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正态分布

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正态分布

正态分布
x
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X

~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a

正态分布

正态分布

2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).

这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)

P{X

x}

P

X



x


P

X
1 2

5
1
2

2
0.9772
P{0

X
1.6}
P

0
1 2

X 1 2

1.6 1
2

0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05

0.12}
P

0.12 0.06

X
10.05 0.06

0.12
0.06

2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2

正态分布

正态分布

三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95

什么是正态分布

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布，又称高斯分布，是在统计学和概率论中非常重要的一种连续概率分布。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的，常用于描述自然界中的许多现象，如身高、智商、测量误差等。

正态分布具有对称的钟形曲线，其特性使得它在统计推断、假设检验等领域起着至关重要的作用。

正态分布的定义正态分布是一个由均值μ（mu）和标准差σ（sigma）两个参数所决定的概率密度函数。

其数学表达式为：在这个公式中，( f(x) ) 是随机变量 ( X ) 的概率密度函数( ) 是均值，代表分布的中心位置( ) 是标准差，用于描述数据的离散程度( e ) 是自然对数的底数，约等于2.71828通过上述公式可以看出，当 ( x = ) 时，( f(x) )达到最大值；而随着 ( x ) 离开均值，概率密度逐渐减小。

正态分布的特性正态分布有几个重要特性，使其在研究中无处不在。

1. 对称性正态分布是关于均值 ( ) 对称的。

这意味着如果你将正态分布函数沿其均值向两侧折叠，左侧和右侧的形状完全一致。

这一特性使得很多统计方法可以简化计算，并提高了分析的效率。

2. 68-95-99.7法则这一法则描述了数据集中不同标准差范围内的数据比例：约68%的数据点落在均值±1个标准差内约95%的数据点落在均值±2个标准差内约99.7%的数据点落在均值±3个标准差内这一规律为理解异常值、识别数据分布特点提供了直观的依据。

3. 中心极限定理中心极限定理表明，在一定条件下，不同的独立随机变量之和趋向于正态分布，无论这些变量本身的分布是什么。

这意味着当你对大量独立同分布的随机变量取样时，其总和或平均值会呈现出近似正态分布，这一特性是统计推断的重要基础。

4. 单峰性正态分布是单峰的，即它只有一个峰值，这个峰值就是均值( μ )。

在这个峰值附近，概率密度最大的地方，随着离均值越远，数据点稀疏程度迅速增加。

正态分布完整ppt课件

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正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

正态分布

正态分布

[µ − 3σ , µ + 3σ ] 区间内. 区间内.
这在统计学上称作“ σ 准则” 这在统计学上称作“3 准则” .
看一个应用正态分布的例子: 看一个应用正态分布的例子
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 以下来设计的.设男子身高X～ 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高 ～ N(170,62),问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? ( , ),问车门高度应如何确定 解 设车门高度为h cm,按设计要求 设车门高度为 ,
例
设 X ~ N(0, 1), P(X ≤ b) = 0.9515, P(X ≤ a) = 0.04947, 求 a, b.
解: Φ(b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: Φ(1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66
而 Φ(a) = 0.0495 < 1/2, 所以 a < 0, Φ(−a) = 0.9505, 反查表得: Φ(1.65) = 0.9505, 故 a = − 1.65
例 设 X ~ N(0, 1), P(X>−1.96) ,
求 P(|X|<1.96)
解: P(X>−1.96) = 1− Φ(−1.96) = 1−(1− Φ(1.96)) = Φ(1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 Φ(1.96)−1 = 2 ×0.975−1 = 0.95
标准正态分布的上 α分位点 设 X ~ N ( 0,1) ,若数 zα满足条件
P{ X > zα} = α , 0 < α < 1 ⇒ P{ X < − zα } = α
则称点 zα 为标准正态分布的上 α分位点 标准正态分布的上 分位点.

正态分布知识点总结

正态分布知识点总结

正态分布知识点总结正态分布（Normal distribution）是统计学中最为重要和常见的概率分布之一、其分布特点为钟形曲线，对称分布，均值为中心点，标准差决定了曲线的分散程度。

正态分布在实际应用中非常广泛，特别适用于描述大量独立随机变量之和的分布情况。

一、正态分布的定义和性质1.定义：若随机变量X服从一个均值为μ，标准差为σ的正态分布（记作X∼N(μ,σ)），则其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))2.性质：a.对称性：正态分布是关于均值对称的，即平均值左右两侧的曲线是对称的。

b.中心极限定理：大量独立随机变量的和趋向于正态分布，即使原始数据并不服从正态分布，样本量足够大时，样本均值的分布也会接近正态分布。

c.峰度与偏度：正态分布的峰度为3，即其曲线边际趋于水平而不陡。

偏度为0，即左右两侧的概率密度完全对称。

d.累积分布函数：正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布表查找，标准正态分布表给出了标准正态分布的累积概率，从而可以计算出任意正态分布的累积概率。

二、正态分布的参数1.均值（μ）：正态分布的均值决定了分布曲线的中心位置。

在标准正态分布中，均值为0。

2.标准差（σ）：正态分布的标准差决定了分布曲线的宽度和分散程度。

标准差越小，曲线越尖锐；标准差越大，曲线越平缓。

三、标准正态分布1. 定义：均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布（Standard Normal Distribution），记作Z∼N(0,1)。

2.标准化：通过标准化转换，将任意正态分布转化为标准正态分布。

转换公式为Z=(X-μ)/σ，其中X为原正态分布的随机变量，μ为原正态分布的均值，σ为原正态分布的标准差。

3.标准正态分布表：存储了标准正态分布的累积概率值，可用于求解任意正态分布的累积概率。

4.逆标准化：通过标准正态分布表，可以将给定累积概率对应的Z值逆向计算，得到对应的原始分布值。

《正态分布》ppt课件

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目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。

正态分布简介

正态分布简介

正态分布
一：正态分布的概念和和图形
正态分布的概率密度函数为：
(-∞＜ X ＜+
∞) 式中，有4个常数，μ 为总体均数，σ 为总体标准差，π为圆周率，e 为自然
,π，e 为固定常数，仅X 为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数
分布曲线。

正态分布曲线是一簇曲线。

二：正态分布图的特点
1 对称的钟型（在均数处最高） 2两侧逐渐下降 3两端在无穷远处与横轴无限接近。

三：正态分布的特征
特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X= μ 处。

特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。

特征三 正态分布取决于两个参数，即均数μ 和标准差σ μμ
μ 变小，曲线沿横轴向左移动。

σ
示数据的离散程度，若σσ 。

特征四 有些指标不服从正态分布，但通过适当变换后服从正态分布，如对数正态分布。

特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律的。

无论σ
μ,
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%；
②正态分布是对称分布。

其对称轴为直线X=μX>μX<μ等，各占50%；
四：标准正态分布
将正态分布变量作标准化变换，就得到均数为0，标准差为1的标准正态分布 标准化变换公式： 正态分布的概率密度函数方程就简化为标准正态分布的概率密度函数方程：
，(-∞＜ u ＜+∞) 22
()21()2X f X e μσσπ--= f σμ
-=X u 2221)(u e u -=π
ϕ。

概率论与数理统计之正态分布

概率论与数理统计之正态分布

转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为

标准正态分布

标准正态分布
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
10
计算

已知u～N(0，1)，试求：
(1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(standard normal distribution)
(u )
(u )
1 2
1 2
e
u
e

u2 2
1 2 u 2
du
随机变量u服从标准正态分布，记作u～
N(0，1)
7
标准正态分布
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机
变量x，都可以通过标准化变换 u=(x-μ)／σ
P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
14
由表4—2可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126 头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推 断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的
= 1, ..., n)为相互独 立，都服从标准正态分布，则定义： 2 i zi2 , i = 1, ..., n 变量2服从自由度等于n卡方分布（chi – square distribution）。
19
卡方分布曲线
图4-1 不同自由度下的2分布
图4-2 2分布的 上侧和下侧分位数 示意图
P(x<μ-1.96σ)=P(x>μ+1.96σ)=0.025

正态分布

正态分布

正态分布科技名词定义中文名称：正态分布英文名称：normal distribution 定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。

该分布由两个参数——平均值和方差决定。

概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。

应用学科：生态学（一级学科）；数学生态学（二级学科）定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。

应用学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布求助编辑百科名片正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。

目录正态分布历史发展研究过程曲线应用频数分布医学参考值统计的理论基础正态分布历史发展研究过程曲线应用频数分布医学参考值统计的理论基础展开编辑本段正态分布正态分布的由来normal distribution 正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

正态分布

正态分布

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]

正态分布

正态分布

当x<0时 Φ(−x) = 1− Φ( x) 时
若 X～N(0,1), ～
P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a) X −µ 2 若 X ~ N(µ,σ ), Y = ~N(0,1) σ a−µ b−µ ≤Y ≤ ) P(a < X < b)= P( σ σ b−µ a−µ = Φ( ) − Φ( ) σ σ
目 录 前一页 后一页 退 出
标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. µ = 0,σ = 1的正态分布称为标准正态分布. 表示： 其密度函数和分布函数常用ϕ(x)和 Φ(x)表示：
1 ϕ(x) = e 2π −∞ < x < ∞
ϕ ( x)
x2 − 2
,
1 Φ( x) = 2π
∫e
t2 x − 2 −∞
查表可知 z0.025 =1.96 z0.005 =2. 575
ϕ (x )
注：
z1-α = −zα ,
α
z0.95 = -1.645
z0.995 = -2. 575
z1−α
目 录
0
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zα x
退 出
第二章 随机变量及其分布
§4连续型随机变量的概率密度
小结： 小结： 1 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 定义和性质 特别是
Φ( x )
dt
标准正态分布N(0,1) 标准正态分布 标准正态分布的重要性在于， 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 标准正态分布.
定理1 定理 设
Y X ~ N(µ,σ ) , 则Y =

什么是正态分布

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。

它在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种非常常见的分布模式。

正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。

其概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底。

正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。

均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。

当均值为0，标准差为1时，曲线称为标准正态分布。

正态分布具有许多重要的性质和应用。

以下是正态分布的几个重要特点：1. 对称性：正态分布是对称的，均值处于曲线的中心位置，两侧的概率密度相等。

2. 峰度：正态分布的峰度较高，曲线较陡峭，尾部较平缓。

3. 独立性：正态分布的随机变量之间是相互独立的。

4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。

正态分布在实际应用中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 自然科学：正态分布常用于描述测量误差、实验数据、物理量的分布等。

2. 社会科学：正态分布常用于描述人口统计数据、心理测量数据、考试成绩等。

3. 金融领域：正态分布常用于描述股票价格、利率、风险收益等。

4. 质量控制：正态分布常用于描述产品尺寸、重量、强度等的分布。

5. 生物学：正态分布常用于描述身高、体重、血压等生物特征的分布。

正态分布的应用不仅限于上述领域，还广泛应用于工程、经济学、环境科学等各个领域。

总之，正态分布是一种重要的概率分布，具有对称性、峰度高、独立性等特点。

它在自然界和社会科学中广泛应用，用于描述各种随机变量的分布。

了解正态分布的特点和应用，对于理解和分析实际问题具有重要意义。

正态分布

正态分布

正态分布正态分布（normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。

若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：則其概率密度函數為常態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。

因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

我們通常所說的標準常態分佈是μ = 0,σ = 1的常態分佈（見右圖中綠色曲線）。

目录[隐藏]1 概要o 1.1 歷史2 正态分布的定義o 2.1 概率密度函數o 2.2 累積分佈函數o 2.3 生成函數▪ 2.3.1 動差生成函數▪ 2.3.2 特徵函數3 性質o 3.1 標準化正態隨機變量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正態隨機變量o 3.4 中心極限定理o 3.5 無限可分性o 3.6 穩定性o 3.7 標準偏差4 正態測試5 相關分佈6 參量估計o 6.1 參數的極大似然估計▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 參數的矩估計7 常見實例o7.1 光子計數o7.2 計量誤差o7.3 生物標本的物理特性o7.4 金融變量o7.5 壽命o7.6 測試和智力分佈[编辑]概要正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。

各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分佈。

儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明)。

正态分布出現在許多區域統計:例如, 採樣分佈均值是近似地正態的，既使被採樣的樣本總體並不服從正态分布。

另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分佈中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分佈的自然選擇。

正态分布及其计算

正态分布及其计算

正态分布的方差
总结词
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量。
详细描述
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量，用于描述数据分布的宽度或分散 情况。在正态分布中，方差的大小决定了分布的宽度，即数据点离期望值的平均 距离。方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据分布越集中。
正态分布的偏度与峰度
总结词
偏度描述数据分布的不对称性，峰度描述数据分布的尖锐程度。
详细描述
偏度是描述数据分布不对称性的统计量，用于衡量数据分布偏向某一方向的程度。正态分布的偏度接近0， 表示分布相对对称。峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量，用于衡量数据分布曲线的峰部特征。正态分 布的峰度接近3，表示分布相对平坦。
03
CHAPTER
1 2 3
遗传学研究
正态分布用于描述基因频率和遗传特征的分布情 况，分析遗传变异和遗传疾病的风险。
临床试验
在临床试验中，正态分布用于描述患者生理指标 和治疗效果的分布情况，评估药物的有效性和安 全性。
生态学研究
在生态学研究中，正态分布用于描述物种数量和 种群密度的分布情况，分析生态系统的稳定性和 变化趋势。
正态分布及其计算
目录
CONTENTS
• 正态分布的简介 • 正态分布的计算 • 正态分布的性质 • 正态分布的假设检验 • 正态分布在实际中的应用
01
CHAPTER
正态分布的简介
正态分布的定义
正态分布是一种概率分布，描述了许 多自然现象的概率规律。在正态分布 中，数据点的概率密度函数呈现钟形 曲线，且曲线关于均值对称。
布规律。
02
CHAPTER
正态分布的计算
正态分布的期望值
总结词

正态分布

正态分布

或 x Z s
23
例题：
例9-11 利用表9-1的资料计算95%参考值范围。
表9-1的资料近似服从正态分布，可以利用正
态分 布法计算95%参考值范围。
X 350.24，S 32.97
双侧95%的参考值范围：
X 1.96 S 350.24 1.96 32.97 ( 285.62 ~ 414.86) 20-29岁正常成年男子的尿酸浓度的95%参考值
25
（二） 质量控制： 随机误差 系统误差
26
判断异常的8种情况
有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外） 在中心线的一侧连续有9个点 连续6个点稳定地增加或减少 连续14个点交替上下 连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限 以外） 连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差 以内 中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差 范围。
的疾病和有关因素的同质人群。
一般认为至少应在 120 例以上。例数过少，
确定的参考值范围往往不够准确。
19
B.对选定的正常人进行准确的测量；
C.决定取单侧范围还是双侧范围值； 根据研究目的和专业知识确定单双侧 例：白细胞计数过低过高均异常，故双侧； 肺活量过低为异常，故单侧； 血铅、发汞含量过高为异常，故单侧。
知道面积求U值。 查附表1 得：0.10 对应的U值为-1.28
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
17
三、正态分布的应用 （一） 确定医学参考值范围(reference range) ：

正态分布

正态分布

例1：设
X ~ N 0,1
求 P ( X 1.23); P ( X 2.08); P ( X 0.09);
P(2.15 X 5.12); P( X 1.96)
解：
P ( X 1.23) 0
P ( X 2.08) (2.08) 0.9812
P( X 0.09) 1 (0.09) (0.09) 0.5359
重要结论：设 X ~ N ( ， )，则
2
X

~ N (0,1) .
P ( X b ) P ( X b ) ( b ) （1） P （2） (a X b) P (a X b) P (a X b) b a ) ( ) P (a X b) ( a （3）P ( X a ) P ( X a ) 1 ( ) （4） P( X k ) P( X k ) ( k ) ( k )
对第二种方案有X ~ N 6，2）， （ 2 56 于是（X 5） 1 P X 5） 1 （ P （ ） 3 1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
综上分析，选择第 ？
种方案
小
1.标准正态分布
1）记为 X~N(0，1)
2）密度 ( x ) 函数：
（1） P ( X x ) 0.90 ，求x； （2） P ( X y ) 0.04 ，求y。 解：（1）P ( X x )
10
x 500 0.90 10
查表得 x 500 1.28
，得 x =512.8
y 500 0.04 （2）P ( X y ) 1 10 y 500 y 500 0.96 查表得 于是 1.75 10 10
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正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。

而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。

五、 标准正态分布1、U 转换2、函数 22121)(xex F -=π3、参数E(U)=0V(U)=14、曲线下面积（概率）分布规律 P{-1<u<1}=0.6827P{-1.96<u<1.96}=0.9500 P{-2.58<u<2.58}=0.9900六、 医学参考值（医学正常值）范围的制定1、定义或概念：医学参考值是指正常或健康人总体人群中的大多数（通常为95%）某专业指标测定值的波动范围。

正常或健康人是指其身体状况或疾病状态不影响该专业指标的水平和测量，而非指任何疾病和缺陷都不存在的σμ-=x u人。

特别注意不能用该专业指标判定正常人或健康人！2、医学参考值科研设计中应注意的问题（1）选择和纳入适宜人群①必须是大样本②正确的纳入和排除标准③考虑到专业指标测定值分布上的分组（先细后粗），和该指标组间的差别统计分析。

（2）专业指标测量方法学的要求①方法的精密度和准确度②测量片性归因因素4M1E③样品收集方法及样品的转运、储存及测定准备于条件（3）确定单、双侧*过高、过低均为异常是双侧（如RBC），过高异常为单侧上限（如体液毒物），过低异常为单侧下限（如肺活量）（4）选择适当百分位置：如不明确专门指出（如80%、90%等），一般均系95%。

如正常人与疾病人该指标分布有交叉，要根据目的权衡假阳性和假阴性。

以确诊为目的，要减少假阳性，故百分范围取大；以发现病人为目的，要减少假阴性，故百分范围应适当取小。

（5）根据x的分布选择统计方法近似正态——正态法单峰偏态可转变为正态——对数正态法单峰偏态不能转为正态——百分位数法3、计算公式（1）正态法（2）百分位数法（3）对数正态法双侧x±1.96S Xp2.5～Xp97.5 lg-1(x lgx±1.96S lgx) 单侧上限x+1.645S 0～Xp95 lg-1(x lgx+1.645S lgx) 单侧下限x-1.645S Xp5～Xmax lg-1(x lgx-1.645S lgx)二项分布（bionomial distribution ）● 实验 已知 总体阳性率 Л=0.8；若检测两份独立样品 根据概率乘法定理 结果又4种情况 ① 两样品同为阳性 ○ ○ P=0.8×0.8=0.64 ② 甲阳乙阴 ○ ● P=0.8×0.2=0.16 ③ 甲阴乙阳 ● ○ P=0.2×0.8=0.16 ④ 两样品均为阴性 ● ● P=0.2×0.2=0.04 合之，恰为（0.8+0.2）2的展开式，共3次，系数为1、2、1若监测三份独立样品，结果恰为（0.8+0.2）3的展开式，共4次，系数为1、3、3、1……若检测n 份独立样品，结果恰为（0.8+0.2）n 的展开式，共n+1次，系数为杨辉三角的“基层”。

一、定义 若实验只有互相对立的两种结果（阳性与阴性、治愈与未愈、发病与未发病、中毒与未中毒，……），在n 次独立实验中，出现0、1、2、……n 任何一种阳性结果数的概率分布，可用计算和描述，称之为符合二项分布。

二、参数 n 和Л两个参数数学期望 E(x)=n ·Л (即平均阳性数) 方差 V （x ）=n Л(1-Л)三、 图形 注意不同于连续型随机变量的曲线分布图形，而是离散型取值的概率高度。

1、Л=0.5时 对称分布。

如n=3k n k k n k k nk n k n C k X P ----=-==)1()!(!!)1()(ππππ2、Л≠0.5时 不对称，但随n 的增大，超于截尾对称。

四、 应用1、在n 和Л已知情况下，可求任何可能阳性（n+1种）数的取值概率如 已知某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有15人感染钩虫的概率可计算为：0569.0)!15150(!15!150)15(87.013.0)15150(15=⨯⨯-==-x P2、在n 和Л已知情况下，可求累积概率 如上例，要求计算x ≤5的概率P(x=5)=0.00003733=3.7328×10-5 P(x=4)=0.000008555=8.5552×10-6 P(x=3)=1.5579×10-6P(x=2)=2.1134×10-7P(x=1)=1.8985×10-8P(x=0)=8.4701×10-10合计 ∑P （x=5）=4.7672×10-53、是率的分布理论基础（1） n+1种阳性数，就意味着n+1种阳性率nxP =,(x=0、1、2、……n) （2） 如n Л及n(1-Л)≥5时，可按正态近似。

4、如资料符合二项分布，应按二项分布法进行参数估计和假设检验5、由于二项分布的Л已知，意味着阳性结果发生均按同样阳性率规律发生，因此各次试验独立进行，互不影响，时间发生无聚积性。

据此可进行某种频数分布用二项分布模型进行拟合（检验方法为拟合优度卡方检验），若拟合适度说明符合二项分布，事件有独立性、无聚积性；反之，拟合不适度，说明不符合二项分布，事件发生不独立，相互有影响，说明有聚积性。

（传染病和遗传性疾病的发生有聚积性，不符合二项分布）泊松分布（poisson distribution ）● 数学关系在二项分布基础上，令n Л=λ(平均阳性数)，当Л→0和n →∞时，可推导出下列分布，即ex x P xλλ-=!)(，由于是法国数学家poisson 发现故为泊松分布。

该分布主要描述极微小概率事件的分布，故多用于医学中单位大空间中发生质点事件的概率计算,如 水中细菌数分布概率、每立升空气中粉尘计数概率、单位时间（如1分钟）放射性质点数概率，大规模观察人年数中，疾病发生数概率等。

一、定义与函数若单位空间质点事件概率分布能用下列函数描述和计算，则称符合泊松分布。

ex x P xλλ-=!)(二、参数 只有一个λ。

E(x)= λV(x)= λ即说明泊松分布，均数二方差 三、图形泊松分布可以λ的取值为横轴（注意一般曲正整数——λ为平均阳性数），以概率为纵轴画出图形为离散取值的概率高度（类似于二项分布） 四、应用1、概率估计（已知单位空间平均质点数λ）求各种质点数的概率如已知100cm 2的培养皿中平均菌落数为6个，求菌落数x=3的概率089235078.0!3)3(636===-e x P2、求累积概率上例中，求x ≤3的概率P(x ≤3)=P(x=3)+ P(x=2)+ P(x=1)+ P(x=0)=0.151203882 3、当λ≥20时，可按正态近似处理4、解决符合泊松分布资料的参数估计和假设检验问题5、可进行泊松分布拟合，以考察资料频数分布是否有聚积性 五、注意点1、具有可加性，不具有乘积性和扩倍性，但可缩空为近似2、分析泊松分布资料在同等空间质点数分析对比时不考虑空间大小但在不等空间质点技术分析对比时，应化作同等空间（大空间→小空间）。