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Buckling of rectangular plates subjected to nonlinearly distribted in-plane loading

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Bucklingofrectangularplatessubjectedtononlinearlydistributedin-planeloading

CharlesW.Bert*,KrishnaK.Devarakonda*

SchoolofAerospaceandMechanicalEngineering,TheUniversityofOklahoma,865AspAv.,Room212,Norman,OK73019-1052,USAReceived14February2003;receivedinrevisedform14February2003

AbstractTheproblemofbucklingofarectangularplatesubjectedtouniformlydistributedin-planecompressiveloadingateachendgoesbacktotheworkofBryanin1890–91.Thesameproblem,forthecaseoflinearlyvaryingin-planecompressiveloadingateachend,wasfirsttreatedbyseveralEuropeaninvestigatorsabout90yearsago.Thecaseofloadingthatisnonlinearlydistributedalongtwooppositeplateedgesisconsiderablymorecomplicatedinthatitre-quiresthatfirsttheplaneelasticityproblembesolvedtoobtainthedistributionofin-planestresses.Thenthebucklingproblemmustbesolved.ThisproblemwasclaimedtohavebeensolvedbyvanderNeutin1958forahalf-sineloaddistributionandlaterbyBenoyforaparabolicdistribution.However,theirworkwasbasedonanincorrectin-planestressdistribution.Hereispresentedasolutionforthehalf-sineloaddistributionontwooppositesides,basedonamorerealisticin-planestressdistribution.Thisdistributionshowsadecrease(diffusion)inaxialstressasthedistancefromtheloadededgesisincreased.ThebucklingloadsarecalculatedusingGalerkinmethodandtheresultsarecomparedwiththeinaccurateresultsintheliterature.Ó2003ElsevierScienceLtd.Allrightsreserved.

Keywords:Buckling;Galerkinmethod;Nonlinearlydistributedload;Rectangularplates;Superpositionmethod

1.IntroductionTheproblemofbucklingofarectangularelasticplatesubjectedtoin-planecompressiveorshearloadingisimportantintheshipbuilding,aircraft,andautomotiveindustries.ThefirstworkinthisareawasduetoBryan(1890–91)(seeTimoshenkoandGere,1961,p.351).Bryanconsideredthecaseofuniformlydis-tributedcompressiveloadingandallfouredgessimplysupported.Thecasesofmorecomplicatedboundaryconditionshavebeensolvedbyinnumerableinvestigatorsthroughtheyears.Thecaseoflinearlyvaryingedgeloadingwasfirstconsideredindependentlyin1910byTimoshenkoandin1914byBoobnov,usingapproximatemethods(seeTimoshenkoandGere,1961,p.373).Thisload-ingcasewasalsoanalyzed,usingapproximatemethods,byWay(1936),Favre(1948),Grossman(1949),

InternationalJournalofSolidsandStructures40(2003)4097–4106www.elsevier.com/locate/ijsolstr

*Correspondingauthors.Tel.:+1-405-325-1736(C.W.Bert),+1-405-325-9835(K.K.Devarakonda);fax:+1-405-325-1088.

E-mailaddresses:cbert@ou.edu(C.W.Bert),kk_d28@yahoo.com(K.K.Devarakonda).

0020-7683/03/$-seefrontmatterÓ2003ElsevierScienceLtd.Allrightsreserved.doi:10.1016/S0020-7683(03)00205-1Noel(1952),McKenzie(1964),andDawe(1969).Recently,LeissaandKang(2001)andKangandLeissa(2001)solvedthissameproblemexactlyinaseriessense.Therehavebeenveryfewprevioussolutionsforthecaseofnonlinearlydistributededgeloadings.Perhapsthisscarcityisduetotheadditionalcomplexityofhavingtofirstsolvefortheinternalprestressdistributionasaprobleminplane-stresselasticity.ThefirstworkinthisareawasduetovanderNeut(1958),whoconsideredauniaxialcompressiveloadingwithahalfsinedistribution.TheworkofBenoy(1969)shouldalsobementioned.Heconsideredauniaxialcompressiveloadingwithaparabolicdistri-butionandobtainedanenergysolution.ItshouldbepointedoutthattheworksofvanderNeut(1958)andBenoy(1969)bothsufferedfromtheseseriousdeficiencies:

•Thex-directionin-planenormalstressdistributionwastacitlyassumedtodependonlyonthey-positioncoordinate.(Inactualitythereisastress-diffusionphenomenonwhichcausesthisstressdistributiontovarywithxaswellasy.)•Thecontributionsofthey-directionin-planenormalstressdistributionandthein-planeshearstressdis-tributionhavebeenignored.•Itwasassumedthatthebuckledwaveformandthusthebendingstrainenergyforthenonuniform-load-ingcaseisidenticaltothatforuniformloading.

Thegoalofthepresentworkistoremovethesedeficienciesandthustoachievemoreaccurateresultsforthebucklingload.

2.PreliminaryconsiderationsTheproblemgeometryandcoordinatesystemareshowninFig.1.ThefirstapproachinvestigatedherewastousethepolynomialformoftheAirystressfunction,systematizedbyNiedenfuhr(1957)andNeou(1957).Theresultingdistributionsofin-planestressessatisfiedcompatibility,vanishingshearstressesonallfouredges,andtheparabolicallydistributedloadingontheedgesatx¼Æa=2.Unfortunately,itwasnotpossibletosatisfytheconditionsofvanishingnormalstressesontheedgesy¼Æb=2.However,itwaspossibletohavetheresultantforce

Fy¼Za=2Àa=2hrydx

vanishaty¼Æb=2.Herehistheplatethickness.Nevertheless,themaximumvalueofryaty¼Æb=2wasðÀ2=3Þða=bÞ2r0,wherer0isthemaximumvalueoftheparabolicallydistributedrxatx¼Æa=2.Itisclear

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非线性动力学入门-西安交通大学教师个人主页

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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i
第四章 土木工程中的几何非线性问题

第四章 土木工程中的几何非线性问题

Kirchhoff（克希霍夫）应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。
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非线性有限元
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Euler应力张量:τij
在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量， 称为Euler应力张量； 此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
8/5/2024
非线性有限元
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三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
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应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。
基于CFD

基于CFD

本文网址：/cn/article/doi/10.19693/j.issn.1673-3185.03028期刊网址：引用格式：刘维勤, 张亚强, 夏天禹, 等. 基于CFD−非线性有限元双向耦合的集装箱船波浪下结构崩溃数值仿真[J]. 中国舰船研究, 2023, 18(6): 134–142.LIU W Q, ZHANG Y Q, XIA T Y, et al. Numerical simulation of structural collapse of container ship in waves based on two-way coupling of CFD nonlinear FEM[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2023, 18(6): 134–142.基于CFD−非线性有限元双向耦合的集装箱船波浪下结构崩溃数值仿真扫码阅读全文刘维勤1，张亚强1，夏天禹1，陆晔2，杨萌3，吴卫国4，宋学敏*11 武汉理工大学 船海与能源动力工程学院，湖北 武汉 4300632 中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 2140823 中国舰船研究设计中心，湖北 武汉 4300644 武汉理工大学 绿色智能江海直达船舶与邮轮游艇研究中心，湖北 武汉 430063摘 要:［目的］充分考虑载荷非线性和物面非线性因素的影响，研究集装箱船在波浪下结构响应及动态结构崩溃模式。

［方法］首先，基于CFD 平台建立船舶水动力模型，采用重叠网格法实现船体水动力模型动边界网格与远场流体域的欧拉网格间的匹配，在流体全域内采用流体体积法模拟自由面非线性，在流场全域内求解三维N–S 方程，实时求解非线性波浪载荷；然后，建立可模拟船舯崩溃行为的船舶非线性有限元模型，基于显式动力学非线性有限元法计算包含塑性和屈曲的时域崩溃响应；最后，实现水动力模型与结构有限元模型在湿表面上的流体压力和节点位移的传递，以此进行CFD 求解器与非线性有限元求解器间的双向迭代耦合，并实时计算4 600 TEU 集装箱船结构崩溃过程中的非线性波浪载荷和结构崩溃响应。

经典轧制力模型理论解析 (带钢冷轧模型理论学习笔记)

经典轧制力模型理论解析 (带钢冷轧模型理论学习笔记)

经典轧制力模型理论解析（带钢冷轧模型理论学习笔记）中冶南方工程技术有限公司上海分公司2005年11月9日序号文章名称页数1 一、奥罗曼（E.Orowan）理论 62 二、布兰德－福特（D.R.Bland &H.Ford）轧制力近似计算理论163 三、斯通（M.D.Stone）的计算轧制力公式 554 四、布兰德－福特（D.R.Bland &H.Ford）轧制力及轧制转矩数学模型离散计算方法5 五、用离散算法对轧制程序表的试算题266 六、斯通轧制力与轧制转矩公式近似计算 37 七、M.D.Stone公式近似计算法试算例题188 八、冷轧轧辊辊缝中摩擦形成理论31在带钢冷轧机的轧制工艺设计、机械设备设计和轧钢生产过程控制应用软件的设计与开发。

都需要利用轧制力模型做计算。

那么，当前广为人们使用的轧制力模型是前人为我们留下的宝贵财富。

只有对那些成果深入地理解，才能认清当前应用的各种轧制模型的脉络，提高对模型的鉴别力和有所前进。

最先用微分方程式描述沿轧辊与带钢交界面的接触弧上的轧制力分布的是卡尔曼（T.Karmann），即所谓卡尔曼方程，发表在1925年的《应用数学与力学》杂志上。

卡尔曼方程虽然用解析方法不能得解，但是对于随后的学者发展可用于工程的轧制力模型具有重要意义，如史密斯和采利可夫，他们各自利用不同假定和简化得到卡尔曼方程的实用解。

贴近当前应用的，多采用在奥罗万（E.Orowan）理论的基础上，和由卡尔曼确立方程式的分析方法，布兰德－福特（D.R.Bland & H.Ford）发展了广为应用的轧制力模型；斯通（M.D.Stone）提出了轧制力计算比较简便的斯通公式。

本文将对奥罗万理论、布兰德－福特轧制力模型和斯通公式做详细解析。

带钢冷轧生产过程是个复杂的多参数作用的过程，有多项不确定性因素，从物理和数学的观点来说会是十分复杂的。

因此，研制可实用的轧制力模型，通常要对过程条件和控制参数做些基本假定和简化如下：1.轧件为连续介质，体积（或密度）基本不变。