所以偶然误差具有正态分布的特性共24页文档
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测量中偶然误差的分布有如下特点123
测量中偶然误差的分布有如下特点：1、就误差的绝对值而言，小误差比大误差出现的机会多，故误差的概率与误差的大小有关；2、大小相等。
符号相反的正负误差的数目几乎相等，故误差的密度曲线是对称于误差为0的纵轴；3、极大的正误差与负误差的概率非常小，故绝对值很大的误差一般不会出现。
数理统计中的几个常用的抽样分布1、正态分布2、x2分布2、x2分布设X～N（0,1），X1，X2，‥‥，Xn为X的一个样本，则称它们的平方和为3、t分布：设X～N（0,1），Y～x2（n），并且X与Y相互独立，则称随机变量t=X/（Y/n）1/2服从自由度为n的t分布，记为t～t（n），上右图为密度函数分布图象，，当n大时，t （n）与N（0,1）很接近。
假设检验的一般步骤是：★、提出原假设H0；★、选择一个合适的检验统计量U，并从样本（子样观测值）求出统计量U的值u；★、对于给定的显著水平a（一般取0.05或0.01）查U的分布表，求出临界值u0（也称分位值），用它划分接受域W0和拒绝域W1，使得当H0为真时，有P｛U∈W1｝=a；★、比较u和u0,看是否在W0或W1里。
§2-2-2 检验方法1、u检验法：使用服从标准正态分布的统计量所进行的假设检验称为u检验法。
U检验一般用于未知的母体均值。
2、t检验法t分布可用于小子样问题的检验中。
在测量上t分布多用于附加系统参数的显著性检验，也可以用来进行粗差定位。
3、x2检验利用服从x2分布的统计量检验正态母体方差σ2的各种假设，称为x2检验。
适用于大子样问题的检验。
在测量上可通过此检验来判断观测值中是否存在粗差。
4、F检验利用服从F分布的统计量来检验两正态母体的方差之比，称为F检验。
第三章变形监测技术§3-1 变形监测技术常用的地面监测方法主要有★两方向前方交会法；★双边距离交会法；★极坐标法；★自由设站法；★视准线法；★小角法；★测距法；★几何水准测量法和精密三角高程测量法等八种方法。
第5章 误差理论
49 8
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
偶然误差的特性.
测量误差
偶然误差的特性
中误差 （数值越小， 精度越高）
测量误差
解决办法
偶然误差的特性
根据偶然误差的特性，它无法用系统误差的解决办法解决，只能用相应的 办法来减弱其对测量成果的影响：
➢改善观测条件，以缩小误差范围； ➢增加观测次数，以减小偶然误差对测量成果的影响； ➢取多次观测值的算术平均值作为观测结果。
地形测量
测绘基准
主讲人：赵柯柯 黄河水利职业技术学院
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
➢绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）；
➢绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多；
➢绝对值相等的正、实践证明，在其它测量结果中，也都显示出上述同样 的统计规律。
偶然误差的特性
观测成果精度的评定标准
评定精度的标准
中误差 容许误差（极限误差） 相对误差
THANKS 谢谢聆听
主讲人：赵柯柯 黄河水利职业技术学院
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
偶然误差的分布规律（特性）
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定界限（有界性）； （2）绝对值相等的正、负误差出现的概率相等（对称性）； （3）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大（聚中性）； （4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加 而趋于零（抵偿性）。
正态分布的特性和重要性
正态分布的特性和重要性正态分布是统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中广泛应用，具有许多独特的特性和重要性。
本文将介绍正态分布的特性以及其在各个领域中的重要性。
正态分布的特性正态分布具有以下几个重要的特性：对称性正态分布是一种对称分布，其概率密度函数在均值处取得最大值，并且两侧的概率密度相等。
这意味着正态分布的左右两侧呈镜像关系，左右尾部的概率相等。
峰度和偏度正态分布的峰度和偏度是衡量其形状的指标。
峰度描述了分布曲线的陡峭程度，正态分布的峰度为3，表示其曲线相对于均值较为陡峭。
偏度描述了分布曲线的对称性，正态分布的偏度为0，表示其曲线左右对称。
中心极限定理中心极限定理是正态分布最重要的特性之一。
它指出，当样本容量足够大时，无论原始数据的分布形态如何，样本均值的分布都会接近于正态分布。
这个定理在统计推断和假设检验中起到了至关重要的作用。
68-95-99.7法则正态分布的另一个重要特性是68-95-99.7法则，也称为“三个标准差法则”。
根据这个法则，约有68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约有95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约有99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这个法则在实际应用中可以帮助我们快速了解数据的分布情况。
正态分布的重要性正态分布在各个领域中都具有重要的应用价值：自然科学正态分布在自然科学中广泛应用。
例如，在物理学中，正态分布可以描述粒子运动的速度和能量分布；在生物学中，正态分布可以描述种群数量和遗传特征的分布；在地球科学中，正态分布可以描述地震和气象数据的变化规律。
社会科学正态分布在社会科学中也有重要的应用。
例如，在经济学中，正态分布可以描述收入和财富的分布；在心理学中，正态分布可以描述智力和人格特征的分布；在教育学中，正态分布可以描述学生考试成绩的分布。
工程技术正态分布在工程技术领域中起到了至关重要的作用。
例如，在质量控制中，正态分布可以用来判断产品是否合格；在电子工程中，正态分布可以用来描述电子元件的性能分布；在交通规划中，正态分布可以用来预测交通流量和拥堵情况。
偶然误差的统计规律
测量顺序
个数N
平均值P
标准偏差S（x）
1~10
1~20
……
1~100
10
20
……
100
……
……
……
……ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最后用折线图表示P、S（x）的变化情形（横坐标为N）
4、分区统计并和正态分布作比较
找出数据的最小值（A）和最大值（B）
将（B——A）等分为M个区间，区间宽度E为
统计每个区间的数据的个数ni (I=1，2，3…100)
用秒表测量复摆周期，可测量摆动5次、10次、20次的时间，再计算周期，共测量100次。
此实验是研究偶然误差规律性，不要人为的有意选择数据，测量时尽量保持振幅稳定。
四、数据的统计
1、求平均值P及测量列标准偏差S（x）
2、剔除坏数据：使用格罗面斯判据去判断，可保留的数据范围为：Gn为格罗布斯判据系数
3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差，要求按测量顺序每增加10个数据，求出一次结果，即
作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较，以测量值为横坐标，以频率和区间宽度的比值为纵坐标，作统计直方图。
统计在（P—S）~（P+S）量值范围中，测量值的个数ns，求ns/n值。
gnsgn为格罗布斯判据系数3求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差要求按测量顺序每增加10个数据求出一次结果即测量顺序个数n平均值p标准偏差s11010120201100100最后用折线图表示psx的变化情形横坐标为n4分区统计并和正态分布作比较统计每个区间的数据的个数ni1123100作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较以测量值为横坐标以频率屯和区间宽度的比值
偶然误差的统计规律
一、实验目的：从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性：
个数N
平均值P
标准偏差S（x）
1~10
1~20
……
1~100
10
20
……
100
……
……
……
……ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最后用折线图表示P、S（x）的变化情形（横坐标为N）
4、分区统计并和正态分布作比较
找出数据的最小值（A）和最大值（B）
将（B——A）等分为M个区间，区间宽度E为
统计每个区间的数据的个数ni (I=1，2，3…100)
用秒表测量复摆周期，可测量摆动5次、10次、20次的时间，再计算周期，共测量100次。
此实验是研究偶然误差规律性，不要人为的有意选择数据，测量时尽量保持振幅稳定。
四、数据的统计
1、求平均值P及测量列标准偏差S（x）
2、剔除坏数据：使用格罗面斯判据去判断，可保留的数据范围为：Gn为格罗布斯判据系数
3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差，要求按测量顺序每增加10个数据，求出一次结果，即
作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较，以测量值为横坐标，以频率和区间宽度的比值为纵坐标，作统计直方图。
统计在（P—S）~（P+S）量值范围中，测量值的个数ns，求ns/n值。
gnsgn为格罗布斯判据系数3求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差要求按测量顺序每增加10个数据求出一次结果即测量顺序个数n平均值p标准偏差s11010120201100100最后用折线图表示psx的变化情形横坐标为n4分区统计并和正态分布作比较统计每个区间的数据的个数ni1123100作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较以测量值为横坐标以频率屯和区间宽度的比值
偶然误差的统计规律
一、实验目的：从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性：
5-2偶然误差的特性
观测质量：
第I组明显优于第II组。
本 节 重 点
1. 术语解释：系统误差；偶然误差；粗差。
2. 测量误差的来源有哪些？
3. 为什么高精度测量工作中要增加观测次数？
4. 偶然误差的特性是什么？ 5. 当一系列观测值中出现特殊大的不符值时，是 否与偶然误差的第一特性相违？
1）直方图(histogram)
正态分布/高斯分布
当n→∞，区间→0时， 形成误差分布曲线
⑴密度函数（consistency function) :
⑵方差(variance)：偶然误差的平方理论平均值
⑶标准差（standard deviation）：
2）正态分布其密度函数 （Normal distribution & consistency function)
lim
n
n
0
可能性与概率
possibility & probability
抛掷硬币试验
实验者 次数 正面次数 频率
蒲 丰(法国) 4040 2048 比尔逊(英国) 12000 6019 比尔逊 24000 12012
0.5069 0.5016 0.5005
5.2.2 概率论的数理统计概念 General Laws of Probability
(1) 正态分布的密度函数 (Consistency function of normal distribution)
y f i 1
Application of normal distributions ex:两组观测值正态分布曲线的比较 （Comparison of two normal distributions)
ex： 同等观测条件下，358个三角形闭合差，取 6″为误差区间，按值排列，统计各区间出现的 个数k，并计算其在该区间频率（出现的相对 个数）k/n.
偶然误差的特性
D1 D2 Dn 。
A
图1
A
2 ．如图 2 ，对 ABC 的三个内角进行观测，得值
a、b、c ，但是却有如下现象： a b c 180
C
现象总结：(1)同一观测量之间的值不相等 ,(2)观测 值与其理论值(真值)之间有差异.
原因:观测中存在观测误差。
二、测量误差的分类： 图2 测量误差按其性质，可分为系统误差和偶然误差两大 类。 （一） 、系统误差： 1、系统误差的概念： 在相同的观测条件下获得的观测列中，如果误差在数值、符号上保持不变， 或按一定的规律变化，那么，这种误差就称为系统误差。 如： 用一把 30m 名义尺长与标准长度相差 5mm 的尺子丈量距离，每量一次就
江苏省高等职业学校
教 案
教 师 姓 名 授 课 日 期
包民先
授课班级 年 月 日 第 周
授课形式 授课时数
讲授 2
第一章 误差理论与测量平差的准则
授课章名称
1.1 偶然误差的特性
1.使学生了解测量误差产生的原因，测量误差按其性质的分类。 2. 掌握偶然误差的特性。
教 学 目 的
偶然误差的特性 教 学 重 点
A
B
会产生 5mm 的误差， 如丈量 300m 的距离即产生 5cm 的误差。所丈量的距离越长， 则所积累的误差也就越大。 再如： 水准仪视准轴不平行于水准管轴，其读数误差与水准仪距水准尺距离 成正比。 2、系统误差产生的原因及消除方法： 从以上两个例子可以看出： 系统误差的来源主要是由于仪器构造上的缺陷或 未经检校彻底。 由于其表现具有一定的规律性，人们可以找出原因予以消除或消 弱。 如以上两项系统误差可分别通过尺长改正及采用前、后视距相等来消除或消 弱。 （二） 、偶然误差： 1、 偶然误差的概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测， 如果观测误差在大小和符号上均呈现 出偶然性，即从表面现象上看，该列误差的大小和符号没有规律性，则称这种误 差为偶然误差。 2、偶然误差产生的原因： 偶然误差产生的原因是多方面的，而且往往不因定和难以控制的。 其符号可正可负， 因此， 观测结果中不可避免地含有偶然误差并且它不能象系统 误差那样被消除。 本教材研究的主要对象就是偶然误差， 即总是假定： 错误的观测值已被纠正， 含系统误差的观测值已经过适当的改正。因此，在观测误差中，仅含有偶然误差 占主导地位。 三、偶然误差的特性 1.真值的概念： 任何一个观测量， 客观上总存在一个能代表其真正大小的数值，这个值就称 为该观测值的真值。 现设进行了 n 次观测，其观测值为：l1、l2、l3…lN，现分别以 L1、L2、 L3…LN 表示观测量的真值。由于观测中不可避免存在误差，因此，真值与观测 值之间一定存在着差数，设为： △i=Li-li （1-1） 式中：△i 称为真误差，简称误差。 测量平差研究的对象是一系列含有偶然误差的观测值，因此△i 仅指偶然 误差。 在上节课中我们学习了： 就单个偶然误差而言，其数值的大小和符号均是随 机的、没有规律的。但若对大量的偶然误差进行统计分析，发现偶然误差会呈现 出一定的规律性。而且，偶然误差的个数越多，其规律性表现得越明显。 为了揭示偶然误差的规律性，让我们先来看一个实例： 前人曾在相同的观测条件下，独立地观测了 162 个三角形的全部内角。由于 观测中含有观测误差，因此，每个三角形的三内角之和（β1+β2+β3）i 一般 不等于 180 度，由真误差公式△i=Li-li 可求出其不意 162 个三角形内角和的真 误差为： △i=180°-（β1+β2+β3）i （i=1、2、3 … 162） 现将全部误差按其正负分成两组，并将每组中的真误差按从小到大排列，以误差 区间 d△=0.2″统计出误差落入到各个区间的个数μ i,计算出误差出现在各个 区间的频率 fi,其计算公式为:
A
图1
A
2 ．如图 2 ，对 ABC 的三个内角进行观测，得值
a、b、c ，但是却有如下现象： a b c 180
C
现象总结：(1)同一观测量之间的值不相等 ,(2)观测 值与其理论值(真值)之间有差异.
原因:观测中存在观测误差。
二、测量误差的分类： 图2 测量误差按其性质，可分为系统误差和偶然误差两大 类。 （一） 、系统误差： 1、系统误差的概念： 在相同的观测条件下获得的观测列中，如果误差在数值、符号上保持不变， 或按一定的规律变化，那么，这种误差就称为系统误差。 如： 用一把 30m 名义尺长与标准长度相差 5mm 的尺子丈量距离，每量一次就
江苏省高等职业学校
教 案
教 师 姓 名 授 课 日 期
包民先
授课班级 年 月 日 第 周
授课形式 授课时数
讲授 2
第一章 误差理论与测量平差的准则
授课章名称
1.1 偶然误差的特性
1.使学生了解测量误差产生的原因，测量误差按其性质的分类。 2. 掌握偶然误差的特性。
教 学 目 的
偶然误差的特性 教 学 重 点
A
B
会产生 5mm 的误差， 如丈量 300m 的距离即产生 5cm 的误差。所丈量的距离越长， 则所积累的误差也就越大。 再如： 水准仪视准轴不平行于水准管轴，其读数误差与水准仪距水准尺距离 成正比。 2、系统误差产生的原因及消除方法： 从以上两个例子可以看出： 系统误差的来源主要是由于仪器构造上的缺陷或 未经检校彻底。 由于其表现具有一定的规律性，人们可以找出原因予以消除或消 弱。 如以上两项系统误差可分别通过尺长改正及采用前、后视距相等来消除或消 弱。 （二） 、偶然误差： 1、 偶然误差的概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测， 如果观测误差在大小和符号上均呈现 出偶然性，即从表面现象上看，该列误差的大小和符号没有规律性，则称这种误 差为偶然误差。 2、偶然误差产生的原因： 偶然误差产生的原因是多方面的，而且往往不因定和难以控制的。 其符号可正可负， 因此， 观测结果中不可避免地含有偶然误差并且它不能象系统 误差那样被消除。 本教材研究的主要对象就是偶然误差， 即总是假定： 错误的观测值已被纠正， 含系统误差的观测值已经过适当的改正。因此，在观测误差中，仅含有偶然误差 占主导地位。 三、偶然误差的特性 1.真值的概念： 任何一个观测量， 客观上总存在一个能代表其真正大小的数值，这个值就称 为该观测值的真值。 现设进行了 n 次观测，其观测值为：l1、l2、l3…lN，现分别以 L1、L2、 L3…LN 表示观测量的真值。由于观测中不可避免存在误差，因此，真值与观测 值之间一定存在着差数，设为： △i=Li-li （1-1） 式中：△i 称为真误差，简称误差。 测量平差研究的对象是一系列含有偶然误差的观测值，因此△i 仅指偶然 误差。 在上节课中我们学习了： 就单个偶然误差而言，其数值的大小和符号均是随 机的、没有规律的。但若对大量的偶然误差进行统计分析，发现偶然误差会呈现 出一定的规律性。而且，偶然误差的个数越多，其规律性表现得越明显。 为了揭示偶然误差的规律性，让我们先来看一个实例： 前人曾在相同的观测条件下，独立地观测了 162 个三角形的全部内角。由于 观测中含有观测误差，因此，每个三角形的三内角之和（β1+β2+β3）i 一般 不等于 180 度，由真误差公式△i=Li-li 可求出其不意 162 个三角形内角和的真 误差为： △i=180°-（β1+β2+β3）i （i=1、2、3 … 162） 现将全部误差按其正负分成两组，并将每组中的真误差按从小到大排列，以误差 区间 d△=0.2″统计出误差落入到各个区间的个数μ i,计算出误差出现在各个 区间的频率 fi,其计算公式为:
(整理)第5章,误差基本知识
第5章测量误差基本知识测量工作使用仪器进行测量，在测量过程中不可避免的出现误差，为了提高测量精度及精度评定，需要了解测量误差的来源，促进测量工作方法的改进，和测量精度的提高。
误差—在一定观测条件下，观测值与真值之差。
精度—观测误差的离散程度。
5-1 误差的基本概念讨论测量误差的目的：用误差理论分析，处理测量误差，评定测量成果的精度，指导测量工作的进行。
▼▼▼▼产生测量误差的原因，▼▼测量误差的分类和处理原则，▼▼偶然误差的特性一、测量误差的来源仪器原因：仪器精度的局限，轴系残余误差等。
人的原因：判别力和分辨率的限制，经验等。
外界影响：气象因素（温度变化，风、大气折光）等。
有关名词:观测条件，等精度观测：上述三大因素总称观测条件，在上述条件基本一致的情况下进行各次观测，称等精度观测。
结论：观测误差不可避免（粗差除外）二、测量误差的分类两类误差：系统误差偶然误差粗差（错误排除）1、系统误差-- 误差出现大小、符合相同，或按规律变化，具有积累性。
处理方法①检校仪器，把仪器的系统误差降到最小程度；②求改正数，对测量结果加改正数消除；③对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便外业操作时抵消。
例：误差处理方法钢尺尺长误差△D K 计算改正钢尺温度误差△Dt 计算改正水准仪视准轴误差I 操作时抵消（前后视等距）经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)●结论：系统误差可以消除。
2、偶然误差-- 误差出现的大小，符合各部相同，表面看无规律性。
例：估读误差—气泡居中判断，瞄准，对中等误差，导致观测值产生误差。
◎偶然误差：是由人力不能控制的因素所引起的误差。
◎特点:具有抵偿性。
◎处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提高观测结果的精度。
3、粗差—指在一定的观测条件下超过规定限差值。
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义:设某量的真值X对该量进行n次观测得n次的观测值l1,l2,l3……l n则产生了n个真误差真误差：△I = X-l i2、偶然误差的特性☎当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现统计学上的规律性，偶然误差具有正态分布的特性。
第3节 偶然误差的正态分布、误差传递
SR2
=
a
2
S
2 A
+ b2Sb2
+ c2Sc2
分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤 标准偏差的平方与系数平方乘积的总和。
❖ 随机误差的乘除运算的通式
• 设分析结果 R是A，B，C三个测量值相乘除
的
R = AB
结果，例如：
C
R = m AB C
又如：
2
2
2
2
可得到 SR = S A + SB + SC
R A B C
分析结果的相对标准偏差的平方是各测量值 相对标准偏差的平方的总和。
❖ 随机误差的传递指数运算的通式
• 对于关系式为：R= mAn ,
• 结果的相对偏差是测量值相对偏差的n倍
，即：
SR
2
=
n2
SA
2
R
A
•或
SR = n SA
R
A
❖ 随机误差的传递对数运算的通式
❖ 系统误差的传递 指数关系
• 如果分析结果R与测量值A有下列关系： • R = m An ，则其误差传递关系式为：
ER = n EA
R
A
小结：有指数关系分析结果的相对误差，为测量值的相对误 差的指数倍。
❖ 系统误差的传递 对数关系
• 如果分析结果R与测量值A有如下关系： • R = m lg A • 其误差传递的关系式为：
【例题】已知某试样中Co的标准值为μ=1.75%，σ=0.10%，若 无系统误差存在，试求：分析结果落在[1.75±0.15]%范围内的 概率；求分析结果大于2.00%的概率？（单边检验问题）
随机误差正态分布.pptx
4. 标准偏差和相对标准偏差 ➢n ∞ 时，测定数据的全体成为总体
➢当测定次数（n）为有限次时，测定数据为总体 中的一个样本，n为样本容量
lim x (总体平均值)＝T（消除系统误差后）
n
标准偏差 S
n
(xi x)2 注：自由度f＝n-1
s i1 n 1
相对标准偏差 （变异系数）CV
RSD% s 100 x
• 随机误差 （Random error)是些随机的因 素造成的误差。
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系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定的因素
不定的因素
分类
方法误差、仪器与试剂 误差、主观误差
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响 准确度
精密度
消除或减 小的方法
测 定 次 数 较 少 时 ， 测x定 值 或 随 机 误 差 也 不
呈正态分布，这就给少量测定数据的统计
处理带来了困难。此时若用s代替σ从而对μ
作出估计必然会引起偏离，而且测定次数
越少，偏离就越大。
t
x
s
n
x ta，f
s n
第24页/共54页
（三）区间概率的概念
25.0
0.40
20.0
0.30
其准确度与精密度。
丁
表观准确度高，精密度低
（不可靠）
丙
准确度高，精密度高
乙
准确度低，精密度高
甲
准确度低，精密度低
9.60% 9.80% 10.00% 10.20 % 10.04%
测量点
平均值
真值
第1节偶然误差理论-PPT精品
1. 不确定度的定义 (uncertainty of measurement)
对测量值的准确程度给出一个量化的表述
它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定 的程度。或者说以测量结果作为被测量真值的估计 值时可能存在误差的范围，并且在这个范围内以一 定的概率 (probability) 包含真值。
三、有效数字的舍入法则
一、直接测量量的有效数字之运算
1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位; 2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位；
3. 游标类量具只读到游标分度值，一般不估读；
4. 数字式仪表及步进读数仪器不需要进行估读，仪器所 显示的未位就是欠准数字； 5. 在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补 “０”，一直补到可疑位 。
三、有效数字的舍入法则
(rules for rounding off of numerical value)
“小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶”
将下列数据保留三位有效数字：
3.54499 3.54
3.5425 3.54
3.5466 3.55
3.5350 3.54
3.5450 3.54
人为误差
主观方面
来源
测量仪器方面
环境方面
一、判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？ 1. 米尺的刻度不均匀； 2. 游标卡尺或外径千分尺零点不准； 3. 加热丝的电阻随温度变化对热功率带来的误差； 4. 电网电压的变化对加热功率带来的误差； 5. 电表接入被测电路所引起的误差；
5. 测量结果的两种表示
ux uA2 uB2
Sx2 仪2
二、直接测量量的不确定度评定步骤
（1）修正测量数据中的可定系统误差；
对测量值的准确程度给出一个量化的表述
它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定 的程度。或者说以测量结果作为被测量真值的估计 值时可能存在误差的范围，并且在这个范围内以一 定的概率 (probability) 包含真值。
三、有效数字的舍入法则
一、直接测量量的有效数字之运算
1. 一般读数应读到最小分度以下再估一位; 2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位；
3. 游标类量具只读到游标分度值，一般不估读；
4. 数字式仪表及步进读数仪器不需要进行估读，仪器所 显示的未位就是欠准数字； 5. 在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补 “０”，一直补到可疑位 。
三、有效数字的舍入法则
(rules for rounding off of numerical value)
“小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶”
将下列数据保留三位有效数字：
3.54499 3.54
3.5425 3.54
3.5466 3.55
3.5350 3.54
3.5450 3.54
人为误差
主观方面
来源
测量仪器方面
环境方面
一、判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？ 1. 米尺的刻度不均匀； 2. 游标卡尺或外径千分尺零点不准； 3. 加热丝的电阻随温度变化对热功率带来的误差； 4. 电网电压的变化对加热功率带来的误差； 5. 电表接入被测电路所引起的误差；
5. 测量结果的两种表示
ux uA2 uB2
Sx2 仪2
二、直接测量量的不确定度评定步骤
（1）修正测量数据中的可定系统误差；
第三章 3节随机误差的正态分布4节有限测定次数的统计处理
随着测定次数增多，t 分布曲线愈来愈陡峭，测定值的集中 趋势亦更加明显，当 f→∞时，t 分布曲线就与正态分布曲线合 为一体，因此可以认为标准正态分布就是 t 分布的极限。 与正态分布曲线一样，t 分布曲线下面某区间的面积也表示随 机误差在此区间的概率。
但 t 值与标准正态分布中的u值不同，它不仅与概率还与测定次
势都是0。
曲线拐点的横坐标为
四、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所夹的面积，表示来自同一总体的 全部数据或随机误差出现概率的总和为100%，即为1。
测定值或随机误差在某一区间出现的概率P，可取不同的u值
对上式积分求面积而得到
如测定值在μ±σ区间，或随机误差在±σ区间出现的概率：
x u =±1
并不明显地小于Qp，n，若将“9”保留取平均值报结果也不合理。
§1 如果有条件的话，应补测1—2次。如例3—8中再测一次得数
据2 mg· －1，此时Q 0.90，4＝0.76，Q＝0.88＞Q 0.90，4，故可舍去可 L 疑值9 mg· －1。 L
§2 如果没有条件再做测定，则宜采用中位数代替平均值报告结果。 中位值的求法： 数据由小到大排列，n为偶数中位值是中间两个数值的平均值，
第三节
偶然误差的正态分布
一、频率分布
分组：视样本容量的大小将,分组，本例分为9组。 组距： 极差R／组数＝(1.74％—1.49％)／9＝0.03％ 即每组中最大值与最小值的差。
频数：统计测定值落在每组内的个数。
频率(相对频数)：频数与样本容量（数据总数）之比。
0.03％
2÷90
以各组区间为底 边，在其上做出 高度与频率相等 的长方图。
频 率
用线连接长方 形顶边中点，
第2讲偶然误差的统计规律
谢 谢！
误差理论与测量平差
测绘工程系
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
为研究其统计规律，假设对n个量进行了观测，观测值为
、 L1、L2、其、相Ln 应的真值分别为 L~1、令L~2、、L~n i L~i Li i 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶 然误差，所以真误差就是偶然误差。用向量形式表述为：
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
1、列表法
误差区间单位 （″）
0.0~0.5 0.5~1.0
为负的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
123
0.158
99
0.127
为正的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
116
0.149
98
0.125
1.0~1.5
72
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 （有界性） 判断系统误差（粗差）的依据 （对称性和抵偿性） 偶然误差的数学期望等于真值，若误差的理论平均值不
为0且值较大，可以判断包含系统误差或者粗差。
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
在相同的观测条件下，对测区781个三角形的内角进行观 测，并按照下式求出三角形内角和的真误差为：
i 180 (L1 L2 L3)i , (i 1,2,,781)
误差理论与测量平差
测绘工程系
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
为研究其统计规律，假设对n个量进行了观测，观测值为
、 L1、L2、其、相Ln 应的真值分别为 L~1、令L~2、、L~n i L~i Li i 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶 然误差，所以真误差就是偶然误差。用向量形式表述为：
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
1、列表法
误差区间单位 （″）
0.0~0.5 0.5~1.0
为负的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
123
0.158
99
0.127
为正的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
116
0.149
98
0.125
1.0~1.5
72
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 （有界性） 判断系统误差（粗差）的依据 （对称性和抵偿性） 偶然误差的数学期望等于真值，若误差的理论平均值不
为0且值较大，可以判断包含系统误差或者粗差。
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
在相同的观测条件下，对测区781个三角形的内角进行观 测，并按照下式求出三角形内角和的真误差为：
i 180 (L1 L2 L3)i , (i 1,2,,781)
偶然误差的分布符合正态分布
用4d 法和 Q 值检验法判断 1.40 是否保留。
用 Q 值检验法：可疑值 xn
Q计算
xn xn1 x n x1
1.40 1.31 1.40 1.25
0.60
查表 2-4， n = 4 ，
Q0.90 = 0.76
Q计算 < Q0.90
故 1.40 应保留。
注意
(1) 不能为追求精密度而随意丢弃数据；必须进行检验；
（4） 计算：
（5）根据测定次数和要求的置信度(如90%)， 查表2-4 得Q表 （如 Q90 ）。 （6）将 Q 与 Q表 （如 Q90 ）相比较，
若 Q > Q表 舍弃该数据。 （过失误差造成）
若 Q ≤ Q表 保留该数据。 （偶然误差所致）
例：
测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，
二、 分析结果的数据处理
为什么要对数据进行处理？
①个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是 该弃去？
②测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？ ③相同方法测得的两组数据或用两种不同方法对同一试样测 得的两组数据间的差异是否在允许的范围内？
数据处理包括哪些方面？
①可疑数据的取舍——过失误差的判断 ②分析方法的准确度（可靠性）——系统误差的判断
本相对标准偏差Sr），测定次数n。
答：c
2.误差的绝对值与绝对误差是否相同？ 答：不相同。误差的绝对值是 或 ， 绝对误差是Ea。
3.常量滴定管（25mL）读数时可估读到±0.01 mL，若要求滴定 的相对误差小于0.1%，在滴定时，耗用体积应控制为多少？
解：∵ ≤0.1%，∴V≥20mL。答：耗用体积应 控制为20～25mL范围。
用 Q 值检验法：可疑值 xn
Q计算
xn xn1 x n x1
1.40 1.31 1.40 1.25
0.60
查表 2-4， n = 4 ，
Q0.90 = 0.76
Q计算 < Q0.90
故 1.40 应保留。
注意
(1) 不能为追求精密度而随意丢弃数据；必须进行检验；
（4） 计算：
（5）根据测定次数和要求的置信度(如90%)， 查表2-4 得Q表 （如 Q90 ）。 （6）将 Q 与 Q表 （如 Q90 ）相比较，
若 Q > Q表 舍弃该数据。 （过失误差造成）
若 Q ≤ Q表 保留该数据。 （偶然误差所致）
例：
测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，
二、 分析结果的数据处理
为什么要对数据进行处理？
①个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是 该弃去？
②测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？ ③相同方法测得的两组数据或用两种不同方法对同一试样测 得的两组数据间的差异是否在允许的范围内？
数据处理包括哪些方面？
①可疑数据的取舍——过失误差的判断 ②分析方法的准确度（可靠性）——系统误差的判断
本相对标准偏差Sr），测定次数n。
答：c
2.误差的绝对值与绝对误差是否相同？ 答：不相同。误差的绝对值是 或 ， 绝对误差是Ea。
3.常量滴定管（25mL）读数时可估读到±0.01 mL，若要求滴定 的相对误差小于0.1%，在滴定时，耗用体积应控制为多少？
解：∵ ≤0.1%，∴V≥20mL。答：耗用体积应 控制为20～25mL范围。