x2-3-24正态分布

正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。

1．正态分布(1)正态曲线函数f(x)=x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X N(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(3)曲线在x=；(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-+)0.6827；P(-2+2)0.9545；P(-3+3)0.9973.(2)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.历届高考题最新模拟题选做1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()AA．0.954B．0.977C．0.488D．0.4772．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.3．已知三个正态密度函数φi(x)=−(x−μi)22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（）A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3由题图中y=φi(x)的对称轴知：132u u u =，y=φ1(x)与y=φ2(x)(一样)瘦高，而y=φ3(x)胖矮，所以σ1=σ2<σ3.故选：D.4．已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(B) A．6B．7C．8D．9[解析]∵(k－4)＋k2＝5，∴k＝7，故选B.5．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(C) A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝6＋22＝4.选C．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(D) A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由正态曲线的对称性知P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝212－P(ξ>4)＝212－(1－P(ξ<4))＝0.8.故选D.7．若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6826，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9544，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A．159B．46C．23D．13[解析]由题意，μ＝110，σ＝10，故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝1－0.95442＝0.0228.∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23.故选C．8．已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641[解析]由题意P(0＜X ≤1)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.正方形OABC 内取一点，则点恰好落在阴影部分的概率为P ＝1×1－0.13591×1＝0.8641.选D.9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413[解析]对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P(280<X<320)＝P(μ<X<μ＋σ)≈0.6826×12≈0.3413，正确．故选ABD.10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X 服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9973.则(BC)A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P(240<X ≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A 错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B 正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C232×＝38，∴C 正确；∵P(240<X<270)＝P (90<X<270)－P (120<X<240)2＝P (μ－3σ<X<μ＋3σ)－P (μ－2σ<X<μ＋2σ)2＝0.9973－0.95452＝0.0214，∴D 错误．故选BC ．11．已知随机变量X~N 4，22，则P 8<X <10的值约为（）附：若Y~N μ，σ2，则P μ−σ<Y <μ+σ≈0.6827，P μ−2σ<Y <μ+2σ≈0.9545，P μ−3σ<Y <μ+3σ≈0.9974A．0.0215B．0.1359C．0.8186D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2，根据P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+ 2σ]，即可得答案.由题意知随机变量X~N4，22，故μ=4,σ=2，故P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+2σ]≈12(0.9974−0.9545)=0.02145≈0.0215,故选：A.12．已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=（）A．0B．2C．−1D．−2根据正态分布的性质可得P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，即可得到1−2a、1+a关于x=2对称，从而得到方程，解得即可.解：因为P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，P(X≤1−2a)+P(X≥1−2a)=1，所以P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，所以1−2a+1+a=2×2，解得a=−2.故选：D.13．已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若P X<4+5P X>8=1，则P4<X<6=（）A．16B．14C．13D．19根据正态分布的对称性可得：P X<4=P X>8，P4<X<6=12−P X<4，结合题意可求P X<4=16，进而可求P4<X<6．X~N6,σ，则P X<4=P X>8，∴P X<4+5P X>8=6P X<4=1，则P X<4=16，∴P4<X<6=12−P X<4=13，选：C．1．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩x－和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134＝0.501,0.84133＝0.595.[解析](1)由题意知：x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x－＝70.5，σ2＝D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<z<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.6826，∴P(z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587，∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0．1587×10000＝1587人．(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为1－0.1587＝0.8413，而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44·0.84134＝1－0.501＝0.499.2．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－为：x－＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6826，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的概率为213.02.0=+X ～X 的取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝16121404=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；P(X ＝1)＝41421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝2)＝42421⎪⎭⎫ ⎝⎛C =38；P(X ＝3)＝43421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝4)＝44421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝116.∴X 的分布列为X 01234P116143814116∴E(X)＝4×12＝2.(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数位学生，求他的数学成绩恰在64分到0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，。

1. 引言2024年数学考研备战，正态分布是一个重要的知识点，其中武忠祥老师的讲解更是深入浅出，使得我们能够更好地理解和掌握这一内容。

通过深度和广度的学习，我们将能够在考试中游刃有余地应对相关问题。

本文将全面总结2024年数学考研中关于正态分布的知识点，以便更好地备战考试。

2. 正态分布的基本概念2.1 正态分布的定义在统计学中，正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小。

而武忠祥老师在讲解中提到，正态分布的密度曲线呈单峰形态，这是因为正态分布的数据集主要集中在均值附近，随着数值偏离均值，出现的概率会逐渐减小。

2.2 正态分布的性质武忠祥老师在讲解中强调了正态分布的重要性，因为正态分布在自然界、经济学、社会科学等领域有着广泛的应用。

其性质包括均值、方差等统计特征，以及68-95-99.7规则等特性。

这些性质的理解对于解决实际问题和对数据的分析具有重要意义。

3. 正态分布的应用3.1 正态分布在实际问题中的应用在考研数学中，正态分布的应用是一个重要的考点。

武忠祥老师在讲解中提到了正态分布在水平测试、质量管理、风险评估等方面的具体应用，这些案例能够帮助我们更好地理解和应用正态分布的知识。

3.2 正态分布在数学建模中的应用除了实际问题中的应用，正态分布在数学建模中也起着重要作用。

武忠祥老师强调了正态分布在概率密度函数和累积分布函数的应用，这不仅对于解决具体问题有帮助，还能够对数学建模的理论基础进行深入理解。

4. 我对正态分布的个人理解在学习中，我认识到正态分布作为一个重要的统计学分布，具有非常广泛的应用价值。

正态分布的均值和标准差是其重要的统计特征，能够描述数据的集中程度和离散程度。

通过学习正态分布，我深刻理解了正态分布的概念、性质和应用，并能够运用这些知识解决实际问题。

5. 总结2024年数学考研备战，正态分布作为重要的数学知识点，需要我们深入理解和掌握。

2.4正态分布敖多教法分析（教师川书独具）•三维目标1. 知识与技能T 解正态曲线的基本特点，理解正态曲线所表示的意义. 2. 过程与方法通过正态曲线的图彖认识正态曲线，通过止态曲线了解止态分布，通过计算机的展示, 了解正态曲线随着参数“和＜7变化而变化的特点及正态分布的3”原则.从生活实践入手结 合图彖认识参数“，”的几何意义.3•情感、态度与价值观善于从复杂多变的现象屮发现问题的木质，提高学生的识别能力以及用数学知识分析现 实问题的能力.•重点、难点重点：正态分布曲线的特点及所表示的意义. 难点：利用止态分布解决实际问题.引导学生观察高尔顿板，不断分析、总结得出正态分布，借助图象，进一步认识正态曲 线的特点，通过例题与练习，让学生掌握正态分布的应用，从而化解难点，突出重点.（教师用书独具）•教学建议教学时通过高尔顿板试验的方法讣学牛认识正态分布密度Illi 线，引导学牛认识正态分布 密度曲线的特点及英所表示的意义，使学牛在观察活动中学习，在探究中创新.敖多方案设计損方略涼41细解用“釵累•教学流程仓U设问题情境，捉出问题.今引导学生回答问题，引岀正态分彳U,掌握其意义、特点.a 通过例1及变式训练，使学生掌握正态曲线的图彖的应用.今通过例2及互动探究，使学生掌握正态分布下的概率的计算.今通过例3及变式训练，使学生掌握正态分布的实际应用.今归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识.n完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.【提示】由图可知，该曲线关于直线x = 72对称，最大值为看念，由函数式可知，函数图象的对称轴为x二〃，" = 72,吐=命，"=10・y 1 ・(X ・ 72)2•••心碍。

200代旳.1.正态曲线(1)正态曲线的概念若©…(x)=寸器：—号护"，xW(—8, +oo),其中实数“和a(a>0)为参数，我们称％上兀)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质理敛材自奎自测固"墓础A匸学习区*课标解读1.了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质.3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用g), F⑴的意义求正态总体小于X的概率.正态分布【问题导思】函数/⑴=盍孑一与许的图象如图所示•试确定函数/(x)的解析式.①llll线位于X轴上方,与X 轴不相交;②曲线是单峰的，它关于肓线对称:③曲线在X=Ll处达到峰值詰爲;④曲线与X轴之间的面积为丄；⑤当＜7 —定时，曲线的位置山〃确定，曲线随着〃的变化而沿涮平移；⑥当“一定吋，曲线的形状由＜7确定，/越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越塞虫；"越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.2.正态分布量X服从正态分布.正态分布完全由参数&和乞确定，因此正态分布常记作M”，卡).如果随机变暈X服从正态分布,则记为X~N(u，/).3.3/原则⑴若X〜N(“，/),则对于任何实数G>0,P(p~a<X^+a)=^+a(p,. a(x)dx.(2)止态分布在三个特殊区间内取值的概率.P(/z _(?<XWfi+rr) = 0.682_6 ；P@ _ 2gXWp+2(y)=0.954 4;3a)靜壬互动探究............................................. ... 正态曲线的图象的应用如果对于任何实数a, b(a＜b),随机变量“满足P(a<XWb)=f%“(x)dr,则称随机变«|< * 0.997_4.图2-4-1例如图2-4-1所示是一个正态Illi线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差.【思路探究】给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式•所以// = 20 r1 _ 1 yflTia2込：.a = y[2 ・于是％, / 、1 (x ・ 20)2“)=2后-4 ，xW( • 00 1 ,+ 8),总体随机变量的期望是“二20 , 方差是 <r 2 =(V2)2= 2.I 规律方法I1. 本题直接根据正态分布曲线的性质解决2正态曲线的图象及性质特点其具有两大明显特征II)对称轴方程% = //怠)最值才辰.这两点把握好了，参数“，"便确定了，代入％‘(X )中便可求出相应的解析式・(xeR),贝lj()A.“1<“2B. 曲线G 与x 轴相交C. <7|>(72D. 曲线0、C2分别与X 轴所夹的而积相等【解析】 由正态曲线的特点易知：山>“2,6 ,曲线G , C2分别与X 轴所夹面积相等，故选D.【答案】D正态分布下的概率计算卜例囚 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(l,4),求正态总体X 在(-U)内取值【自主解答】 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x = 20对称，最大值为 2y[ji的概率.【思路探究】解答本题可先求出X在(-1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x二1对称知，/在(・1,1)内取值的概率就等于在(・1,3)内取值的概率的一半・【自主解答】由题意得“二1 ,2 ,所以P(・ 1 v XW3)二F(1 ・ 2 <^1 +2) = 0.682 6.又因为正态曲线关于x=l对称，所以卩(・1 VX< 1) = P(1 <A r<3) = |p( - 1 <%<3) = 0.341 3.I规律方法I1.本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转化求值・2・解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称性,再者要熟练记住正态变量的取值在区间仪-a , ft + a) , (//・2”，“ + 2(r),仪・3(T, “ + 3”)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述区间的哪一个・本例条件不变，求P(3VXW5).【解】因为P(3VXW5)=P( - ・ 1),所以P(3 <XW5)= |[P( ・3<XW5)・P(・ 1 vXW3)]=|[P( 1 ・ 4VXW1 +4)・P(1・ 2 vXWl +2)]=- 2a < XWp + 2a) - P(/i ・ X XWp + a)]二§0.954 4 ・ 0.682 6)= 0.135 9.劝3| ........ .. 正态分布的应用卜例据调杳统计，某市高二学牛屮男牛的身高X(单位:cm)服从正态分布Ml 74,9).若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数.【思路探究】因为“=174 ,<7=3 ,所以可利用正态分布的性质可以求解・【自主解答】因为身高X~N(174,9),所以“二174 , a=3 ,所以“ -2a= 174 ・ 2X3 = 168 r〃 + 2(7二174 + 2X3 二180 ,所以身高在(168,180］范围内的概率为0.954 4. 又因为“二174.所以身高在(16&174］和(174,180］范围内的概率相等，均为0.477 2 , 故该市高二男生身高在(174,180］范围内的人数是3 000X0.477 2^ 1 432(A).I 规律方法I1.本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为％区间，由特殊区间的概率值求出・ 2 .解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(〃-”,“ +切,(// - 2cr, // + 2a ］ , @・3”，“ + 3cr ］三个区间内的概率.•娈貳训练(2012,课标全国卷)图 2_4_3某一部件由三个电子元件按如图2—4—3所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作, H •元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电了元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态 分布N(1 000,5()2), H.各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为 __________________ .【解析】 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B .C ,显然P ⑷ = P(B)= P(C)=^,.••该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(M B + A 8 + AB)C , :.该部件的使用寿命超过1 ooo 小时的概率p =(|x| + |x| + |x|)x| = |忽视数形结合致误卜典例(2012・临沂高二检测)已知X 〜N (“，a 2)f 且卩(X>0)+P(X2—4)=l,则“=【错解】•・• P(x > 0) + - 4) = 1 ,图像关于x - - 4对称,// = - 4. 【答案】一4【错因分析】 正态分布曲线的对称轴应为x 二・2,忽视了数形结合.巧分折朋规辨誤贾“旳阱"技能捏升区*【防范措施】求解此类问题的关键是先对题设信息适当分析，再借助正态分布曲线的对称性解题，求解时，为增加解题的直观性，可画草图辅助求解.【正解】 •/ P(x > 0) + P(x2 - 4) = 1 ,又•/ P(x<-4) + - 4)= 1 ,・•・P(x > 0)=-2. =P （x < - 4）,又0与・4关于x= - 2对称，二曲线关于x= - 2对称，即//【答案】 一21在正态分布N （“，/）屮，参数“是反映随机变最取值的平均水平的特征数，即总体随 机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数.参数"是反映随机变量 总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取俏 范围是正数，即<7>0.2・因为— +30=0.997 4,所以正态总休X 儿乎总取值于区间（“一3”，“+ 3”）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026,这是一个小概率事件，通常认为这种 情况在一次试验中儿乎不可能发牛..这是统计中常用的假设检验基本思想.交渝学 习【龙*1.设随机变量 <〜N （“，62）,线性函数帀=。