江苏省盐城市时杨中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题

2015—2016学年江苏省盐城市时杨中学高一（下）期中化学试卷一、单项选择题：在每题的4个选项中,只有1个选项是符合要求的（本部分23题，每题3分，共69分)1．19世纪门捷列夫的突出贡献是（）A．提出了原子学说B．发现了元素周期律C．发现了稀有气体D．提出了分子学说2．2010年诺贝尔化学奖授予在“钯催化交叉偶联反应”领域作出突出贡献的三位化学家．下列有关钯原子(Pd）的说法错误的是（）A．原子序数为46 B．质子数为46 C．电子数为46 D．中子数为463．质子数和中子数相同的原子A,其阳离子A n+核外共有x个电子,则A的质量数为（）A．2(x+n）B．2（x﹣n）C．2x D．n+2x4．碳的三种同位素12C、13C、14C的原子，下列各项对三种原子均不同的是(）A．核电荷数 B．中子数C．电子层数 D．元素种类5．下列元素中，原子半径最大的是（）A．锂B．钠C．氟D．氯6．下列表示物质结构的化学用语或模型图正确的是（）A．H2O的结构式：H﹣O﹣H B．H2O2的电子式:C．CO2的比例模型：D．14C的原子结构示意图：7．Se是人体必需微量元素,下列关于Se和Se说法正确的是（）A．Se和Se互为同素异形体B．Se和Se互为同位素C．Se和Se分别含有44和46个质子D．Se和Se都含有34个中子8．属于同分异构体的是()A．O2和O3B．2H2和3H2C．H2O与H2O2D．C2H5COOH与CH3COOCH39．下列物质中，只含有共价键的化合物是（）A．氢氧化钠 B．氯化钠C．氢气 D．硫化氢10．下列物质中,既含有离子键，又含有共价键的是（）A．H2O B．MgCl2C．NaOH D．CH3COOH11．能形成A2B型离子化合物的两种元素的原子序数是（)A．20和8 B．1和6 C．11和16 D．12和1712．将铁片插入下列溶液中,看不到反应现象的是(）A．稀硫酸B．稀盐酸C．硫酸铜D．浓硝酸13．下列关于二氧化硫的叙述中错误的是（)A．在高温下二氧化硫可被催化氧化成三氧化硫B．二氧化硫可使品红溶液褪色C．二氧化硫既具有氧化性又具有还原性D．二氧化硫与水反应生成硫酸14．下列物质属于分子晶体且是化合物的是（）A．石英 B．食盐 C．干冰 D．碘15．下列离子方程式中，不正确的是（）A．氢氧化铜与硫酸反应：Cu(OH）2+2H+=Cu2++2H2OB．铁与稀硫酸反应：2Fe+6H+=2Fe3++3H2↑C．氯化钡溶液与硫酸反应：Ba2++SO42﹣=BaSO4↓D．氧化铜与硫酸反应：CuO+2H+=Cu2++H2O16．反应N2+3H2═2NH3刚开始时,N2的浓度为3mol/L,H2的浓度为5mol/L．3min后测得NH3浓度为0。

2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷一．填空题（共14小题）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为．2．过点（﹣1，2）且倾斜角为45°的直线方程是．3．已知直线y=2x+b过点（1，2），则b=．4．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为．5．已知直线l过点P（3，2）与点Q（1，4），则直线l的直线方程是．6．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．7．点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．8．直线l过点（1，1），且与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为．9．若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为．10．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为．11．直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为．12．已知直线y=kx（k＞0）与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，若AB=则k=．13．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．14．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是．二．解答题（共6小题）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．16．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．17．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．18．（I）求两条平行直线3x+4y﹣12=0与mx+8y+6=0之间的距离；（Ⅱ）求两条垂直直线2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0的交点坐标．19．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若已知点P（3，2），过点P作圆O的切线，求切线的方程．20．已知点P为圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的动点（1）若点Q为直线l：x+y﹣1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；（2）若M为圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4上动点，求|PM|的最大值和最小值．2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（共14小题）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为45°．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．【解答】解：直线x﹣y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．故答案为45°．2．过点（﹣1，2）且倾斜角为45°的直线方程是x﹣y+3=0．【考点】直线的点斜式方程．【分析】由直线的倾斜角求出斜率，直接代入点斜式方程得答案．【解答】解：由直线的倾斜角为45°，得其斜率为k=tan45°=1．又过点（﹣1，2），∴方程为y﹣2=1×（x+1），即x﹣y+3=0．故答案为x﹣y+3=0．3．已知直线y=2x+b过点（1，2），则b=0．【考点】直线的斜截式方程．【分析】将（1，2）代入y=2x+b，解出即可．【解答】解：将（1，2）代入y=2x+b，得：2=2+b，解得：b=0，故答案为：0．4．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为y=﹣7x+11．【考点】直线的斜截式方程．【分析】求出斜率，可得点斜式，化为斜截式即可．【解答】解：直线的斜率k==﹣7．∴点斜式为：y﹣4=﹣7（x﹣1），化为y=﹣7x+11．故答案为：y=﹣7x+11．5．已知直线l过点P（3，2）与点Q（1，4），则直线l的直线方程是x+y﹣5=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】根据直线的两点式方程求出方程即可．【解答】解：代入两点式方程得：=，整理得：x+y﹣5=0，故答案为：x+y﹣5=0．6．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．【考点】直线的截距式方程．【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即x﹣2y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得k=3，故直线方程是x+y﹣3=0．综上，所求的直线方程为x﹣2y=0，或x+y﹣3=0，故答案为x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．7．点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】设所求对称点的坐标为（a，b），由对称关系可得a和b的方程组，解方程组可得．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．8．直线l过点（1，1），且与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为x+y﹣2=0．【考点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．【分析】由题意得，点在圆的内部，故当弦AB和点（1，1）与圆心（2，2）的连线垂直时，弦AB最短，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式．【解答】解：因为点（1，1）到圆心（2，2）的距离等于，小于半径，故此点在圆（x ﹣2）2+（y﹣2）2=8的内部，故当弦AB和点（1，1）与圆心（2，2）的连线垂直时，弦AB最短．弦AB的斜率为=﹣1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y﹣1=﹣1（x﹣1），即x+y﹣2=0，故答案为：x+y﹣2=0．9．若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为y=2x﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【分析】由于直线l与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，可设l的方程为：2x﹣y+m=0，把点（1，1）代入方程即可解出．【解答】解：∵直线l与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，∴可设l的方程为：2x﹣y+m=0，把点（1，1）代入方程可得：2×1﹣1+m=0，解得m=﹣1．∴直线l的方程为y=2x﹣1．故答案为：y=2x﹣1．10．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．11．直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为3x+y﹣2=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意求出直线l的斜率，再求出直线3x﹣y+2=0所过的定点，由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由题意可知，直线l的斜率与直线3x﹣y+2=0斜率互为相反数，∵3x﹣y+2=0的斜率为3，∴直线l的斜率为﹣3，又直线3x﹣y+2=0过点（0，2），∴直线l的方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0．故答案为：3x+y﹣2=0．12．已知直线y=kx（k＞0）与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，若AB=则k=．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心到直线的距离d=，利用勾股定理，建立方程，即可求出k．【解答】解：圆心到直线的距离d=，∵AB=，∴（）2+（）2=1，∴k=±，∵k＞0，∴k=．故答案为：．13．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2=18．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b 的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：∵直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b为平行线，∴若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则圆心为C（1，2），半径为=2，则圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，即d===2，即|a﹣1|=2，则a=2+1或a=1﹣2，即a=2+1，b=1﹣2或b=2+1，a=1﹣2，则a2+b2=（2+1）2+（1﹣2）2=9+4+9﹣4=18，故答案为：1814．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d=，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．二．解答题（共6小题）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．【考点】平面与平面平行的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD中点F，连接EF、CF，利用三角形中位线，得出EF∥PA，从而EF∥平面PAB．在平面四边形ABCD中，通过内错角相等，证出CF∥AB，从而CF∥平面PAB．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD且AC⊥CD，证出CD⊥平面PAC，从而平面DPC⊥平面PAC．过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC，因此EH∥CD，得EH是△PCD的中位线，从而得到EH=CD=，最后求出Rt△PAC的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥E﹣PAC的体积．【解答】解：（1）取AD中点F，连接EF、CF∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA∵EF⊈平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC==2又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB∵CF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，∴平面CEF∥平面PAB∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线∴CD⊥平面PAC∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC∴EH∥CDRt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD==2∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=CD=∵PA⊥AC，∴S Rt△PAC==2因此，三棱锥E﹣PAC的体积V=S△PAC×EH=16．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1∥平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…（2）（证法一）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．…因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（证法二）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，所以D1B∥平面ADC1．同理可证A1D1∥平面ADC1．因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，所以平面A1BD1∥平面ADC1．…因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．…17．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【考点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．【分析】利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．18．（I）求两条平行直线3x+4y﹣12=0与mx+8y+6=0之间的距离；（Ⅱ）求两条垂直直线2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0的交点坐标．【考点】两条平行直线间的距离；两条直线的交点坐标．【分析】（I）先利用平行条件求出m，再由平行线的距离公式，可得结论；（Ⅱ）由2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0垂直，得n的值，再联立方程组成方程组，求出交点坐标．【解答】解：（I）由平行知斜率相等，得m=6，∴mx+8y+6=0为3x+4y+3=0；…再由平行线的距离公式，可得d==3…（Ⅱ）由2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0垂直，得2n+4=0，∴n=﹣2，∴nx+4y﹣2=0为x﹣2y+1=0；…由得，∴交点为（﹣1，0）…19．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若已知点P（3，2），过点P作圆O的切线，求切线的方程．【考点】直线与圆相交的性质；圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径r的值，可得所求的圆的方程．（Ⅱ）由题意可得点P在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率k的值，可得所求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2=r2，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r==2，∴圆的方程是x2+y2=4．（Ⅱ）∵|OP|==＞2，∴点P在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0．又圆心为O（0，0），半径r=2，而圆心到切线的距离d==2，即|3k﹣2|=2，∴k=或k=0，故所求切线方程为12x﹣5y﹣26=0或y﹣2=0．20．已知点P为圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的动点（1）若点Q为直线l：x+y﹣1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；（2）若M为圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4上动点，求|PM|的最大值和最小值．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）求出圆心C1：（3，4），半径r1=2，及圆心到直线的距离，由图形观察即可得到最值；（2）求出圆心C2为（﹣1，1），半径为r2=2，求出圆心的距离，判断两圆的位置关系，通过图形观察即可得到所求最值．【解答】解：（1）圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的圆心C1：（3，4），半径r1=2，圆心C1到直线x+y﹣1=0的距离为d==3＞2，即有直线和圆相离，即有|PQ|的最小值为3﹣2，无最大值；（2）圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4的圆心C2为（﹣1，1），半径为r2=2，由|C1C2|==5＞r1+r2=4，即有两圆相离，即有|PM|的最大值为5+4=9，最小值为5﹣4=1．2016年7月23日。

2015—2016学年度第二学期高一数学期末试卷2016．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数ln(1)y x =+的定义域是 ▲ ． 2．已知cos =3α1，则cos2=α ▲ ． 3．在ABC ∆中，已知1,45b c B ===，则角C = ▲ ．4．已知变量,x y 满足200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的最小值为 ▲ ．5．已知等比数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+，则a = ▲ ．6．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 7．已知00a ,b >>，且1a b +=，则14a b+的最小值为 ▲ ． 8．=-+050tan 70tan 350tan 70tan ▲ ． 9．若函数，则不等式的解集为 ▲ ．10．已知数列{}n a 的通项公式为2*2()n a n an n N =-∈，且当4n ≠时，4n a a >，则实数a的取值范围是 ▲ ． 11．已知(0,)2πθ∈，则sin θθ+的取值范围为 ▲ ．12．已知n m l ,,为两两不重合的直线，γβα,,为两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若//αβ，α⊂l ，则//l β； ②若γα⊥，γβ⊥，则⊥αβ； ③若⊄αm ，⊂αn ， //m n ，则//m α； ④若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ.其中命题正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的序号） 13．设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1212,[2,),x x x x ∈-+∞≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数，对于实数、、有，，则的最大值是 ▲ ．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知等差数列中，38a =，617a =． ⑴求1a ，d ；⑵设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． ⑴若E 为11B C 的中点，求证：//BE 平面1AC D ； ⑵若平面11B BCC ⊥平面ABC ，且AB AC =，求证：平面1AC D ⊥平面11B BCC ．ABCDE1A1B1C17．（本小题满分14分）已知02πβα<<<，tan α=13cos()14αβ-=． ⑴求sin 2α的值； ⑵求β的大小． 18．（本小题满分16分）已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，B 是钝角，2sin b A =． ⑴求B 的大小；⑵若ABC V 的面积为4，且7b =，求a c +的值； ⑶若6b =，求ABC V 面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 如图，是一块足球训练场地，其中球门AB 宽7米，B 点位置的门柱距离边线EF 的长为21米，现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训练．球员从离底线AF 距离米，离边线EF距离米的处开始跑动，跑动线路为(//)C D C D E F ，设射门角度ACB θ∠=．⑴若，①当球员离底线的距离14x =时，求tan θ的值； ②问球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大？ ⑵若当变化时，求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列}{n a 满足*111,23(1)()n n n a a a n N +==--∈．⑴若21n n b a =-，求证：14n n b b +=； ⑵求数列}{n a 的通项公式；⑶若123232nn a a a na ++++>⋅L λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2015—2016学年度第二学期高一数学期末试卷参 考 答 案2016．6一、填空题1. (1,)-+∞ 2．79- 3. 6π4. 2-5. 1-6. 487. 98. 9. {|14}x x << 10. 79(,)2211. (1,2] 12. ①③ 13. (,4]-∞- 14. 4ln 3二、解答题 15⑴由316128517a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩可解得：12a =，3d =. …………7分⑵由（1）可得31n a n =-，所以1312n n b n -=-+，…………9分所以 2[2(31)]123212122n n n n n n nS +--+=+=+-- …………14分16⑴在三棱柱111ABC A B C -中， D 是BC 的中点，E 为11B C 的中点，所以1//BD EC ，所以四边形1BDC E 为平行四边形，所以1//BE DC ， …………4分 又BE ⊄平面1AC D ，1DC ⊆平面1AC D所以//BE 平面1AC D ； …………7分 ⑵因为在ABC ∆中，D 是BC 的中点，且AB AC =， 所以AD BC ⊥，因为平面11B BCC ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， 平面11B BCC 平面ABC BC =，所以AD ⊥平面11B BCC ， …………11分 又AD ⊂平面1AC D ，所以平面1AC D ⊥平面11B BCC ． …………14分17⑴因为22sin cos sin cos 1⎧=⎪⎨⎪+=⎩αααα，且02<<πα， …………2分所以sin 1cos 7⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩αα， …………6分以sin 22sin cos ==ααα. …………7分 ⑵因为02πβα<<<，所以02<-<παβ，又因为13cos()14αβ-=，所以sin()-=αβ …………10分 所以cos cos[()]=--βααβ1cos cos()sin sin()2=-+-=ααβααβ …………12分 因为02<<πβ，所以3πβ=. …………14分18⑴2sin b A =Q 2sin sin A B A=sin B ∴= B Q 是钝角23B ∴=π …………4分⑵1sin 2ac B =Q15ac ∴= 2222c o s b a c a B =+-Q 249()a c a c ∴=+- 8a c ∴+= …………10分 ⑶2222cos b a c ac B =+-Q 22362a c ac ac ac ∴=++≥+ 12ac ∴≤1sin 2S ac B ∴==≤ (当且仅当a c ==…………16分19：在ACD ∆中，设,tan AD ADACD CD x αα∠===， 在BCD ∆中，设,tan BD BDBCD CD x ββ∠===， 2t a n t a n 7t a n t a n ()1t a n t a n 1A D B Dx x x AD BD x AD BDx xαβθαβαβ--=-===++⋅+⋅ ………3分 ⑴当时，14,7AD BD ==， ①若14x =，则27141tan 147143θ⨯==+⨯； …………6分②277tan 1471474x x x x θ==≤=⋅+⋅+， 当且仅当147x x⋅=即10x =>时取等号； …………10分 ⑵28,21AD a BD a =-=- 271tan (28)(21)3x x a a θ==+--，则2221492821x x a a -+=-+⨯……12分因为，所以298492821294a a ≤-+⨯≤，则29821294x x ≤-+≤，即2221294021980714x x x R x x x ⎧-+≥⇒∈⎪⎨-+≤⇒≤≤⎪⎩，所以714x ≤≤又10x >，所以1014x <≤所以的取值范围是(10,14]． …………15分 答⑴①当球员离底线的距离14x =时，tan θ的值为13；②当球员离底线的距离为θ最大； ⑵，则的取值范围是(10,14]． …………16分20 ⑴2112221211231122n n n n n b a a a +++++=-=---=+（） 224612444n n n a a b =--+=-=2n（） …………3分 ⑵2112231514a a ,b a =--==-=（），因为14n n b b += 所以14n nb b +=，所以{}n b 是等比数列，所以241n n n b a ==- 224121n nn a =+=+，22212321n n n a a -=+=+，212121n n a --=- 所以2121nn n ,n a ,n ⎧-⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，即21n nn a =+-（） ………8分⑶由（2）21n nn na n n =⋅+-⋅（），所以1123123(121)(222)(2(1))(12222)(123(1))n nn n n n nnS a a a na n n n n =++++=⋅-+⋅+++⋅+-⋅=⋅+⋅++⋅+-+-++-⋅L L L L令1212222nS n =⋅+⋅++⋅L则22311222(1)22nn S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L11211222222212n n n n S n n +++--=+++-⋅=-⋅-L ，1(1)22n S n +=-⋅+ …………9分 n 为奇数时，1123(1)2n n T n +=-+-++-⋅=-L n 为偶数时，123(1)2n nT n =-+-++-⋅=L ………11分 所以n 为奇数时11(1)2222n n n n S S T n ++=+=-⋅+->λ即32122nn λ(n )-<-+⋅恒成立， 易证32122n n n --+⋅（）递增，1n =时32122nn n --+⋅（）取最小值12，所以12λ< n 为偶数时，1(1)2222n n n n S S T n +=+=-⋅++>λ即42122nnλn +<-+⋅（）， 易证4+2122n n n -+⋅（）递增，2n =时42122nn n +-+⋅（）取最小值114，所以114λ<…15分 综上可得 12λ<. ………16分。

2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．2．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=．3．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．4．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=．5．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．6．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．7．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．8．（5分）的展开式x4的系数是．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，则其积为偶数的概率为．10．（5分）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是．11．（5分）有4本不同的书，其中语文书2本，数学2本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的放法有种．12．（5分）已知随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，则P（2＜ξ≤5）=．13．（5分）设f（t）=，则f（﹣3）=．（用数字作答）14．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．16．（14分）一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？17．（14分）（1）求用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？18．（16分）一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的（未用过的球称为新球），3个旧的（新球用一次即称为旧球）．现从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，设随机变量X表示此时盒中旧球个数．（1）求盒中新球仍是9个的概率；（2）求随机变量X的概率分布．19．（16分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．20．（16分）在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cos x （﹣sin x），化简后得等式sin2x=2cos x sin x．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=k x k﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）k k（k+1）C n k．2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．2．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=5．【考点】EF：程序框图．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43b=34第二圈k=4 a=44b=44第三圈k=5 a=45b=54，此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．3．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．4．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=4．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：本题的伪代码表示一个分段函数f（x）=∵输出值为3∴或∴x=4∴输入值x=4故答案为：45．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．【考点】CF：几何概型．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1表示的区域为直线x+y=1下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为；则两数之和小于1的概率是故答案为：6．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．7．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】87：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：8．（5分）的展开式x4的系数是1120．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：因为=T r+1=C8r•x16﹣3r•2r，令16﹣3r=4，解得r=4，所以的展开式x4的系数是：C84•24=1120．故答案为：1120．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，则其积为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，基本事件总数n=4×4=16，其积为偶数包含的基本事件个数m==12，∴其积为偶数的概率p=．故答案为：．10．（5分）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张共有C105=252，满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，没有人中奖共有C75=21种结果，根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率P=1﹣=，故答案为：．11．（5分）有4本不同的书，其中语文书2本，数学2本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的放法有8种．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：利用插空法，语文书有A22=2种放法，插入数学书，有2种插法，数学书之间有A22=2种顺序．则同一科目书都不相邻的放法种数有2×2×2=8．故答案为：4．12．（5分）已知随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，则P（2＜ξ≤5）=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：∵随机变量是ξ的概率分布为P（ξ=k）=，k=2，3，…，n，P（ξ=1）=a，P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴P（2＜ξ≤5）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）==．故答案为：．13．（5分）设f（t）=，则f（﹣3）=﹣341．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：由题意，f（t）==，∴f（﹣3）==﹣341．故答案为：﹣341．14．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”元素个数为130．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：由x i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5}，集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，由于|x i|只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：×2．∴总共方法数是：++×2=130．故答案为：130．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（5分）（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…（13分）16．（14分）一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）∵一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题即为合格．某位考生会答8题中的5道题，∴这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，∴这位考生及格的概率p=1﹣=1﹣=．（2）一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于，设他最多会n道题，n≤8，则，则=＞14，即n2﹣15n+28＞0，解得n＜或n＞（舍），∵n∈Z*，∴n的最大值为2．∴他最多只会2道题．17．（14分）（1）求用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为：=48．（2）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故恰有1个空盒的放法共有144种．18．（16分）一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的（未用过的球称为新球），3个旧的（新球用一次即称为旧球）．现从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，设随机变量X表示此时盒中旧球个数．（1）求盒中新球仍是9个的概率；（2）求随机变量X的概率分布．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：（1）盒中新球仍是9个的概率：p==．（2）由题意X的可能取值为3，4，5，6，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴随机变量X的概率分布列为：19．（16分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，因为BF⊂平面ABEF，所以AD⊥BF；（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）．所以=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），所以cos＜，＞=，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为=（1，0，0）．设P点坐标为（0，2﹣2t，t），在平面APC中，=（0，2﹣2t，t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量为=（﹣2，1，），所以cos＜，＞==，解得t=，或t=2（舍）．此时|PF|=．20．（16分）在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）•2=4cos x （﹣sin x），化简后得等式sin2x=2cos x sin x．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=k x k﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）k k（k+1）C n k．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）①证明：等式（1+x）n=C n0+C n1x+…+C n n﹣1x n﹣1+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），两边对x求导，可得n（1+x）n﹣1=C n1+2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1=k x k﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）k k=0；由n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，n≥3，两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C n2+3•2C n3x+…+n（n﹣1）C n n x n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2C n2+3•2C n3（﹣1）+…+n（n﹣1）C n2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）k k=0，两式相加可得，（﹣1）k k2=0，综上可得，（﹣1）k k（k+1）C n k=（﹣1）k k2+（﹣1）k k=0．。

2015-2016学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是．2．（5分）设z=3﹣2i（i是虚数单位），则|z|=．3．（5分）函数f（x）=lg（3﹣2x）的定义域为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的S=5．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．6．（5分）若f（x）=3sin x，则=．7．（5分）甲乙两人比赛射击，两人的平均环数相同，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5，6，9，10，5，那么这两个人中成绩较为稳定的是．8．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从集合{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是．9．（5分）一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm3．10．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的条件．（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）11．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．12．（5分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．13．（5分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．14．（5分）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是．二.解答题（共6题，共90分）15．（14分）在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．16．（14分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣10时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为18，求它在该区间上的最小值．18．（16分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x 轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，S n 为数列{a n}的前n项和．（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若＜S n+1＜2S n，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，a k．2015-2016学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是∀x∈R，sin x+cos x≤2．【解答】解：∵命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题得“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是：“∀x∈R，sin x+cos x≤2”．故答案为：“∀x∈R，sin x+cos x≤2”．2．（5分）设z=3﹣2i（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：∵z=3﹣2i，∴，故答案为：．3．（5分）函数f（x）=lg（3﹣2x）的定义域为（﹣∞，）．【解答】解：由对数的真数大于0，可得3﹣2x＞0，解得x＜，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．4．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的S=127【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞100，执行循环体，S=3，i=3不满足条件S＞100，执行循环体，S=7，i=4不满足条件S＞100，执行循环体，S=15，i=5不满足条件S＞100，执行循环体，S=31，i=6不满足条件S＞100，执行循环体，S=63，i=7不满足条件S＞100，执行循环体，S=127，i=8满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为127．故答案为：127．5．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．6．（5分）若f（x）=3sin x，则=0．【解答】解：f′（x）=3cos x，∴f′（）=3cos=0，故答案为：0．7．（5分）甲乙两人比赛射击，两人的平均环数相同，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5，6，9，10，5，那么这两个人中成绩较为稳定的是乙．【解答】解：乙的平均数=（5+6+9+10+5）=7，S乙2=（5﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2+（5﹣7）2]=4.4，则甲的方差大于乙的方差，所以成绩较稳定的是乙，故答案为：乙．8．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从集合{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是．【解答】解：所有的选法共有5×3=15种，其中满足b＞a的选法有1+2+3=6种，故b＞a的概率是；故答案为：．9．（5分）一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．【解答】解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．故答案为：12π．10．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【解答】解：a=1时两条直线不平行，舍去；直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0分别化为：，y=﹣x﹣．由于两条直线平行，∴，﹣≠﹣，解得a=3，﹣2．∴“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．11．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．12．（5分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是（，）．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线P A和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a2+b2=4①，又P在直线x+y﹣2=0上，∴a+b﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P的坐标为（，）．故答案为：（，）13．（5分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay，在y ∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （因为2a2y2+ay＞0）所以：f（x）＞2解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系∴2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0解得：y＞或者y＜﹣（舍去）∴≤2∴a≥故答案为：二.解答题（共6题，共90分）15．（14分）在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且⊥，∴sin A﹣cos A=0，∵0＜A＜90°，∴cos A≠0，∴tan A=，则A=60°；（2）由正弦定理=，a=7，b=8，A=60°，∴sin B===，∵△ABC为锐角三角形，∴cos B==，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=，=ab sin C=10．∴S△ABC16．（14分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE．【解答】证明：（1）G是AE，DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，∴△EAB中，GH∥AB，（3分）∵AB∥CD，∴GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊂平面CDE∴GH∥平面CDE（7分）（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∵ED⊥AD，ED⊂平面ADEF∴ED⊥平面ABCD，（10分）∴ED⊥BD，又∵BD⊥CD，CD∩ED=D∴BD⊥平面CDE．（14分）17．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣10时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为18，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣10的切点为（2，12），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣12=9（x﹣2），即9x﹣y﹣6=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=18，解得a=﹣4．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣4，因此f（﹣1）=﹣9，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣9．18．（16分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤[]2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x 轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由已知得c=①，又+=1②，a2=b2+c2③；联立①②③，解得a2=4，b2=2；所以椭圆C的方程为+=1；（2）证明：由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x﹣2），则M（﹣2，﹣4k），由，消去y得（2k2+1）x2﹣8k2+8k2﹣4=0，解得x1=，x2=2；∴x P=，∴y P=k（x P﹣2）=，即P（，）；又=（，），=（﹣2，﹣4k）；∴•=+=0，∴⊥，即AP⊥OM；（3）∵=（，），∴•=+==4；∴•为定值4．20．（16分）已知首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，S n 为数列{a n}的前n项和．（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若＜S n+1＜2S n，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，a k．【解答】解：（1）∵首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，化为（2a n+1﹣a n）（a n+1﹣2a n）＜0，∴＜2．又a2=，a3=x，a4=4，∴，，解得：2＜x＜3．∴x的取值范围是（2，3）．（2）由于首项为1的正项数列{a n}，∵＜2．∴．①q=1时，n=1时不满足：＜S n+1＜2S n，n∈N*，因此q≠1．②可得＜2，＜q＜1时，化为2q n+1﹣q n＜1，q n+1﹣2q n+1＞0，由于q n（2q﹣1）＜1，因此2q n+1﹣q n＜1恒成立；由q n＜q，可得q2n＜q n+1，∴q n，∴2q n＜1+q n+1，因此q n+1﹣2q n+1＞0恒成立，可得：＜q＜1．2＞q＞1时，化为2q n+1﹣q n﹣1＞0，q n+1﹣2q n+1＜0，无解，舍去．综上可得：＜q＜1．（3）设首项为1的正项数列{a n}的公差为d，d≥0，由＜2，可得＜＜2，化为1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]，n=1时，0≤d＜1；n=2时，d≥0；n≥3时，d≥0．综上可得：0≤d＜1．∵a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，a1+a2+…+a k=120，∴k+d=120，k=1时，不成立，舍去．k≥2时，解得d=，∵0≤d＜1．∴0≤＜1．解得：15＜k≤120．∴满足条件的正整数k的最小值为16，此时d=，相应数列的通项公式为：a n=1+（n﹣1）=．数列为：1，， (14)。

盐城市时杨中学2014/2015学年度第一学期高一年级学情调研2数学试卷2014．12．28一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第 象限. 3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有 个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为 ．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分） 已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求： （1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。

盐城中学高一考试数学试题及参考答案20160109一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1．计算: sin13°cos17°+cos13°sin17°= ▲ ．1/2 2．函数()f x =的定义域为 ▲ ．[)(]0,11,23．幂函数)(x f y =的图象过点),2,2(A 则)4(f 的值为 ▲ ．2 4．已知向量(4,0),(2,AB AC ==则AB AC 与的夹角的大小为 ▲ ．4π5．给定两个向量=（1，2），=（x ，1），若)22(//)2(-+，则x 的值等于 ▲ ．216．函数()y f x =的图像按向量(1,2)a =平移后, 得到的图像的解析式为sin(1)2y x =++. 那么()y f x =的解析式为 ▲ ．sin(2)y x =+7．已知m ，n 为实数，若关于x 的不等式x 2+mx +n ＜0的解集为(—1，3)，则m +n 的值为 ▲ ．-58．如图已知在ABC ∆中，2A π∠=，2,4AB AC ==，12AF AB =，12CE CA =，14BD BC =，则DE DF 的值为 ▲ ． -1/49．对于任意实数]1,1[-∈k ，函数42)4()(2+--+=k x k x x f 的值恒大于零,则实数x 的取值范围是 ▲ ．),3()1,(+∞-∞ 10．设x 为任意正实数，则函数2180()7f x x x x=-+的最小值是 ▲ ．24 11．已知锐角ABC ∆，平面上点P 满足234AB AC AP +=，则:ABC PBC S S ∆∆= ▲ ．4：112．已知函数)0(,)(2>-=a x ax x f ,对任意实数1[2,)x ∈+∞，存在实数2[1,)x ∈+∞,使得1)()(21=•x f x f 成立,则a 的取值范围为 ▲ ．12a ≤<13．已知22log (),0()log 1,0x x g x x x --<⎧=⎨+>⎩，若使函数()()(0)f x g x a a m =-≤≤存在整数零点的实数a 恰有4个，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2[log 6,3)14．已知函数32()(21)f x mx m x x =+-+对任意两不等实数12,[3,)x x ∈+∞,都有2112221212()()2x f x x f x x x x x ->-恒成立,则m 的取值范围为 ▲ ．3[.)8+∞解答题（本大题共6题，共80分） 15．(本小题共12分)计算：(1) ()130240.040.316----2log 33lg 252lg 4+++(2) 已知cos α＝－35 ，0＜α＜π．求tan α+cos(α＋π3)的值． 解：每小题6分，答案:（1）1/2 （2）49/305-- 16．(本小题共12分)已知函数()sin 22f x x x =. （I ）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （II ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．解：每小题6分（Ⅰ）()sin 222sin(2/3)f x x x x π=+=+由此得)(x f 的最小正周期为π. 由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 ：7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. （II ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而函数sin x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()2]f x ∈，所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则2)k ∈. 17．(本小题共14分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈. （I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值； （III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围. .解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 233ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以2,332k k Z πππωπ+=+∈所以16,2k k Z ω=+∈ ,因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈ 所以0k =所以12ω=(Ⅱ)因为21=ω， 所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ 因为23x ππ-≤≤-， 所以213236x πππ-≤+≤. 所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭所以()2.m n g x m n -+≤≤+ 因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得 1,0.m n == （Ⅲ）。

盐城市时杨中学2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为； a 、b 、c ，则长方体的对角线长为.将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得2n =；8．计算：234i i i i +++=；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 2411131≥+++++n n n n 241112111≥+++++n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是；11．二项式252(x展开式中的常数项是；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z +的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n na a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n n N ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-， 方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根；(2)552422z i iz i+=-+=-+， ∴5z z +==. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5；(2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56； （2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13. 18.(1)2341212,,a a a ==-=；(2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法.故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时， (1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k 需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N ，∴ 121+k ＞0成立∴当n＝k＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n∈N，不等式成立．。

2016年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|y=lgx}，N={x|y=}，则M∩N=．2．复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位）的共轭复数为．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）4．运行如图语句，则输出的结果T= ．5．已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为．6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．7．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于cm3．8．已知向量，，满足||=1，||=， +=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是．9．在锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，则3tanC的值为．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且=λ1+λ2，则λ1+λ2= ．11．已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是．12．如图，点A，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若CD的长是焦距的倍，则该椭圆的离心率为．13．从x轴上一点A分别向函数f（x）=﹣x3与函数g（x）=引不是水平方向的切线l1和l2，两切线l1、l2分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S1，△OAC的面积为S2，则S1+S2的最小值为．14．已知一切x，y∈R，不等式x2+﹣2xy+﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案填写在答题卡相应位置上．15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=， =，求cos（﹣θ）．16．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．17．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB=﹣，求△ABM的面积．19．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x，其中e是自然对数的底数．（1）若x∈[﹣2，a]，﹣2＜a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）设a＞﹣2，求证：f（a）＞；（3）设h（x）=f（x）+（x﹣2）e x，x∈（1，+∞），是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]？若存在，请求出一个这样的区间；若不存在，请说明理由．20．已知数列{a n}满足：a1=a2=a3=k，a n+1=（n≥3，n∈N*），其中k＞0，数列{b n}满足：b n=（n=1，2，3，4，…）（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）是否存在正数k，使得数列{a n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．附加题，共40分[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．A．（选修4-1：几何证明选讲）21．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．B．（选修4-2：矩阵与变换）22．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵M﹣1以及椭圆在M﹣1的作用下的新曲线的方程．C．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．D．（选修4-5：不等式选讲）24．设x+y+z=1，求F=2x2+3y2+z2的最小值．【必做题】每题10分，共计20分.25．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；（2）记“函数f（x）=x2﹣ξx﹣1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．26．过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．2016年江苏省盐城市时杨中学高考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|y=lgx}，N={x|y=}，则M∩N={x|0＜x≤1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中x的范围分别确定出两集合，求出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=lgx，得到x＞0，即M={x|x＞0}，由N中y=，得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，即N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N={x|0＜x≤1}，故答案为：{x|0＜x≤1}2．复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位）的共轭复数为1﹣i ．【考点】复数的基本概念．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，要求复数的共轭复数只要把复数的虚部变化为相反数．【解答】解：∵复数z=（1﹣i）i=1+i∴它的共轭复数是1﹣i，故答案为：1﹣i．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个数的和是奇数的种数，最后再除以总数即得答案．【解答】解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；有C31•C21=6种取法，符合题意的总数共C52=10种取法；这两个数的和是奇数的概率为故答案为．4．运行如图语句，则输出的结果T= 25 ．【考点】伪代码．【分析】本题所给的是一个循环结构的算法语句，由图可以看出，此是一个求等差数列和的算法语句，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得T=1，I=3满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3=4，I=5满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5=9，I=7满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5+7=16，I=9满足条件I＜10，执行循环体，T=1+3+5+7+9=25，I=11不满足条件I＜10，退出循环，输出T的值为25．故答案为：25．5．已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图先求出该样本的平均数，由此能求出该数据的方差．【解答】解：由茎叶图得该样本的平均数为：==23，∴该数据的方差为：S2= [（18﹣23）2+（19﹣23）2+（22﹣23）2+（24﹣23）2+（31﹣23）2]=．故答案为：．6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．【考点】等差数列的性质．【分析】根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果．【解答】解：成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴q2﹣2q﹣1=0，∴q=1+，q=1﹣（舍去）∴===q2=3+2故答案为：3+27．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：由题意知，弧长为×8=2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r=1，可得圆锥高h=3，所以容积V=πr2×h=π×1×3=πcm3；故答案为：π8．已知向量，，满足||=1，||=， +=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是π．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据题意，先求出|+|与|﹣|的值，再由（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，求出夹角θ的值．【解答】解：设向量+与向量﹣的夹角是θ，θ∈[0，π]；∵||=1，||=， +=（，1），∴|+|==2，∴•=0，∴|﹣|==2；又∵（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，∴1﹣3=2×2cosθ，即cosθ=﹣，∴θ=π．故答案为：π．9．在锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，则3tanC的值为79 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值，利用两角和差的正切公式求得tanB 的值，从而利用诱导公式、利用两角和差的正切公式，求得3tanC=﹣3tan（A+B）的值．【解答】解：锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A﹣B）=﹣，∴A＜B，cosA==，tanA==．∵tan（A﹣B）=﹣==，∴tanB=．则3tanC=﹣3tan（A+B）=﹣3•=79，故答案为：79．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且=λ1+λ2，则λ1+λ2= ．【考点】平面向量的正交分解及坐标表示．【分析】设内切圆半径为r，由题意得：r=OE=OF=AE=AF=，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：设内切圆半径为r，由题意得：r=OE=OF=AE=AF═，∴===，∴，．∴λ1+λ2=．故答案为：．11．已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是+1 ．【考点】圆的参数方程；直线与圆相交的性质．【分析】设正方形边长为a，∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．【解答】解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=，θ∈[0，）．在△OBC中，a2+1﹣2acos（+θ）=OC2，∴OC2=（2cosθ）2+1+2•2cosθ•sinθ=4cos2θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，∵θ∈[0，），∴2θ+∈[，），∴2θ+=时，OC2的最大值为2+3∴线段OC长度的最大值是+1故答案为： +112．如图，点A，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若CD的长是焦距的倍，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出AB，CD的方程，联立CD方程与椭圆方程联立，解得x值，即可求得|CD|，利用|CD|=×2c，即可求得a与c的关系，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意，设AB的方程为y=﹣+b：CD的方程为y=﹣，CD的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，∴x=±，∴|CD|=×=，∵CD的长是焦距的倍，∴|CD|=×2c，即=，两边平方得：5a4﹣16a2c2﹣16c4=0，∴（a2﹣4c2）（5a2+4c2）=0，∴a2=4c2，椭圆的离心率e===，故答案为：．13．从x轴上一点A分别向函数f（x）=﹣x3与函数g（x）=引不是水平方向的切线l1和l2，两切线l1、l2分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S1，△OAC的面积为S2，则S1+S2的最小值为8 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出两个函数的导函数，设出两切点坐标，得到两切线方程，设出A的坐标并代入切线方程，把两切线与y轴的交点用A的坐标表示，求出面积，然后利用导数求最小值．【解答】解：由f（x）=﹣x3，g（x）==x﹣3（x＞0），得f′（x）=﹣3x2，g′（x）=﹣3x﹣4，设点为A（x0，0），则l1和l2的方程分别为，，分别代入A（x0，0）并整理得，4x1﹣3x0=0，2x2﹣3x0=0，解得：，．∴l1，l2与y轴的交点坐标分别为（0，），（0，）．∴．由S′=0，解得．∴当时，S′＞0；当时，S′＜0．∴当时S有最小值为8．故答案为：8．14．已知一切x，y∈R，不等式x2+﹣2xy+﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，6] ．【考点】基本不等式．【分析】将x2+﹣2xy+配方得（x﹣y）2+（）2﹣2，进而可得x2+﹣2xy+的最小值为﹣6，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：x2+﹣2xy+=（x﹣y）2+（）2﹣2，令z=（x﹣y）2+（）2，则z表示A（x，﹣）点与B（y，）两点的距离d的平方，由A为双曲线y=﹣上一点，B为半圆x2+y2=2（y≥0）上一点，在同一坐标系中画出两曲线的图象，如下图所示：可以看出两点间距离的最小值为2，即距离的平方为8，故z≥8，∴x2+﹣2xy+=（x﹣y）2+（）2﹣2≥6，∴a≤6，所以实数a的取值范围是（﹣∞，6]，故答案为：（﹣∞，6]二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案填写在答题卡相应位置上．15．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=， =，求cos（﹣θ）．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．∴tan（θ+）===﹣；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（﹣θ）==+=．16．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD．因为O、D分别是A1B、BC的中点，所以A1C∥OD．所以A1C∥平面AB1D．（2）由题意得：四边形BCC1B1是正方形．因为M为CC1的中点，D是BC的中点，所以△B1BD ≌△BCM，所以∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．所以BM⊥B1D．因为△ABC是正三角形，D 是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB1C1C．且BM⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D．【解答】证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接OD．∵O、D分别是A1B、BC的中点，∴A1C∥OD．∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（2）M为CC1的中点．证明如下：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．又∵，，∴BM⊥B1D．∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．∵AD∩B1D=D，∴BM⊥平面AB1D．∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1．17．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求a，b的值；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．①当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB=﹣，求△ABM的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率结合椭圆E上的点到点F距离的最小值为2列关于a，c的方程，求出a，c的值后结合隐含条件求得b的值；（2）①设出N的坐标（8，t）及圆的一般式方程，把A，F，N的坐标代入圆的方程，求出半径，利用基本不等式求得半径的最小值及t的值，则圆的方程可求；②联立直线和椭圆方程，求出M的坐标，由向量的夹角公式求出直线的斜率k，得到y的纵坐标为定值3，代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由已知，，且a﹣c=2，解得a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，∴a=4，b=；（2）①由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．再设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将点A，F，N的坐标代入，得，解得，∴圆的方程为，即，∵，当且仅当t+=时，圆的半径最小，故所求圆的方程为．②由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．由，得，∴，，∴cos∠AMB==，化简，得16k4﹣40k2﹣9=0，解得，或，即k=，或k=，此时总有y M=3．∴△ABM的面积为．19．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x，其中e是自然对数的底数．（1）若x∈[﹣2，a]，﹣2＜a＜1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）设a＞﹣2，求证：f（a）＞；（3）设h（x）=f（x）+（x﹣2）e x，x∈（1，+∞），是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]？若存在，请求出一个这样的区间；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）直接利用导函数值的正负判断出函数的单调区间；（2）通过导函数研究函数的单调区间和最值，从而证明f（a）＞；（3）通过对函数函数y=h（x）的定义域和值域的研究，是否存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]，即可得到结论．2）e x=x（x﹣1）e x[﹣2，a]，﹣2＜a＜1，0，0，a）时，f′（x）＜0，0，a）；（a2﹣a）e a，=a（a﹣1）e a，a＞∴f（1）﹣f（﹣2）=e﹣==＞0，∴f（1）＞f（﹣2），由表知：a∈[0，+∞）时，f（a）≥f（1）＞f（﹣2），a∈（﹣2，0）时，f（a）＞f（﹣2），∴a＞﹣2时，f（a）＞f（﹣2），即f（a）＞；（3）h（x）=f（x）+（x﹣2）e x=（x2﹣2x+1）e x，x∈（1，+∞），∴h′（x）=（x2﹣1）e x，x∈（1，+∞），∴x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函数，函数y=h（x）存在存区间[m，n]⊆（1，+∞），使得x∈[m，n]时，y=h（x）的值域也是[m，n]⇔⇔关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有两个不相等的实数根，令H（x）=h（x）﹣x=（x2﹣2x+1）e x﹣x，x∈（1，+∞），则H′（x）=（x2﹣1）e x﹣1，x∈（1，+∞），H″（x）=（x2+2x﹣1）e x，x∈（1，+∞），∴x∈（1，+∞），时，H″（x）=（x2+2x﹣1）e x＞0，∴H′（x）在（1，+∞）上是增函数，H′（1）=﹣1＜0，H′（2）=3e2﹣1＞0，且y=H′（x）在[1，2]上连续，∴∃x0∈（1，2），使得H′（x0）=0，∴x∈（1，x0）时，H′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，H′（x）＞0，∴函数y=H（x）在（1，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，∴H（1）=﹣1＜0，∴x∈（1，x0），H′（x）＜0，∴函数y=H（x）在（1，+∞）至多有一个零点，即关于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一个实数根，∴函数y=h（x）是不存在这样的区间．20．已知数列{a n}满足：a1=a2=a3=k，a n+1=（n≥3，n∈N*），其中k＞0，数列{b n}满足：b n=（n=1，2，3，4，…）（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）是否存在正数k，使得数列{a n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，．根据数列{b n}满足：，从而可求求b1，b2，b3，b4；（2）由条件可知：a n+1a n﹣2=k+a n a n﹣1．类似地有：a n+2a n﹣1=k+a n+1a n，两式相减整理得b n=b n﹣2，从而可求数列{b n}的通项公式；（3）假设存在正数k，使得数列{a n}的每一项均为整数则由（2）可知：…③由可求得k=1，2．只需证明 k=1，2时，满足题意．【解答】解：（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，．求得．…（2）由条件可知：a n+1a n﹣2=k+a n a n﹣1．…①类似地有：a n+2a n﹣1=k+a n+1a n．…②①﹣②有：即：b n=b n﹣2∴所以：．…（3）假设存在正数k，使得数列{a n}的每一项均为整数则由（2）可知：…③由可知k=1，2．当k=1时，为整数，利用a1，a2，a3∈Z，结合③式，反复递推，可知{a n}的每一项均为整数当k=2时，③变为…④我们用数学归纳法证明a2n﹣1为偶数，a2n为整数n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a2n﹣1为偶数，a2n为整数，故a2n+1=2a2n ﹣a2n﹣1为偶数，a2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．故数列{a n}是整数列．综上所述，k的取值集合是{1，2}．…附加题，共40分[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．A．（选修4-1：几何证明选讲）21．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．B．（选修4-2：矩阵与变换）22．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵M﹣1以及椭圆在M﹣1的作用下的新曲线的方程．【考点】特征值与特征向量的计算；逆变换与逆矩阵．【分析】（Ⅰ）先求出矩阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应的特征向量；（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M﹣1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．【解答】解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=，利用特征多项式求出它的特征值为2和3，对应的特征向量为及；（Ⅱ），椭圆在M﹣1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．C．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）先由，α∈[0，2π），利用三角函数的平方关系消去参数α即得x2+y=1，x∈[﹣1，1]．（2）由．利用三角函数的和角公式展开，得曲线D的普通方程为x+y+2=0，欲曲线C与曲线D有无公共点，主要看它们组成的方程有没有实数解即可．【解答】解：（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[﹣1，1]．（2）由．得曲线D的普通方程为x+y+2=0得x2﹣x﹣3=0解x=，故曲线C与曲线D无公共点．D．（选修4-5：不等式选讲）24．设x+y+z=1，求F=2x2+3y2+z2的最小值．【考点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，利用已知条件，构造出所求表达式相关的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．【解答】解：由题意，因为x+y+z=1，所以（x+y+z）2=1，所以1=（x+y+z）2=（x+y+1•z）2≤（）（2x2+3y2+z2）所以F=2x2+3y2+z2≥，当且仅当且x+y+z=1，即x=，y=，z=时，取“=”，所以F的最小值为．【必做题】每题10分，共计20分.25．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；（2）记“函数f（x）=x2﹣ξx﹣1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）推出ξ的可能取值为0，2，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．（2）利用零点判定定理，列出不等式推出结果即可．【解答】解：（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次；∴．…∵“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次；…∵“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次；∴．…0 2 4∴．故随机变量ξ的数学期望E（ξ）为．…（2）由题意知：f（2）f（3）=（3﹣2ξ）（8﹣3ξ）＜0，故．…∴，故事件A发生的概率P（A）为．…26．过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P 点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ 的中点R的轨迹L的方程；（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．【解答】（1）解：y2=2px的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），由，得，设M，N的横坐标为x1，x2，则，得，，由PQ⊥l，得PQ的斜率为﹣，故PQ的方程为，代入y Q=0，得，设R的坐标为（x，y），则，整理得：p（x﹣p）=，∴PQ的中点R的轨迹L的方程为4y2=p（x﹣p）（y≠0）；（2）证明：显然对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，故l上有无穷多个整点．反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，则，∵p是奇素数，于是y整除p，由②可推出x整除p，再由①可推出m整除p，令x=px1，y=py1，m=pm1，则有，由③，④得：，于是，即（8x1+1+8m1）（8x1+1﹣8m1）=17，则8x1+1+8m1=17，8x1+1﹣8m1=1，得x1=m1=1，故y1=0，有y=py1=0，与l上的点满足y≠0矛盾．∴轨迹l上有无穷多个整点，但l上任意整点到原点的距离均不是整数．。

绝密★启用前2015-2016学年江苏盐城市高一下学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：131分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、在数列中，设（，，），，则满足的的值为．2、在平面直角坐标系中，已知圆，是圆上的两个动点，，则的取值范围为．3、已知点，，点在直线上，若满足的点有且仅有1个，则实数的值为．4、在中，设角所对的边分别为，若，，，则．5、求值：．6、设是空间三条不同的直线，是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若与异面，∥，则与异面；②若∥，∥，则∥；③若，，，则；④若∥，∥，则∥.其中正确命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都填上）7、设是等比数列，若，，则．8、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为 ．9、如图，三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则 ．10、若向量，，且与垂直，则实数的值为 ．11、已知等差数列的前项和为，则其公差．12、已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为 ．13、函数的最小正周期是 ．14、直线的倾斜角为 ．二、解答题（题型注释）15、设是公比为正整数的等比数列，是等差数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为.①试求最小的正整数，使得当时，都有成立；②是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.16、已知圆的圆心为，直线被圆截得的弦长为，点在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设点在圆上，且满足，求点的坐标；（3）设半径为的圆与圆相离，过点分别作圆与圆的切线，切点分别为，若对任意的点，都有成立，求圆心的坐标.17、如图所示，是村里一个小湖的一角，其中. 为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸与上分别建观光长廊与，其中是宽长廊，造价是元/米；是窄长廊，造价是元/米；两段长廊的总造价预算为万元（恰好都用完）；同时，在线段上靠近点的三等分点处建一个表演舞台，并建水上通道（表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是元/米.（1）若规划宽长廊与窄长廊的长度相等，则水上通道的总造价需多少万元？（2）如何设计才能使得水上通道的总造价最低？最低总造价是多少万元？18、如图，在四边形中，是边长为6的正三角形，设（）.（1）若，求；（2）若，，求.19、如图，在三棱柱中，侧面底面，，分别为的中点，点在上，且.（1）求证：//平面； （2）求证：平面.20、设函数（为常数，且）的部分图象如图所示.（2）当时，求的取值范围.参考答案1、16,17,182、3、584、5、46、③7、568、9、10、011、-212、13、214、15、（1）；（2）①最小的正整数；②存在正整数，使得成立.16、（1）圆的标准方程为；（2）点的坐标为或；（3）圆心的坐标为.17、（1）水上通道AD的总造价为万元；18、（1）；（2）.19、（1）；（2）20、（1），，；（2）的取值范围为.【解析】1、试题分析：，，同理可得：，，，又，，即，，，.考点：数列的概念及其简单表示.2、试题分析：圆，,由余弦定理可得，设为的中点，，设，，的取值范围为.考点：向量的几何意义；向量的数量积；余弦定理.3、试题分析：设点P的坐标为，，即，又在直线上，，又满足的点有且仅有1个即考点：直线的方程.4、试题分析：即，又，，由正弦定理，得考点：三角函数两角和公式；正弦定理.5、试题分析：由题意得考点：三角函数两角和公式、二倍角公式.6、试题分析：①若与异面，，则与异面或相交，故不正确；②若，，则或，故不正确；③若，，，利用正方体模型，可得，正确；④若，，则或，故不正确；所以答案为③.考点：空间中直线与平面的位置关系.7、试题分析：由题意等比数列中，，.考点：等比数列的定义及其性质.8、试题分析：由题意考点：三角函数的定义；二倍角公式.9、试题分析：不妨设三棱柱是正三棱柱，设地面边长a和侧棱长h均为1，则，,.考点：几何体的体积.10、试题分析：由题意，则,又,，即,.考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积及其运算.11、试题分析：由等差数列前n项和，得，，，，故等差数列的公差.考点：等差数列定义及其性质；等差数列的前n项和.12、试题分析：底面半径为1，高为，母线长，圆锥的侧面积为：，故该圆锥的侧面积为.考点：圆锥的计算.13、试题分析：由函数解析式，，，所以函数的最小正周期为2.考点：正弦函数的定义及其特征.14、试题分析：直线，故直线的斜率等于1，设直线的倾斜角等于，则，且，故，所以直线的倾斜角为.考点：直线的倾斜角与斜率.15、试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）①，可得数列的前2n项和，设,则，时，，即时，，数列在时单调递增，而，所以，即可得出最小的正整数．②由，，，，，，，.按的奇偶性分情况：1°当同时为偶数时，由①可知；2°当同时为奇数时，时，，数列在时单调递增，不成立；3°当为偶数，为奇数时，，不成立；4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立；综合即可得出使得成立的正整数.试题解析：（1）由，，得，，设的公比为，的公差为，由，得，即，消去，得，解得或，又，，得.（2）①，，，，设,则，所以数列单调递增，则时，，即时，，数列在时单调递增，而，所以当时，，综上，最小的正整数.②法一：，，，，，，，.1.当同时为偶数时，由①可知；2.当同时为奇数时，设,则，所以数列单调递增，则当时，，即时，，数列在时单调递增，而，故当同时为奇数时，不成立；3.当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，若，则，，，由2.可知，，当为偶数，为奇数时，不成立；4.当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，若，则，若，则，即，时，不成立，若，即，由①中数列的单调性，可知，设，恒成立，所以数列单调递增，则当时，，，时也不成立；综上1.2.3.4.，存在正整数，使得成立.法二：可以证明当时，不等式恒成立，余下略.考点：等比数列的前n项和．16、试题分析：（1）求出到直线的距离，利用垂径定理计算圆的半径，得出圆的标准方程；（2）由，因为点在圆和直线上，列方程组解出点坐标；（3）由切线的性质可知，．设，，列出方程，令关于x的方程恒成立得出a,b．试题解析：（1）到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，所以圆的半径为，∴圆的标准方程为.（2）由，得，所以点在圆上，又点在直线上，由解得或，即点的坐标为或.（3）设，，则圆的标准方程为，，，，即（*），因为对任意的点，都有成立，所以（*）式对任意实数恒成立，得，解得或，又因为⊙与⊙相离，，即，∴圆心的坐标为.考点：圆方程的综合应用．17、试题分析：（1）设AB=AC=x（单位：百米），由题意可得12x=12，即x=1，求得BD，在中，由余弦定理求得AD的长，即可得到所求造价；（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为，运用余弦定理求得BC，再在与中，由余弦定理及，求得的解析式，化简整理，运用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值；也可用坐标求解．试题解析：（1）设AB=AC=x（单位：百米），则宽长廊AB造价为8x万元，窄长廊AC造价为4x 万元，故两段长廊的总造价为12x万元，所以12x=12，得x=1，又，是边长为1的正三角形，又点D为线段BC上靠近点B的三等分点，所以,在中，由余弦定理得，，又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为万元.（2）法一：设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为，即，在中，由余弦定理得在与中，由余弦定理及，得,又，得当且仅当时，AD有最小值，故总造价有最小值万元，此时，即当宽长廊AB为百米（75米）、窄长廊AC为百米（150米）时，所以水上通道AD有最低总造价为万元.法二：由，平方得，以下略. 法三：以A为原点，AP为x轴建立平面直角坐标系，求出D的坐标得，以下略.考点：基本不等式在最值问题中的应用．18、试题分析：（1）时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出的长度，也可用坐标法求解；（2）可由直接代入，根据条件联立方程组，即可求出x,y的值；也可以B为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据条件及向量数量积的计算公式代入坐标求解．试题解析：（1）法一：若，则，.法二：坐标法，略.法三：由三角形法则或平行四边形法则作图，略.（2）法一：由，得即解得.法二：以B为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，由，得，则，，解得.考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．19、试题分析：（1）利用三角形的中位线的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明；（2）利用等腰三角形三线合一证明，利用平面与平面垂直的性质证明，利用线面垂直的判定定理证明．试题解析：（1）E，F分别为的中点，,又，.（2），D为AB的中点，，又,,，又,，而，又，.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．20、试题分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图将点代入求出的值，可得函数的解析式；（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，求的取值范围．试题解析：（1）由图像有,最小正周期，，，由，得，，又，.（2）由（1）可知，，，，所以的取值范围为.考点：三角函数的图像及其解析式.。