概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)

第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ． 10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为dcb a m E m E P π)()()(++=Ω=． 方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球， 则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

第1章 概率论的基本概念---随机事件与样本空间、概率、古典概型和几何概型系 班姓名 学号1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω=(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω=(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

用“0”表示次品，用“1”表示正品。

Ω=(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω=(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x (2)20>x 与20≤x (3)20>x 与18<x (4)20>x 与22≤x (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 (2)A 与B 都发生，而C 不发生 (3)A,B,C 中至少有一个发生 (4)A,B,C 都发生(5)A,B,C 都不发生 (6)A,B,C 中不多于一个发生 (7)A,B,C 中不多于两个发生 (8)A,B,C 中至少有两个发生4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A 表示“取 到的球的号码为偶数”，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取 到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1)B A (2)AB (3)C (4)C A (5)AC (6) AC(7)C B (8)BC 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.(1)B B A B A =(2)AB AB =(3)C B A C B A =(4)φ=))((B A AB(5)若B A ⊂，则AB A = (6)若φ=AB ，且A C ⊂，则φ=BC(7)若B A ⊂，则A B ⊂(8)若A B ⊂，则A B A =6、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品” (1,2,3,4)i =，用1234,,,A A A A 的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品；(2)至少有一个产品是次品； (3)只有一个产品是次品； (4)至少有三个产品不是次品7、 设,,E F G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式： (1) ()()E F E F (2) ()()()E F E F E F （3）()()EF F G解 :(1) (2) (3)8、 设事件,,A B C 分别表示开关,,a b c 闭合，D 表示灯亮，则可用事件,,A B C 表示： (1) D = (2) D =9、 (1)设事件,A B 的概率分别为51与41，且A 与B 互斥，则()P AB = . (2)一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只 球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 .(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 .(4) 设123,,A A A 是随机试验E 的三个相互独立的事件，已知12(),(),P A P A αβ==3()P A γ=，则123,,A A A 至少有一个发生的概率是(5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3 只球，则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 . （6）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则()P AB C = . (7)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . (8)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 10、若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB11、设,A B 是两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问(1)在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？12、设,,A B C 是三事件，且11()()(),()()0,()48P A P B P C P AB P BC P AC ======， 求,,A B C 至少有一个发生的概率.13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概率是多少？16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？18、设一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内 ( 其中D是由==+=所围成的 ) , 设事件A为：质点落在直线1y=的下x y x y0,0,2P A侧，求().第1章 概率论的基本概念---条件概率、事件的独立性系 班姓名 学号1、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回, 设(1,2,3.)i A i =表示第i 次抽到的是次品，求：()21P A A = ()21P A A = ()21P A A =()21P A A =()312P A A A =()312P A A A =2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。

《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。

分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。

()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。

例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。

分析：这是古典概型的问题。

另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。

解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。

只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。

注：这是加法公式的一个应用。

本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。

再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。

（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。

（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。

（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。

分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。

解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。

习题1（随机事件及其运算）一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件：事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ；事件A ，B ，C 都不发生为 ；事件A ，B ，C 至少一个发生为 ；事件A ，B ，C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是：1A 表示 ；321A A A 表示 ；321321321A A A A A A A A A ++表示 ；321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。

则式子ABC=C 成立的条件是 .二．选择题1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）.① A BC A = ； ② A BC A = ；③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A .2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）.① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”.3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）.① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥；③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .三．解答题1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。

有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P习题2（概率的定义及性质）一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中，有3把能开门。

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A）不可能事件（B）必然事件（C）随机事件（D）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A）{抽到的三个产品全是合格品} {抽到的三个产品全是废品}（B）{抽到的三个产品全是合格品} {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C）{抽到的三个产品中合格品不少于2个} {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D）{抽到的三个产品中有2个合格品} {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件不等价的是 [ C ]（A）（B）（C）（D）4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示 [ C]（A）二人都没射中（B）二人都射中（C）二人没有都射着（D）至少一个射中5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为. [ D]（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设，则表示 [ A]（A）（B）（C）（D）7．在事件，，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 [ A]（A）；（B）；（C）；（D）.8、设随机事件满足，则 [ D ]（A）互为对立事件 (B) 互不相容(C) 一定为不可能事件 (D) 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A，B满足，则称A与B互不相容或互斥。

2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为。

三、简答题：1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4)｝(3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。

习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =, 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n +=}.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABCABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A BC .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+.(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).○2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P AB P A P B P AB P AB =-=--+=, 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB . 解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+-=1.3()P A B -.(1) 如果A B B =, 即当A B ⊂时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S =时, ()P AB 有最小值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P AB C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有24C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是2924C C ;(2)两球中一黑一白的概率是115429C C C ;(3)至少有一个黑球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于65;(2) 两数之积小于14;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于12的概率.解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0<X , Y <1}.,(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-⨯⨯=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x⨯+=+≈⎰;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ⨯+-++-⎰⎰⎰≈0.593. (4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0<x , y <1}, 记A = {(x , y )|(x , y )∈S , |x -y |<12}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-⨯⨯⨯===, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求1234()P B B B B .解 用乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b ar a r b r a r b a b r b b +++⋅++⋅+++⋅+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=, 恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.又已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%,22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=⨯+⨯+⨯=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ⨯===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ⨯===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ⨯===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立.(C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D). (3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+-.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明P (B |A )=)(A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件.证 由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件A 与B 也独立, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从而()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立.3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+.由题设可知 A , B 和C 两两相互独立,,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅=从而29()3()3[()]16P AB C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯=(2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯= (3)()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总 习 题 一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396⨯=⨯.(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198⨯+⨯=⨯3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C ]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ]（A ）C A Y C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB Y C B A Y BC A ； （D ）A Y B Y C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互斥或互不相容 。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8.假设随机事件A,B 满足P(AB)=0，则 [ D ] （A ）A,B 互为对立事件 (B)A,B 互不相容（C ）AB 一定为不可能事件 （D ）AB 不一定为不可能事件 二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容 。

第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。

事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。

A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。

因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。

样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。

S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。

在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。

每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。

必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。

此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。

样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。

2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。

其运算规律也同集合间的运算规律。

(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。

若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。

(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。

同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。

可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。

(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。

概率论与数理统计练习题 (公共)系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中3．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] \（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销4．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。

以E 表示事件“电炉断电”，设(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增排列的温度值，则事件E 等于 (考研题2000) [ C ]（A ）(1)0{}T t ≥ （B ）(2)0{}T t ≥ （C ）(3)0{}T t ≥ （D ）(3)0{}T t ≥ 5．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是[ B ] （A ）136 （B ）118 （C ）112 （D ）1116．A 、B 为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ⋃===，则[ B ]（A ）()0.32P A B = （B ）()0.2P A B = （C ）()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A =7．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D ] ` （A ）4!6!10!⋅ （B ）710 （C ）410 （D ）4!7!10!⋅二、填空题：1．设1()()()4P A P B P C ===，1()0,()()8P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概率为 1/2 。

第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( ).(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ） ()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件 （C ）A B φ⋂=(空集)（D ）)()(B P A P ≥12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）.（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。

1第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”， 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解： 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解： （1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。

第一章 随机事件及其概率（概率论与数理统计）练习题1．写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品；(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球，从中任取一球：①得白球；②得红球．2．化简事件算式：)()()()(B A B A B A AB ⋅ ．3．就下列情况分别说明事件A ，B ，C 之间的关系：(1) A C B A =++；(2) A ABC =.4．试判断事件“A ，B 至少发生一个”与“A ，B 最多发生一个”是否是对立事件．5．下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A ， (2)A B A = ．6．掷一枚骰子的试验，观察其出现的点数，事件A =“偶数点”，B =“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D =“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系．7．将下列事件用A ，B ，C 的运算表示出来：(1) A 发生；(2) 只有A 发生；(3) 三个事件中恰好有一个发生；8．设某工人连续生产了4个零件，用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1，2，3，4)．试用事件的运算表示下列各事件：(1) 没有一个是次品；(2) 至少有一个是次品；(3) 只有一个是次品；(4) 至少有三个不是次品；(5) 恰好有三个是次品；(6) 至多有一个是次品．9．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1，2，3),B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务．说明事件C B B -与的含义，并且用i A (i =1，2，3)表示出来．10．设A ，B 为事件，问下列各事件表示什么意思? (1)B A ； (2)B A ； (3)B A ⋅．11．如图，事件A ，B ，C 都相容，即φ≠ABC ，把事件A +B ，A +B +C ，AC +B ，C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来．12．两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明．13．将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少?14． 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率．15．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．16．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．17．有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚，试求由它们所组成的所有可能的不同币值中，其币值不足一元的概率．18．一楼房共14层，假设电梯在一楼起动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的．试求下列事件的概率：1A ={10人在同一层下}； 2A ={10人在不同楼层下}；3A ={10人都在第14层下}； 4A ={10人中恰有4人在第8层下}．19．将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行，求恰好排成SCIENCE 的概率．20．一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1) 四张花色各异； (2) 四张中只有两种花色．21．袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A =“全红”，B =“全白”，C =“全黑”，D =“无红”，E =“无白”，F =“无黑”，G =“颜色全相同”，H =“颜色全不相同”，I =“颜色不全相同”．22．一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4人的生日在同一个月份的概率．23．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算)．24．从4双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2双；(2) 4只中恰有一双；(3) 4只中没有成双的．25．掷三颗骰子，得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26．将4个男生与4个女生任意地分成两组，每组4人，求每组各有2个男生的概率．27．设O 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C ，求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率．28．在A B C ∆中任取一点P ，证明：ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n． 29．设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(，用a ，b ，c 表示下列事件的概率： (1) )(B A P ， (2) )(B A P ， (3) )(B A P ， (4) )(B A P ⋅．30．设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== ．31．设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ，(1) 若A 与B 互斥，求()B P ；(2) 若A 与B 独立，求()B P ．32．已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求A ，B ，C 全不发生的概率．33．事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +．34．设事件A B ⊃，求证：)()(A P B P ≥．35．设事件B A ,的概率都大于0，比较概率)(A P ，)()(),(B P A P B A P ++， )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来)．36．已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==，求： )(A B P +， )(A B P -， )(A B P +．37．设21,A A 为两个随机事件，证明： (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=； (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ ．38．一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．39．在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历，得如下数据：(1) 813个男性；(2) 875个已婚；(3) 752个大专毕业生；(4) 632个男大专毕业生；(5) 572个已婚男性；(6) 654个已婚大专毕业生；(7) 420个已婚男大专毕业生．试说明这些数据中有错误．40．在某城市中发行3种报纸A ，B ，C ．经调查，在居民中按户订阅A 报的占%45，订阅B 报的占%35，订阅C 报的占%30，同时订阅A 报和B 报的占%10，同时订阅A 报和C 报的占%8，同时订阅B 报和C 报的占%5，同时订阅这3种报纸的占%3，试求下列事件的概率：(1) 只订B 报的；(2) 只订A 报和B 报两种的；(3) 只订1种报纸的；(4) 恰好订2种报纸的；(5) 至少订阅2种报纸的；(6) 至少订1种报纸的；(7) 不订报纸的；(8) 至多订阅1种报纸的．41．某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志；(2) 该职工不订阅杂志，但订阅报纸．42．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12，乙市全年雨天的比例为%9，甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%．试求下列事件的概率：(1) 甲、乙两市同为雨天；(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨．43．分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ，求：)|(B A P ， )|(A B P ， )(B A P +．44．设A 与B 独立， )(A P =0.4， )(B A P +=0.7，求概率)(B P ．45．设甲、乙两人各投篮1次，其中甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.7，并假定二者相互独立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一个投中的概率．46．甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中．47．甲乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?48．加工一产品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互独立，若某一道工序出废品即认为该产品为废品，求产品的废品率．49．加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．50．求下列系统(如图所示)的可靠度．假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立．51．某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数)．52．设事件n A A A ,,,21 相互独立，且i i p A P =)( ),,2,1(n i =，11=∑=ni i p ，试求：(1) 这些事件至少有一件不发生的概率；(2) 这些事件均不发生的概率；(3) 这些事件恰好发生一件的概率．53．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6．求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以%99以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮?54．甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求该密码能被译出的概率．55．上题中如改为n 个人组成的小组，在同一时间内分别破译某密码．并假定每人能译出的概率均为0.7，若要以%9999.99的把握能够译出，问至少需要几个人?56．对于三事件A 、B 、C ，若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立，则称A 与B 关于条件C 独立．若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立，且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9，=)|(C B P 0.9，2.0)|(=C A P ，1.0)|(=C B P ．试求)(,)(,)(B A P B P A P ，并证明A 与B 不独立．57．一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03，现在任意挑选5人，求下列事件的概率：(1) 2个人的血型为O 型，其他3人的血型分别为其他3种血型；(2) 3个人的血型为O 型，2个人为A 型；(3) 没有一个人的血型为AB 型．58．设1)(0<<B P ，证明：A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P ．59．设A ，B ，C 相互独立．证明：A 与C B 独立，A 与B -C 也独立．60．某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品，每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25，%35，%40，各条流水线的废品率分别是%5，%4，%2，求在总产品中任取一个产品是废品的概率．61．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的%45，%35，%20．如果各车间的次品率依次为%4，%2，%5．现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．62．某种同样规格的产品共10箱，其中甲厂生产的共7箱，乙厂生产的共3箱，甲厂产品的次品率为101，乙厂产品的次品率为152，现从这10箱产品中任取1件产品，问：(1) 取出的这件产品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率．63．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买．求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α；(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率β．64．一道选择题有4个答案，其中仅1个正确．假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案)．如果已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少?65．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1．当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少?66．A 地为甲种疾病多发区，该地区共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟，2‟，5‟，求A 地的甲种疾病的发病率．67．盒子里有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒子，第二次比赛时再从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率．68．已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1．现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品．69．在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59，试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70．按某种要求检查规则，随机抽取4个梨，如果4个梨全是熟的，则所有梨都将在餐厅做饭后食用．一批梨仅有%80是熟的，问能做餐用的概率是多少?答案1．(1) 记9件合格品分别为：正1，正2，…，正9，不合格品为次，则 {=Ω(正1，正2)，(正1，正3)，…，(正1，正9)，(正1，次)， (正2，正3)，…，(正2，正9)，(正2，次)，…………………………，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}，{=A (正1，次)，(正2，次)，(正3，次)，……，(正9，次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω，3个黑球分别为321,,b b b ，4个红球分别为4321,,,r r r r ．则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ，4321,,,r r r r }，① {=A 21,ωω}； ② {=B 4321,,,r r r r }2．Ω3．A +B +C =A 表明B +C A ⊂．但B ，C 可以互斥、相容或包含； ABC =A 表明A BC ⊂．但B ,C 的交必须是非不可能事件4．不是对立事件5．(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的， 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ，因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的， 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ，因此有B ⊂A 6．A 与B 为对立事件，B 与D 互不相容，A ⊃D ，C ⊃D ．7．(1) A ； (2) C B A ； (3) C B A C B A C B A .8．(1) 4321A A A A ； (2) 4321A A A A ；(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ；(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9．323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务； B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10．(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生；(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生；(3) B A 表示A 、B 都不发生11．AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(；C B A B A A C B A ++=++；A C +B =C B A B +； BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12．对立一定互不相容(φ=A A )；互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如，E ：掷骰子．事件{=A 出现点数为1，2}，事件{=B 出现点数为3，4}，{=C 出现点数为3，4，5，6}，则A 与B 互不相容，A 与C 对立．13．121 14．2815 15．158 16．43 17．0.492118．1111043.9)(-⨯=A P ； 721024.1)(-⨯=A P ；1231025.7)(-⨯=A P ； 341055.4)(-⨯=A P19．七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法，将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中，恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)， 于是≈=50404p 0.000794 20．(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ；(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21．27131)()()(3====C P B P A P ， 27832)()()(33====F P E P D P ， 91271271271)(=++=G P ， 9227123)(=⋅⋅=H P ， 98)(1)(=-=G P I P 22．0.007323．24.03653641100100=- 24．从4双即8只鞋中任取4只，故基本事件数为48C ，(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”，故有利事件数为C 24，其概率为4824C C =353． (2)为使4只中恰有1双，可设想为先从4双中取出1双，再从余下的3双中取出2双，然后从这2双中各取1只．因此，有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ，其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C ． (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”．因此，有利事件数为162222=⋅⋅⋅，其概率为3581648=C 25．每颗骰子有6个点，因此基本事件总共有216666=⋅⋅个，只要掷出的三个点由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6组成，不论它们出现的次序怎么样，都是有利事件．因此欲求之概率为91216!34=⨯． 26．3518 27．不妨设AB =1， AC =x ，则CB =1-x ， AO =21， AC ，CB ， AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121， 即4341<<x ． 将AB 等分成四小段，第二及第三小段组成有利事件，因此欲求之概率为2142= 28．(如图)截取CD nD C 1='，当且仅当点P 落入△B A C ''之内时，△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-，故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积．29．(1) 1-c ； (2) b -c ； (3) 1-a +c ； (4) 1-a -b +c30．0.331．0.3；0.532．127 33．134．略35．)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36．b +0.7a ； b -0.3a ； 1-0.3a37．(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式，而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38．0.37539．设从1000名技术员中任意地抽取一人．以A 记事件：“抽取男性”，B 记事件：“抽取已婚者”，C 记事件：“抽取大专毕业生”．按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1．得出矛盾，因此所给数据有错误40．(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90；(7) 0.10； (8) 0.8341．(1) 0.988； (2)0.05842．(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.914343．0.7； 0.7； 0.5244．5.045．(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446．(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 0.97647．甲先投中的概率大48．0.649．0.448．50．(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成，每个子系统又由三个元件串联而成．因此每个子系统的可靠度为321p p p ，整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --．(2) 这个系统由三个子系统串联而成，第一、第三个子系统只由一个元件组成，第二个子系统由三个相同的元件并联而成．因此，三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --，整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --．(3) 这个系统由两个子系统并联而成，第一个子系统由两个二级子系统串联而成，而第一个二级子系统又由两个元件并联而成．因此，第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --，整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51．0.42； 0.58×0.42； 0.581-m ×0.4252．(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([．53．用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”．则 ,2,1,6.0)(==k A P k ， (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P ， (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P ， 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取， 故至少需要6门高射炮，同时发射一枚炮弹，可保证%99的概率击中飞机54．0.97655．1256．55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ，50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P ， )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=，由A ，B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P ， 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ，所以A ，B 不独立57．(1) 从5个人任选2人为O 型，共有25C 种可能，在其余的3人中任选一人为A 型，共有3种可能，在余下的2人中任选1人为B 型，共有2种可能，另1人为A B 型，因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ；(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ；(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58．必要性 因为A 与B 独立，则)|()()|(B A P A P B A P ==． 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =， [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-，)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 独立．59．)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立，同理可证A 与B -C 也独立．)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=．60．0.034561．0.51462．(1) 0.11； (2) 0.6364； 0.363663．记A ：顾客买下所察看的一箱玻璃杯，i B ：箱中有i 件次品(2,1,0=i )，由题设知，8.0)(0=B P ，=)(1B P 1.0)(2=B P ，所以1)|(0=B A P ，54)|(4204191==C C B A P ，1912)|(4204182==C C B A P ， (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α， (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64．以A 记事件：“学生知道正确答案”，则A 表示事件：“学生在乱猜”以B 记事件：“学生答对了”．易见B A ⊂．因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P ， 此外，按题意有41)|(=A B P ，由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P ， 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65．以1A 表示“任取一台机床是车床”；2A 表示“任取一台机床是钻床”；3A 表示“任取一台机床是磨床”；4A 表示“任取一台机床是刨床”；B 表示“任取一台机床，它需要修理”．由题设知15912399)(1=+++=A P ，153)(2=A P ，152)(3=A P ，151)(4=A P ， k k A B P 711321)|(1=+++=，k A B P 72)|(2=，k A B P 73)|(3=， k A B P 71)|(4=，其中k 为比例常数．由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66．3.5‟67．设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ，{=B 第二次取出的球全是新球}，则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C ， )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68．设{=A 取出正品}，{=B 使用n 次均无故障}，已知10010)(=A P ，按题目要求应有70.0)|(≥B A P ，而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯， 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ，由此得29≥n ． 69．设在1次试验中A 出现的概率为p ，则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -，从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41，所以p =0.270．设A =“随机抽取一个梨是熟的”．则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验，且)(A P =548.0=，设B =“4个梨都是熟的”，则 4096.0625256)8.0()(444===C B P ， 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。

1A.事件A 、B 互不相容B.事件A 、B 互逆第一章随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件，则与 A 一定互不相容的事件为 (A )A _.B _.C ( B )AB 一 AC( C ) ABC( D )A(B C)2. 对于任意二事件 A 和B ,与A B = B 不等价的是(A ) AuB (B ) BUA (C) AB =@(D ) AB=@3 •设A 、B 是任意两个事件， AUB , P(B)A O ，则下列不等式中成立的是()A. P(A)cP(AB)B. P(A)兰 P(AB)C. P(A)>P(AB)D. P(A)启 P(A B)4 •设 OvP(A)c1，OcP(B)c1，P(A B)+P(AB) =1，则()A.事件A 与B 互不相容B.事件A 与B 相互独立C.事件A 与B 相互对立D.事件A 与B 互不独立5.设随机事件 A 与B 互不相容，且P A i ；=p, P B i ； = q ，则A 与B 中恰有一个发生的概率 等于()B. P q - pq D. p 1 -q q V pP A-B 二()B. P A -P B P AB D. P A P A - P AB7 •若A 、B 互斥，且P A O,P B O ,则下列式子成立的是()A. P(AB)=P(A)B. P(BA)>0C. P(AB ) = P(A)P(B )D. P(BA)=O&设P(A) =0.6,P(B) =0.8,P(B A) =0.8，则下列结论中正确的是()A. p q C. 1-P -q6 .对于任意两事件 A 与B ,A. P A -P B C. PA -P ABC.事件A、B相互独立D. A _ B9 •设A、B互不相容，P A =0,P B =0，则下列结论肯定正确的是(A. A与B互不相容B. P(BA)》0C. P AB =P A P BD. P A-B 二P A10•设A、B、C 为三个事件，已知P(B A )=0.6, P(C AB )=0.4 ,则P(BC A )=( )A. 0.3B. 0.24C. 0.5D. 0.2111. 设A , B 是两个随机事件，且0<P(A)<1 , P(B)>0 , P(B |A) = P(B | A)，则必有(A) P(A|B) =P(A|B) ( B) P(A|B) =P(A|B)(C) P(AB) =P(A)P(B) ( D) P(AB) = P(A)P(B)12. 随机事件A, B，满足P(A) = P(B) = 1和P(A . B) =1，则有2(A) A_. (B) AB = ( C) P(A B) =1 (D) P(A-B) =013. 设随机事件A与B互不相容，P(A) 0，P(B) 0，则下面结论一定成立的是(A) A , B为对立事件(B) A, B互不相容(C) A, B不独立 (D) A, B独立14. 对于事件A和B,设A—：B , P(B)>0，则下列各式正确的是(A)P(B|A)=P(B) ( B) P(A|B) =P(A) ( C) P(A B) =P(B) ( D) P(A B^P(A)15. 设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则(A) P(C) _P(A) P(B) -1 ( B) P(C)_P(A) P(B)-1(C) P(C) =P(AB) ( D) P(C)=P(A_.B)16. 设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1。

第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。

2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =U ；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =U ；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U ； （B ）()()()P A B P A P B ≠+U ；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。

概率论与数理统计习题集第一章 随机事件及其概率一、填空题1、袋中有a 只白球，b 只红球，k 个人（k a b ≤+）依次在袋中取一只球，在不放回抽样下，求第2个人取到白球的概率_______.2、设B A ,是两个事件，已知1()4P A =，1()2P B =，1()8P AB =，则()P AB =_______.3、袋中装有10只球，其编号为1,2,,10.从中任取3只球，则取出的球中最大号码为5的概率是_______.4、设A 与B 为两个事件，()0.4P A B ⋃=，则()P AB =____.5、设A 与B 为两个互不相容的事件，()0.4,()0.5P A P B ==，则()P AB =____.6、某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9，今对3个患者进行了治疗，对各个患者的治疗效果是相互独立的，则对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的概率_____.7、设B A ,两事件相互独立，6.0)(=⋃B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P _________.8、3个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,,543则三人能同时译出密码的概率是________.9、设事件B A ,相互独立，()0.3,()0.18P A P AB ==，则()P B =_______. 10、设C B A ,,为事件，B A ,至少有一个发生，但C 不发生的事件可以表示为_______.11、甲、乙两人分别独立破译某个密码，设甲、乙单独译出的概率是0.4，0.7，则密码能译出的概率是_______.12、设C B A ,,为事件，B A ,发生，但C 不发生的事件可以表示为_______. 二、选择题1、向指定的目标射三枪，以321,,A A A 分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，则“只击中第一枪”用321,,A A A 表示为_______.（A ） 1A (B) 321A A A (C) 321A A A (D) 321A A A ⋃⋃2、设事件A ，B ，()0,()0,P A P B >>且A B ⊂，则下列命题正确的是_____. (A)()()()P A B P A P B ⋃=+ (B)()()()P AB P A P B =(C)()()()P A P A B P B =(D)()()()P A B P A P B -=- 3、设A ，B 是任意两个事件，则()P A B -=_____. (A)()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+ (C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-4、设A 与B 互不相容，0)(,0)(>>B P A P ，则___________一定成立.（A ） )(1)(B P A P -= （B ） 0)(=B A P （C ） 1)(=B A P （D ） 0)(=AB P 5、向指定的目标射击三枪，若以321,,A A A 分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，则“至少击中一枪”用321,,A A A 表示为_________. （A ）1A （B ）321A A A ⋃⋃ （C ）321A A A （D ）321A A A6、设事件A 与B 互不相容，()0P B >，则_______一定成立.（A ） ()0P B A > （B ）()()P A B P A = （C ）()0P A B = （D ）()()()P AB P A P B = 7、从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为_______.（A ） 121 （B ）1221 （C ）821 （D ）13218、设A 与B 是两个事件，已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ==⋃=，则()P AB =_______.（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.5 （D ）09、设事件A 与B 相互独立，()0>A P ，()0P B >，则_______一定不成立.（A ） ()0P B A > (B) ()()P A B P A = (C) ()0P A B = (D) ()()()P AB P A P B =10、设每次试验成功的概率是)10(<<p p ，则3次重复独立试验都失败的概率为_______.（A ） 3p (B) 3)1(p - (C))1()1(22p p p p -+- (D) 1-3p11、设事件A 与B 互不相容，0)(,0)(>>B P A P ，则_______一定成立.（A ） )(1)(B P A P -= (B) 1)(=B A P (C) 1)(=B A P (D) 1)(=AB P12、设A 与B 是两个事件，已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ==⋃=，则()AB P =_______.（A ） 0.1 (B) 0.3 (C)0.5 (D) 0.4三、综合计算题1、计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04.已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？ 2、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的患者有85%给出了正确结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎.已知人群中有10%的人患有关节炎.问一名被检验者经检验，认为他没有患关节炎，而他却患有关节炎的概率？3、某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多大.4、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率.若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少.5、一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率.通讯线 通讯量的份额 无误差的讯息的份额 1 0.4 0.9998 2 0.3 0.9999 3 0.1 0.9997 4 0.20.99966、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.7、假设有同种零件两箱，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。