概率论第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。

这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。

这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。

随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。

举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。

样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。

上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件试验£样本空间。

概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。

例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。

第一章随机事件及其概率一、内容提要 （一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。

记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。

“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ，B 为随机试验E 的两个事件。

1第一章 随机事件及其概率第一节 随机事件一. 必然现象与随机现象在自然界里，在生产实践和科学实验中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型。

一类是可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展。

我们把这一类型现象称之为确定性现象或必然现象。

如在一个大气压下，水在100度时会沸腾等。

一类是事前不可预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去状况，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定。

这一类型的现象我们称之为偶然性现象或随机现象。

如掷一个质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，或是背面向上。

二. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为ω；它们的全体称为样本空间, 记为Ω.事件 是指某一可观察特征的随机试验的结果。

基本事件是相对观察目的而言不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.如掷一枚骰子，向上的一面会出现1点，2点，3点，4点，5点，6点。

则样本点有6个。

若记,16i i i ω=≤≤，i ω即为样本点。

样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=。

记{}i i A ω=，i A 为一个基本事件，把“出现偶数点”这样一个事件记为B ，则246{,,}B ωωω=。

B 为一个复合事件。

三. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,第二节 随机事件的概率一. 概率的定义定义1 设E 是随机试验, Ω是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件:1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：()1P Ω=;3. 可列可加性：设 ,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i AP A P2则称)(A P 为事件A 的概率.二. 概率的性质性质1：()0P ∅=。

第一章随机事件及其概率习题一1 举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.解(1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件，｛ｖ１０≤１０｝——必然事件，｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件；(2)掷一枚骰子试验中，｛出现偶数点｝——随机事件，｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件，｛出现点数小于7｝——必然事件，｛点数不小于7｝——不可能事件；(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件，｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件.2 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：(1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ；(2)ｘ＞２０与ｘ≤２０；(3)ｘ＞２０与ｘ＜１８；(4)ｘ＞２０与ｘ≤２２；(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与__A是两个对立事件，则A__A＝Φ，A＋__A＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝Φ，且Ａ＋Ｂ⊂Ω.(1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝Φ，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝⊂Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件；(2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件；(3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件；(4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠Φ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件；(5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝Φ，Ａ＋Ｂ⊂Ω＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件；(6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件.3 写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间Ω＝｛３，４，…，９，１０｝;(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间Ω＝｛１０，１１，１２，…｝;(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间Ω＝｛v｜v＞０｝.若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间 Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝.4 事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义?解(1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝ .5 设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：(1)仅仅A发生；(2)三个事件都发生；(3)至少有两个事件发生；(4)恰有一个事件发生；(5)没有一个事件发生；(6)不多于两个事件发生.解（１）Ａ__B__ C；（２）ＡＢＣ；（３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ；（４）Ａ__B__C∪__AＢ__C∪__A__BＣ；（５）__A__B__C；（６） ＡＢ__ C.7 袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.8 一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200. 设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194 个合格品中获得，从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.9 两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.解将两封信随机地投入四个邮筒，共有4×４＝１６种投法，即ｎ＝１６.设 Ａ＝｛第二个邮筒恰好投入一封信｝，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为ｋ＝２×３＝６，故Ｐ（Ａ）＝ｋ/ｎ＝６/１６＝３/ ８.10 在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.解设事件A＝｛最小号码为5｝，事件B＝｛最大号码为5｝，则Ｐ（Ａ）＝Ｃ２５/Ｃ３１0＝１/１２，Ｐ（Ｂ）＝Ｃ２４ /Ｃ３１０＝１/２０.11 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件Ａ＝｛指定的三本书放在一起｝，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故Ｐ（Ａ）＝k/n=A33A88/A1010≈０.０６７.12 甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A＝｛两人能会面｝，以ｘ，ｙ分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件为｜ｘ－ｙ｜≤１０， 即Ａ＝｛（ｘ，ｙ）：｜ｘ－ｙ｜≤１０｝.这是一个几何概率问题，样本空间为Ω＝｛（ｘ，ｙ）：０≤ｘ，ｙ≤６０｝，Ｐ（Ａ）＝Ｌ（Ａ）/Ｌ（Ω）＝６０２－５０２/６０２＝11/36.13 在一间房里有四个人，问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的，故基本事件的总数为12４.设事件Ａ＝｛四个人生日均不在同一个月｝，则Ｐ（__A）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－A４１２/12４＝７３８/１７２８＝４１/９６.14 设有10件样品，编以号码0~9，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的样品”；A１表示“取到号码为1的样品”，A２表示“取到号码为2的样品”，Ａ３表示“取到号码大于7的样品”，分别求A１，A２，Ａ３的概率和A１，A２，Ａ３对B的条件概率，并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:Ｐ（A１）＝1/10，Ｐ（A2）＝1/10，Ｐ（A3）＝2/10=1/5，Ｐ（A１｜Ｂ）＝０，Ｐ（A2｜Ｂ）＝ 1/5，Ｐ（A3｜Ｂ）＝ 1/5 .15 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通}, __A={三次每次都不通},A i={第i次接通}(i=1,2,3).易知，__A=__A1__A2__A3，故P(__A1)=9/10, P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1- P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数，从0到9有十个数，其中五个是奇数，则P(__A1)=4/5, P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1- P(__A)=1-2/5=3/5.16 考察甲、乙两地出现春旱的情况，以A，B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知Ｐ（Ａ）＝０．２，Ｐ（Ｂ）＝０．１５，Ｐ（ＡＢ）＝０．０８，求 Ｐ（Ａ｜Ｂ），Ｐ（Ｂ｜Ａ）及Ｐ（Ａ∪Ｂ）.解由题设可知:Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）＝０.０８/０.１５＝8/15，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ａ＝０.０８/0.２＝２/５，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０.２＋０.１５－０.０８＝０.２７.17 掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点(事件B)，问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B＝｛第一粒骰子掷出幺点｝，事件Ａ＝｛掷出点数之和不小于10｝，由题设可知，若第一粒掷出幺点，第二粒可能掷出3、4、5、6点；若第二粒掷出3点，第三粒必掷出6点；第二粒掷出4点，第三粒可能为5、6点；第二粒掷出5点，第三粒可能掷出4、5、6点；第二粒掷出6点，第三粒可能掷出3、4、5、6点，则Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）=10/36=5/18.18 甲、乙二人射击，甲击中的概率为0 8，乙击中的概率为0 7，二人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：(1)中靶的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件，则事件A与B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．７，于是，所求概率为(1)Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．８＋０．７－０．７×０．８＝０．９４；(2)Ｐ（Ａ__B）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（__B）＝０．８×（１－０．７）＝０．２４；(3)Ｐ（__AＢ）＝Ｐ（__A）Ｐ（Ｂ）＝（１－０．８）×０．７＝０．１４.19 从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，车间的分机占线的概率为0.3，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A，B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件，则事件A，B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．６，Ｐ（Ｂ）＝１－０．３＝０．７，所求概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．６×０．７＝０．４２.20 设事件A，B的概率均不为0，证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有(1)因A，B两事件相互独立，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞0，有P（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞ ０，故ＡＢ≠Φ，即A、B不互不相容;(2)因ＡＢ＝Φ，故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Φ）＝０，而Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，故Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞０， 于是Ｐ（ＡＢ）≠Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），即A与B不相互独立.21 有四个大小质地一样的球，分别在其上写有数字1，2，3和“1，2，3”，令Ａ ｉ＝｛随机抽出一球，球上有数字ｉ｝(ｉ＝１，２，3).试证明A１，A２，Ａ３两两独立而不相互独立.证由题设可知Ｐ（A１）＝1/2，Ｐ（A2）＝1/2，Ｐ（A3）＝1/2,且Ｐ（A１A２）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A１A3）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A2A3）＝1/4= 1/2×1/2 .以上等式说明A１，A２，Ａ３两两独立.但Ｐ（A１A２Ａ３）＝1/4≠1/2×1/2×1/2＝Ｐ（A１）Ｐ（A2）Ｐ（A3）.可见事件A１A２Ａ３不相互独立.22 加工某一零件共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％，3％，5％，3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解设Ａｉ＝｛第ｉ道工序出次品｝，ｉ＝１，２，３，４.又设Ａ＝｛零件为次品｝，则有Ａ＝A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４.由题知，A１，A２，Ａ３，Ａ４相互独立，__A1 ，__A2 ，__A3 ，__A4也相互独立，于是Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４）＝１－Ｐ（________________________4321AAAA⋃⋃⋃）＝１－Ｐ（__A1__A2__A3__A4）＝１－Ｐ（__A1）Ｐ（__A2）Ｐ（__A3）Ｐ（__A4）＝１－０．９８×０．９７×０．９５×０．９７≈０．１２４.23 掷三枚均匀骰子，记B＝｛至少有一枚骰子掷出1｝，Ａ＝｛三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样｝，问A，B是否独立?解考虑P(A｜__B)，若__B发生，则三枚骰子都不出现幺点，那么，它们都只有5种可能性(2，3，4，5，6)，比不知__B发生时可能取的点数1，2，3，4，5，6少了一个.从5个数字取3个(可重复取)，其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时，有两个一样的可能性要大些，即Ｐ（Ａ）＜Ｐ（Ａ｜__B).由此推出Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ａ｜Ｂ），故A，B不独立.24 一批玉米种子，其出芽率为0 9，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少?解设Ａ＝｛恰有3粒出芽了｝，Ｂ＝｛不大于4粒出芽｝.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验，而各粒种子发芽与否是互不影响的，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝ｂ３（５，０．９）＝Ｃ３５×０.９３×（１－０．９）２＝Ｃ３５×０．９３×０．１２≈０．０７３，Ｐ（Ｂ）＝１－ｂ５（５，０．９）＝１－Ｃ５５×０．９５×（１－０．９）０＝１－０.９５≈０．４１.25 某一由9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是70 ％ ，现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解显然本问题是：如果9人中超过4人作出正确决策，则可对该事件可行与否作出正确决策，从而设事件Ａ＝｛作出正确决策｝，由题设知，ｎ＝９，p＝０．７，ｑ＝０．３，于是ｂｋ（ｎ，ｐ）＝ｂｋ（９，０．７）＝Ｃｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ(ｋ＝５，６，７，８，９)，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝∑=95kＣｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ≈0.901.26 电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为0 2，求3个灯泡在使用1 000小时后，最多只有一个坏了的概率.解利用二项概型，有P n(k≤1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8)＝Ｃ０３×０．８０×０．２３＋Ｃ１３×０．８１×０．２２＝０．１０４.27 用三台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.解设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品，事件E表示合格品.依题意，Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．２,Ｐ（Ｅ｜Ａ）＝０．９４，Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＝０．９，Ｐ（Ｅ｜Ｃ）＝０．９５，由全概率公式Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｅ｜Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｅ｜Ｃ） ＝０．５×０．９４＋０．３×０．９＋０．２×０．９５＝０．９３.28 12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个，用完后放回去.第二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出3个球都是新球的概率.解以A ｉ（ｉ＝０，１，２，３）表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有ｉ个新球”.可知Ａ０,A１,A２,Ａ３是样本空间Ω的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则Ｐ（Ａ０）＝Ｃ３３/Ｃ３１２＝１/220，Ｐ（A１）＝Ｃ19Ｃ23/Ｃ３１２＝27/200,Ｐ（A2）＝Ｃ29Ｃ13/Ｃ３１２＝27/55,Ｐ（A3）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ1）＝Ｃ38/Ｃ３１２＝14/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ2）＝Ｃ37/Ｃ３１２＝35/220,Ｐ（Ｂ｜Ａ3）＝Ｃ36/Ｃ３１２＝1/11.由全概率公式，得Ｐ（Ｂ）＝∑=3iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝１/220×21/55+27/220×14/55+27/55×35/220+21/55×1/11＝1746/12100≈0.14629 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0 8及0 2收到信号“·”和“-”；当发出信号“-”时，收报台以概率0 9及0 1收到信号“-”和“·”.求：(1)收报台收到信号“·”的概率；(2)当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率.解设事件B＝｛收到信号“·”｝，Ａ０＝｛发出信号“·”｝，A１＝｛发出信号“-”｝.显然Ａ０,A１构成一个完备事件组，且Ｐ（Ａ０）＝０．６，Ｐ（A１）＝０．４，Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝０．８，Ｐ（Ｂ｜A１）＝０．１.(1)应用全概率公式，有Ｐ（Ｂ）＝∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝０．６×０．８＋０．４×０．１＝０．５２.(2)应用贝叶斯公式有Ｐ（Ａ０｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ0）Ｐ（Ｂ｜Ａ0）/∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝0.6×0.8/0.52≈０．９２３.30 设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假定Ｐ（阳性｜带菌）＝０．９９，P(阴性｜带菌)＝０．０１，Ｐ（阳性｜不带菌）＝０．05P(阴性｜不带菌)＝０．95.设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少?解设A＝｛某人检出阳性｝，Ｂ１＝｛带菌｝，Ｂ2＝｛不带菌｝.由题设知Ｐ（Ｂ1）＝０．８３，Ｐ（Ｂ2）＝１－０．８３＝０．１７，Ｐ（Ａ｜Ｂ1）＝０．９９， Ｐ（Ａ｜Ｂ2）＝０．０５，故所求的概率为Ｐ（Ｂ1｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ1）/Ｐ（Ａ）＝Ｐ（B1）Ｐ（Ａ｜B1）/∑=2jＰ（B j）Ｐ（Ａ｜B j）＝(０.８３×０.９９)/(０.８３×０.９９＋０.１７×０.０５)＝０.８２１７/(０.００８５＋０.８２１７)≈０.９８９８.31 设有五个袋子，其中两个袋子(品种A1)每袋有两个白球和三个黑球，另外两个袋子(品种A2)每袋有一个白球和四个黑球，还有一个袋子(品种A3)中有四个白球和一个黑球，(1)从五个袋中任挑一袋，并从这袋中任取一球，此球为白球的概率；(2)从不同品种的三袋中任挑一袋，并由其中任取一球，结果是白球(事件B)，问这球由三个品种的袋子中取出的概率各是多少?解(1)设事件B表示“取到白球”，A i表示“从五个袋中取到A i品种袋子”（ｉ＝１，２，３），故Ｐ（A1）＝2/5, Ｐ（A2）＝2/5,Ｐ（A3）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5,利用全概率公式，所求概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝Ｐ（A1）Ｐ（Ｂ｜A1）＋Ｐ（A2）Ｐ（Ｂ｜A2）＋Ｐ（A3）Ｐ（Ｂ｜A3）＝2/5×2/5＋2/5×1/5＋1/5×4/5＝10/25＝2/5 .(2)设事件B＝｛取到白球｝，A i＝｛从不同品种三袋中取到品种A i袋子｝ （ｉ＝１，２，３），根据题设，欲求下述三个条件概率Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）. 于是Ｐ（A1）＝1/3 ,Ｐ（A2）＝1/3,Ｐ（A3）＝1/3,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5 ,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5. 利用全概率公式，取到白球概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝1/3×2/5＋1/3×1/5＋1/3×4/5＝7/15.再由贝叶斯公式，有Ｐ（Ａ1｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ｂ｜Ａ1）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×2/5)/7/15＝2/7.Ｐ（Ａ2｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ2）Ｐ（Ｂ｜Ａ2）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×1/5)/7/15＝1/7.Ｐ（Ａ3｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ3）Ｐ（Ｂ｜Ａ3）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi）＝(1/3×4/5)/7/15＝4/7.。

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。