2.4 正态分布

1
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,
即 P(1<X<2)=P(18<X<19). (2)解:∵P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+P(X≥18)=1, μ=10, ∴P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2<X≤10)=P(10<X<18), ∴2a+2P(10<X<18)=1, 即 P(10<X<18)=
1 , 注意该式在解题中的运用. 2π������
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第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述: ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方; ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴 上方; ③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个 偶函数; ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐 渐降低; ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; ⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥

2.4正态分布学习目标：1、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质2、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解3、掌握正态分布在实际生活中的意义和作用重点：1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解2、掌握正态分布在实际生活中的意义和作用二、基础知识归纳总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．1．正态分布概率密度函数：2．正态分布μ,的含义：参数σ3正态曲线的特点：4标准正态曲线:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5二、例题探究：例1、下面给出了三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)φμ，σ(x )＝12πe 22x -，x ∈(－∞，＋∞)； (2)φμ，σ(x )＝122πe 218x (-)-，x ∈(－∞，＋∞)；(3)φμ，σ(x )＝22πe 22(1)x －＋，x ∈(－∞，＋∞)． 例2、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，.求该正态分布的概率密度函数的[解析]式．例3、设X ～N (1,22)，试求：(1)P (－1<X ≤3)；(2)P (3<X ≤5)．三、课堂练习：1．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝______.2．对于正态分布N (0,1)的概率密度函数f (x )＝12π·e 22x -，下列说法正确的有________． ①f (x )为偶函数；②f (x )的最大值是12π； ③f (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数；④f (x )关于x ＝1对称．3.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2 )(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．4.设离散型随机变量X～N(0,1)，则P(X≤0)＝________；P(－2<X≤2)＝________.5.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？——★ 参 考 答 案 ★——例1. 解 (1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝12. 例2.[[解析]]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0.＝σ＝4， 故该正态分布的概率密度函数的[解析]式是232()x x μσϕ-⋅=，x ∈(－∞，＋∞)． 例3.解 因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (3<X ≤5)＝P (－3≤X <－1)，所以P (3<X ≤5)＝12[P (－3<X ≤5)－P (－1<X ≤3)]＝12[P (1－4<X ≤1＋4)－P (1－2<X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 课堂练习1.[解析] ∵ξ～N (μ，σ2)，故概率密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 2.[答案] ①②③3.[[解析]]∵ξ服从正态分布(1，2σ)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.4.[[解析]]正态曲线的对称轴为x ＝0，∴P (X≤0)＝P (X>0)＝12；P (－2<X≤2)＝P (μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.5.[[解析]]∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是 0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．。

例2、标准正态总体的函数为
1
x2
f (x) e 2 , x (, ).
2
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 2、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
例4、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100). （1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
3、正态曲线的性质
( x)
1
2
e
( x )2 2 2
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=0
, x (, )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx

y
（1）当x = μ 时,函数值为最大. 1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 s (3) f ( x) 的图象关于
μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x
=μ 对称.
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
X=m
3.特殊区间的概率:
若X~N
(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m a m a
P(m a x ≤ m a)
x=μ
m ,s ( x )dx
m-a
m+a
特别地有（熟记）
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
【1】 （07 湖南）设随机变量 x 服从标准正态分
1) ， 已 知 p （ x ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 布 N (0， P(| x | 1.96) =（ C ）
A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975
y
o
x
【2】 （07 浙江）已知随机变量 x 服从正态分布
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变 化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
练习：
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函