,…),则对任何概率非零的事件B ,有1()(|)()(|)(|)()()(|)i i i i i njj j P A P B A P A P B A P A B P B P AP B A ===∑.在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件组.如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和,这些事件就是所求的一个完备事件组.至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发生的概率,应采用贝叶斯公式求之.如果事件B 能且只能在原因1A ,2A ,…n A 下发生,且1A ,2A ,…n A 是两两互不相容,那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率()i P A 以及在原因i A 发生下事件B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2,…)都是已知的,或都可求出,则:(1) 可使用全概率公式计算事件B 的概率.(2) 如果已知事件B 发生,要计算导致结果B 发生的原因i A 的可能性大小,即事件i A 的条件概率(|)i P A B 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把i A (i =1,2…)看成是导致事件B 发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果求因的概率计算公式.例1.1 设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑球,自甲箱中任意取2球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出2球,试求:(1) 从乙箱中取出的两球是白球的概率;(2) 在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率.解 (1) 从乙箱中取球(第二个试验)之前,要从甲箱中任意取两球放入乙箱(第一个试验),而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果,本题可用全概率公式来求解.将第一个试验的样本空间分解,即可求得完备事件组.因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,或者取得一黑球和一白球,或者取出两黑球,分别用1A ,2A ,3A 表示,则1A ,2A ,3A 即为所求的一个完备事件组,又设B 为乙箱中取出的两球是白球,则有21123322123222555331(),(),(),10510C C C C P A P A P A CCC======2232123225531(|),(|),(|)01010C C P B A P B A P B A CC=====.由全概率公式得到31()()(|)0.15iii P B P A P B A ===∑.(2)本题是在B 发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件1A 的概率有多大,须用贝叶斯公式,1111131()(|)()(|)(|)0.16()()(|)iii P A P B A P A P B A P A B P A P A P B A ====∑.例1.2 在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接受为1或0,现假设发送信号为0和1的概率均为1/2;又已知发送0时,接受为0和1的概率分别为0.7和0.3;发送信号为1时,接受为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时,发出的信号是0(即没有错误接受)的概率.解 设0A ={发送信号为0},1A ={发送信号为1},0B ={收到信号为0},1B ={收到信号为1},因为收到信号为0时,除来自发送信号确系为0外,还由于干扰原因,发送信号为1时,接受的信号也可能为0,因此导致事件0B发生的原因只有事件0A 与1A ,且它们互不相容,故0A 与1A 构成一完备事件组, 由题设,有0()P A =1()P A =12,00(|)P B A =0.7,01(|)P B A = 0.1,故0()P B =0()P A 00(|)P B A +1()P A 01(|)P B A =12⨯0.7+12⨯0.1=0.4.若接受信号0 时,发送信号是0的概率由贝叶斯公式得 000000()(|)(|)0.875()P A P B A P A B P B ==例1.3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率. 解 由于飞机被击落,必然是飞机被一人、二人或三人击中,如令C 表示事件飞机被击落,i B 表示事件飞机被i 人击中(i =0,1,2,3),1A ,2A ,3A 分别表示甲、乙、丙击中了飞机.因0B ,1B ,2B ,3B 两两互不相容,故0B ,1B ,2B ,3B 构成一个完备事件组,又由题设知1A ,2A ,3A 相互独立,且1()P A =0.4,2()P A =0.5,3()P A =0.7,故1()P B =123()P A A A +123()P A A A +123()P A A A =1()P A 2()P A 3()P A +1()P A 2()P A 3()P A +1()P A 2()P A 3()P A =0.4⨯0.5⨯0.3+0.6⨯0.5⨯0.7+0.6⨯0.5⨯0.3=0.36.同理可求2()P B =123()P A A A +123()P A A A +123()P A A A =0.4⨯0.5⨯0.3+0.4⨯0.5⨯0.7+0.6⨯0.5⨯0.7 = 0.41;3()P B =123()P A A A =0.4⨯0.5⨯0.7=0.14.又()i P B ＞0(i =0,1,2,3),且由题设有0(|)P C B =0,1(|)P C B =0.2,2(|)P C B =0.6,3(|)P C B =1.于是由全概率公式即得31()()(|)iii P C P B P C B ==∑= 0.36⨯0.2+0.41⨯0.6+0.41=0.728例1.4 两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率. 解 记事件1A 为“取到第一台车床加工的零件”,则12()3P A =,11()3P A =又记事件B 为“取到合格品”.显然1A ,1A 为一个完备事件组, 则知()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+=210.970.940.9633⨯+⨯=.且用贝叶斯公式可得到10.06()(|)3(|)0.50.04()P A P B A P A B P B ⨯===例1.5学生在做一道有4个选项的选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率.(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是12；(2)学生知道答案的概率是0.2.解 记事件A 为“题目答对了”,事件B 为“知道正确答案”,则按题意有(|)P A B =1，(|)P A B =0.25.(1)此时有()P B =()P B =0.5,所以由贝叶斯公式得()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+=0.510.510.50.25⨯⨯+⨯=0.8(2)此时有()P B =0.2,()P B =0.8,所以由贝叶斯公式得()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+ =0.210.210.80.25⨯⨯+⨯=0.5例1.6 有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件事一等品,现从两箱中任挑选出一箱,然后从该箱中先后任意取出两个零件试求：(1)第一次取出的是一等品的概率.(2)在第一次取出的是一等品的概率的情况下,第二次取出的仍是一等品的概率.解 记事件i A 为“第i 次取出的是一等品”,i =1,2.又记事件i B 为“取到第i 箱的零件”,i =1,2.则1A ,2A 为一个完备事件组.(1)用全概率公式可得1111212110118()()(|)()(|)0.4250230P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅= (2)又因为1211212122110911817()()(|)()(|)0.194232504923029P A A P B P A A B P B P A A B =+=⋅⋅+⋅⋅= 所以例1.7甲、乙轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第n 次由甲掷的概率.解 设事件i A 为“第i 次由甲掷骰子”,记()i i P P A =,i =1,2….则有11P =,15(|)6i i P A A +=,11(|)6i i P A A +=,那么1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.所以由全概率公式可知道1111()()(|)()(|)n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+ 则可得n 1115121(1)6636n n n P P P P ---=+-=+ ，2n ≥.由此可得递推公式1121()232n n P P --=-，2n ≥ ，所以得11121()()232n n P P --=-， 则将11P =，代入上式可得1112()223n n P --=由此得1121()23n n P -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， n =2,3,… 例1.8假设只考虑天气的两种情况：有雨和无雨.若已知今天的天气情况,明天天气保持不变的概率为P ,变的概率为1P -.设第一天无雨,试求第n 天也无雨的概率.解 设事件i A 为“第i 天无雨”,记()i i P P A =,i =1,2，…. 则有11P =,且1(|)i i P A A P +=, 1(|)1i i P A A P +=-.那么1A ,2A ,3A …为一个完备事件组所以又全概率公式可得 11(1)(1)n n P PP P P --=+--1(21)1n P P P -=-+-, 2n ≥. 得递推公式 111(21)()22n n P P P --=--,所以可知 1111(21)()22n n P P P --=--,则将11P =,代入上式可得 111(21)()22n n P P --=- 由此可得 111(21)2n n P P -⎡⎤=+-⎣⎦ ,n =2,3,….全概率公式用于已知原因求结果，而贝叶斯公式用于已知结果求原因。

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第一章 随机事件和概率

第一章 随机事件和概率

第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率第一节随机事件

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率第一节随机事件

ABC ABC, 或 ABC; (8) ABC ABC ABC ABC; (9) ( A B)C; (10) ABC ABC ABC.
二、事件的关系与运算
练产的第 i 个零件是正品( i 1, 2, 3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件:
(7) 不多于两个事件出现; (8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (1) ABC; (2) ABC; (3) ABC;
(4) A B C; (5) A B C;
二、事件的关系与运算
(6) ABC ABC ABC ABC; (7) ABC ABC ABC ABC ABC
而 x AB x A, x B
x AB x A , x B x A , x B
矛盾，从而：AB （1）
又若：AB A B AB A B A B A B
故： A B，即 ：A B
由（1）（2）知：A与B互为逆事件。
（2）
随机事件及其概率
第一节 随机事件
一、随机试验与随机事件
通常称满足以下三个条件的试验为随机试验，简 称试验，一般用字母E表示: (1)在相同条件下可以重复 (2)每次试验所有可能结果明确知道，且不止一个 (3)每次试验前不能准确地预言该试验出现哪种结果
试验中可能出现也可能不出现的结果称为随机事件， 用A,B,C表示 试验中必然发生的事件——必然事件—— Ω 试验中一定不发生的事件——不可能事件—— Ø 注：不可能事件和必然事件都视为随机事件
二、事件的关系与运算
练习3 若用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞
销”，则事件A 表示（ ）。
A．甲产品滞销，乙产品畅销; B. 甲、乙两产品均畅销; Ｃ. 甲产品滞销; Ｄ．甲产品滞销或乙产品畅销.
第一章随机事件和概率排列组合公式...

第一章随机事件和概率排列组合公式...

散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。分布
函数 F (x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
（6）事件 的关系与 运算
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
概型
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
L()
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,„)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,„，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
随机事件及其概率(知识点总结)

随机事件及其概率(知识点总结)

随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。