江苏省盐城中学2020~2021学年高一上学期第一次质量检测数学试卷及答案2020.10

高一级期中质量测试数学科试参考答案（第1页共4页）2020－2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112答案A C D A B D C A AB ABD AD BCD 三、13．1214．{x |x ≥−1且x ≠0}15．5≤4a −2b ≤1016．1516；0或1312．四、解答题17．解：(1)由图象观察可知f (x )的单调增区间为(0,2]；……………………………………5分(2)函数f (x )的图象如图所示：……………………………………………7分f (x )<0的解集为(−∞,−4)∪(4,+∞)．………………………………………………………10分18．解：因为A ∩B ={9}，故9∈A 且9∈B ，………………………………………………1分所以2m −1=9，或者m 2=9，…………………………………………………………………3分解得m =5，或者=±3，…………………………………………………………………………5分当m =5时，A ={−4,9,25}，B ={0,−4,9}，A ∩B ={−4,9}，不合题意；……………………7分当m =3时，B ={−2,−2,9}，与集合元素的互异性矛盾；…………………………………9分当m=−3时，A={−4,−7,9}，B={−8,4,9}，A∩B={9}，符合题意；……………………11分综上所述，m=−3．……………………………………………………………………………12分19．解：(1)已知x<2，∴x−2<0.……………………………………………………………1分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8……………………………………………………………………2分∴−4(x−2)−1x−2≥4，……………………………………………………………………………3分当且仅当−4(x−2)=−1x−2，即x=32时等号成立．………………………………………………4分∴4(x−2)+1x−2≤−4……………………………………………………………………………5分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8≤4∴4x+1x−2的最大值为4………………………………………………………………………6分(2)解：∵x+4y+xy=5，∴5−xy=x+4y≥24xy=4xy……………………………………………………………………7分当且仅当x=4y，x+4y+xy=5即x=2，y=12时，等号成立……………………………………………………………………8分∴xy+4xy−5≤0………………………………………………………………………………9分∴xy≤1………………………………………………………………………………………11分∴xy的最大值为1……………………………………………………………………………12分20．解：(1)f(x)为R上的奇函数，……………………………………………………………1分∴f(0)＝0，得b＝0，…………………………………………………………………………3分又f(1)＝a＋b2＝12，∴a＝1，…………………………………………………………………5分∴f(x)＝xx2＋1……………………………………………………………………………………6分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第2页共4页）(2)f(x)在[1,＋∞)上为减函数，……………………………………………………………7分证明如下：在[1,＋∞)上任取x1和x2，且x1＜x2，……………………………………………8分则f(x2)−f(x1)＝x2x22＋1−x1x21＋1＝(x21＋1)x2－(x22＋1)x1(x21＋1)(x22＋1)＝x21x2－x22x1＋x2－x1(x21＋1)(x22＋1)＝(x1－x2)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)……………………9分∵x2>x1≥1，∴x1x2−1>0，x1−x2<0，…………………………………………………………10分∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，………………………………………………………………11分∴f(x)在[1,＋∞)上为减函数．…………………………………………………………………12分21．解：(1)由已知条件f(x)−g(x)＝x＋ax−2………………①………………………………1分①式中以−x代替x，得f(−x)−g(−x)＝−x−ax−2………②………………………………2分因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，故f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，②可化为−f(x)−g(x)＝−x−ax−2………③…………………………………………………3分①−③，得2f(x)＝2x＋2ax，……………………………………………………………………4分故f(x)＝x＋ax，g(x)＝2，x∈(−∞,0)∪(0,＋∞)；…………………………………………6分(2)由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，x∈[1,＋∞)，……………………………………………7分当a≥0时，函数f(x)＋g(x)的值恒为正；……………………………………………………8分当a＜0时，函数f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2在[1,＋∞)上为增函数，…………………………9分故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，故只需3＋a＞0，解得−3<a<0.………………………………………………………………11分综上所述，实数a的取值范围是(−3,＋∞)．………………………………………………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第3页共4页）【法二：由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，……………………………………………………7分当x∈[1,＋∞)时，f(x)＋g(x)＞0恒成立，等价于a＞−(x2＋2x)，…………………………9分而二次函数y＝−(x2＋2x)＝−(x＋1)2＋1在[1,＋∞)上单调递减，………………………10分x＝1时，y max＝−3，.…………………………………………………………………………11分故a＞−3………………………………………………………………………………………12分】22．解：(1)由题意知，y−x−(10＋2p)，…………………………………………2分将p＝3−2x＋1代入化简得y＝16−4x＋1−x(0≤x≤a)．…………………………………………5分【注：没注明定义域，扣1分】(2)当a≥1时，y＝17x＋−24x＋1×(x＋1)＝13，…………………………7分当且仅当4x＋1＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．…………………………………………8分所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．…………………9分当0<a<1时，y＝16−4x＋1−x在(0,1)上单调递增，…………………………………………11分所以当0<a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为4161aa－万元………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第4页共4页）。

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷一、填空题（本大题共14小题）1.已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =__________．【答案】{}0 【解析】 【分析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为{}0.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.设幂函数()af x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3.若命题“∃t∈R，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,∞（+）【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=﹣（﹣）＞ ． 0a ∴＞， 则实数a 的取值范围是0+∞（，）． 故答案为∞（0，+）． 4.函数()ln(1)2f x x x =-+-______． 【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)2f x x x =-+-(]1,2 ，故答案为(]1,2.5.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______．【答案】45- 【解析】 【分析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值.【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==x cos r α∴===，y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24 【解析】 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-. 8.已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ． 【答案】13[,]44- 【解析】 试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.考点：三角函数的图象与性质.9.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线10.已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x =+>，则()'21x h x x-=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤. 故答案为(],1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．【答案】132- 【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则52,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12.若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+ 【解析】【详解】试题分析:由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln 2+.考点：函数的图象及零点的确定．【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______．【答案】2⎛ ⎝ 【解析】 【分析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于m为正数，故2m <<故答案为⎝.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 14.已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e=-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【解析】【分析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-；（1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围.【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-，集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤. ∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC 面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）4【解析】 【分析】(1)将2sincos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.详解】()2221sincos2sin 2cos 122B C A A A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A=，可得122sin 193A =-=， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC 面积为1192232sin 224bc A ≤⨯⨯=． 即有32b c ==时，ABC 的面积取得最大值324． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 17.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值. 【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】 【分析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.【详解】（1）D 是边BC 上一点，2DC BD =()1133BD BC AC AB ∴==-()121333AD AB AC AB ABAC =+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC =-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅=，2AB CD t CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==-，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=2222839CD CB ⎛⎫==⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭22233AB AC AB =-⋅821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式； （2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？ 【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】 【分析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=，所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减； 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增； 所以当3πθ=时，函数()fθ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19.已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点； （3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞ 【解析】 【分析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程. （2）通过求()f x 的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a x g x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a aa g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意；（ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21aag e a e =-+，令()()211xx x x eϕ+=> ()()210xx x eϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<， 存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意.综上可知，a 的取值范围是(),1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】 【分析】 （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)nn n ++-+2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增， 所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =.又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5.设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =. 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5. 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。

2020-2021学年江苏省盐城市某校高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1. 已知α=−35π3，则下列4个角中与角α终边相同的是( )A.−π3B.π3C.4π3D.2π32. 300∘化为弧度是( )A.7 6πB.54π C.43π D.53π3. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为12弧度，则该扇形的面积为( )A.9cm2B.92cm2 C.3625cm2 D.94cm24. 已知α∈(π2,3π2)，且sinα=35，则tanα=( )A.4 3B.34C.−34D.−435. 设a=0.72，b=20.7，c=log20.7，则()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a6. 设集合M={α|α=k⋅90∘−36∘, k∈Z}，N={α|−180∘<α<180∘}，则M∩N=()A.{−126∘, 144∘}B.{−36∘, 54∘}C.{54∘, −126∘}D.{−36∘, 54∘, −126∘, 144∘}7. 若√1−sin x1+sin x =sin x−1cos x，则x的取值范围是()A.2kπ+π<x<2kπ+2π(k∈Z)B.2kπ<x<2kπ+π(k∈Z)C.2kπ−π2<x<2kπ+π2(k∈Z) D.2kπ+π2<x<2kπ+3π2(k∈Z)8. 已知tanα+1tanα=4(α∈(π,3π2)，则sinα+cosα=( )A.−√63B.√63C.√62D.−√62二、多选题下列函数中，在定义域上单调的有( )A.y=x13 B.y=x−3 C.y=ln x D.y=2x若sinα=45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A.cosα=35B.tanα=43C.sinα+cosα=85D.sinα−cosα=−15已知角A，B，C是锐角△ABC的三个内角，下列结论一定成立的是( )A.sin(A+B2)=cos C2B.tan(A+B2)=−tan C2C.sin(B+C)=sin AD.cos(A+B)=cos C已知y=f(x)，x∈R，下列选项中，能说明f(x)是周期函数的有( )A.f(x)是偶函数且f(x)图象关于点(1,0)对称B.f(x)是奇函数且f(x)图象关于直线x=1对称C.∀x∈R，f(x+2)=−f(x)D.∀x∈R，f(−x)=f(1+x)三、填空题已知tanθ=2，则cosθ−2sinθ2cosθ+sinθ=________.若α是第四象限角，sin(π3+α)=−25，则sin(π6−α)=________.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1,1]上，f(x)={a⋅4x+1,−1≤x≤0,log2x+b,0<x≤1,其中a，b∈R．若f(12)=f(32)，则a+b的值为________.已知定义在R 上的奇函数f (x )={1−2x ,(x ≥0),g (x ),(x <0),则不等式f(f (x ))≤7的解集为________.四、解答题已知关于x 的方程5x 2+x +m =0的两根为sin θ，cos θ. (1)求2sin 2θ−1sin θ−cos θ的值；(2)求m 的值.已知角α是第三象限角，且有f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)tan (−α+3π2)1tan (−α−π)⋅sin (−α−π).(1)若cos (α−3π2)=15，求f (α)的值；(2)若α=−1920∘，求f (α)的值．某场今年一，二，三月份产量分别是1万件，1.2万件，1.3万件．为了预测以后每一个月的产量，以这三个月的产量为预测依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以是二次函数y =f (x )，也可以选择g(x)=ab x +c(a ，b ，c 为常数）． (1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)已知四月份的产量为1.37万件．问：上述两个函数模型哪个更合适，为什么？(1)已知f (cos x )=cos 17x ，求证： f (sin x )=sin 17x ；(2)对于怎样的整数n ，才能由f (sin x )=sin nπ推出f (cos x )=cos x ．求所有适合条件的整数n 的取值集合．设二次函数f (x )=ax 2+bx +c 在区间[−2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，方程f (x )=x 的解集为集合A ．(1)若A ={1,2}，且f (0)=2，求函数f (x )的解析式以及M ，m 的值；(2)若A ={1}，试用a 分别表示b 与c ；(3)在(2)的条件下，记g (a )=M +m ，并且a ≥1，求g (a )的最小值．设函数f(x)=a 2x −(t−1)a x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求t 的值；(2)若f(1)>0，求使不等式f(kx −x 2)+f(x −1)<0对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；(3)若函数f(x)的图象过点(1, 32)，是否存在正数m(m ≠1)，使函数g(x)=log m [a 2x +a −2x −mf(x)]在[1, log 23]上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省盐城市某校高一（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】终边常同占角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】弧度与都起的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】弧因激式扇形常积至式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】象限射子轴线角交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系三角函来值的阿号【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函根的盖调道及年调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】诱三公定同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值同角体角序数基璃室系的运用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】根与三程的关系同角正角测数解的当本关系同角体角序数基璃室系的运用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值运用诱导于式化虫求值函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数模型较选溴与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】诱三公定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次于数在落营间上周最值函数于析式偏速站及常用方法根与三程的关系一元二水都程的根证分布钱系数的关系二次明数织性质函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇函数函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020届江苏省盐城市盐城中学 高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1．已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =I __________． 【答案】{}0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为：{}0. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．设幂函数()af x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3．若命题“∃t ∈R ，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,+∞（）【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=V ﹣（﹣）＞ ． 0a ∴＞， 则实数a 的取值范围是0+∞（，）． 故答案为∞（0，+）．4．函数()ln(1)f x x =-的定义域为______． 【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)f x x =-的定义域为(]1,2 ，故答案为(]1,2.5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______． 【答案】45-【解析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值. 【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==5x cos r α∴===-，5y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-.8．已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.【考点】三角函数的图象与性质.9．设向量(sin 2,cos )a θθ=r ，(cos ,1)b θ=r，则“//a b r r”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分 【解析】【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==r r或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b r r ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10．已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】(],1-∞【解析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，则()'21x h x x-=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11．如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===o 为BC 中点，若·4AB AC =u u u v u u u v ，则·AE BC u u u v u u u v=_______________．【答案】132-【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()()()0,0,4,0,,2,0,2,A B C m C 则 ()()4,0,,2AB AC m ==u u u r u u u r，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=u u u r u u u r，即()1,2C ，则52,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12．若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln 2+.【考点】函数的图象及零点的确定． 【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______． 【答案】62⎝ 【解析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 为锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于m为正数，故m <<故答案为：2⎛ ⎝.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦U 【解析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】 由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e =-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U .故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U . 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题15．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞【解析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-； （1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围. 【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-，集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤. ∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC △面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）4【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得sin 3A ==， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为119sin 224bc A ≤⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值4． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.17．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r .（1）求AD BC ⋅u u u r u u u r的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r，求实数t 的值.【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】（1）将,AD BC u u u r u u u r 都转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅u u u r u u u r的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r 转化为2AB CD t CD⋅=u u u r u u u ru u u r ，同（1）的方法，将CD uuu r 转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值. 【详解】（1）D Q 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r ()1133BD BC AC AB ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121333AC AB AB AC =-+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=-u u u r u u u r （2）()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r Q ，2AB CDt CD⋅∴=u u u r u u u ru u u r ()2233CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=u u u r2222839CD CB ⎛⎫== ⎪⎝∴⎭u u u r u u u r 2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 22233AB AC AB=-⋅u u u r u u u r u u u r821012cos120333=-⨯⨯⨯︒= 1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？ 【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得»,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=，所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减； 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增； 所以当3πθ=时，函数()fθ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19．已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点； （3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞【解析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程.（2）通过求()f x 的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a xg x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a a a g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意；（ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21aag e a e =-+，令()()211xx x x eϕ+=>()()210xx x eϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<， 存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意. 综上可知，a 的取值范围是(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列. 【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L222222*********1433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增， 所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i j i j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =. 又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾。

2020-2021学年江苏盐城高一上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={1, 3, 5, 7}，B ={2, 3, 4, 5}，则A ∩B =( ) A.{3} B.{5} C.{3, 5} D.{1, 2, 3, 4, 5, 7}2. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( ) A.y =|x|，y =√x 2 B.y =√x 2，y =(√x)2 C.y =x 2−1x−1，y =x +1D.y =√x +1⋅√x −1，y =√x 2−13. 设函数 f (x )={x 2， x ≤1，x +6x−6, x >1，则f(f (−2))的值为( ) A.4 B.−2C.−12D.164. 设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n +5，则p 的否定为( ) A.∀n ∈N ，n 2>2n +5 B.∀n ∈N ，n 2≤2n +5 C.∃n ∈N ，n 2≤2n +5 D.∃n ∈N ，n 2=2n +55. 若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x|−7<x <−1}，那么a 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.46. 若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是( ) A.3√2 B.6 C.6√2 D.127. 已知f (12x −1)=2x −5，且f (a )=7，则a 的值为( ) A.16 B.−2 C.2 D.68. “a =−1”是“函数y =ax 2+2x −1只有一个零点”的( ) A.充要条件 B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题下列四个命题中，真命题有( ) A.∀x ∈R ，x +1x ≥2 B.∃x ∈R ，x 2−x >5 C.∃x ∈R ， |x +1|=0 D.∀x ∈R ， |x +1|>0已知函数 y =−x 2+4ax 在区间[−1,2]上单调递减，则实数a 的取值可以为( ) A.−2 B.0C.−12D.1解关于x 不等式x 2−4mx +3m 2≤0的解集，下列说法正确的是( ) A.当m =0时， x ∈⌀B.当m >0时， x ∈[m,3m ]C.当m <0时， x ∈[−m,−3m ]D.当m <0时， x ∈[3m,m ]函数f(x)=ax 2+2ax +1在−3≤x ≤2上的最大值为4，则实数a 的值为( ) A.−3 B.8C.38D.4三、填空题函数f(x)=√x +1+12−x 的定义域为________． 函数y =2√x 2+1的最小值为________．已知y =f (x )是定义在R 上的减函数，若f (m −1)>f (1−2m )，则实数m 的取值范围是________.设a ，b 为实数，定义运算“⊗”，a ⊗b =ab +2a +b ，则求满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围是________. 四、解答题计算： (1)(1681)−34−5log 53+log 25⋅log 54+2lg 5+lg 4；(2)x 12+x −12=3，求x +x −1及x 12−x −12.已知集合 A ={x|2x−1>1}，集合B ={x|2m <x <1−m}. (1)当m =−1时，求A ∪B ；(2)若A ∩B =A ，求实数m 的取值范围．(1)已知函数f (x )=x 4−4x 2+1，x ∈(0,3)，求该函数的值域.(2)已知y =f (x )为二次函数，若f (x )的图像经过点(−1,0)和点(3,0)，且f (0)=−3，求y =f (x )的解析式．已知函数f(x)=px 2+2−3x 的图像经过点(2，−53).(1)求p 值，并写出函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,1]上是增函数还是减函数，并用单调性定义证明.经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元），均为时间t （天）(t ∈N +)的函数，且日销售量满足函数g(t)=80−2t （件），而日销售价格满足于函数f(t)={15+12t ，0<t ≤10，25−12t ，10<t ≤20， （元）． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t(0<t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．已知函数f(x)=x −4x ，x ∈[1, 2]．(1)说出函数的单调性（不需证明）并求函数f (x )的值域；(2)设F(x)=x 2+16x 2−2a(x −4x )，x ∈[1, 2]，a ∈R ，求函数F(x)的最小值g(a).参考答案与试题解析2020-2021学年江苏盐城高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 3, 5, 7}，B={2, 3, 4, 5}，∴A∩B={3, 5}．故选C．2.【答案】A【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】同一函数是指函数的定义域、值域、对应关系均相同的函数，从这三要素入手，即可做出准确判断【解答】解：A，y=|x|，y=√x2，两函数定义域都为R，值域都为[0,+∞)，且对应关系相同，是同一函数，故A正确；B，y=√x2定义域为R，y=(√x)2定义域为[0,+∞)，不是同一函数，故B错误；C，y=x2−1x−1定义域为{x|x≠1}，y=x+1定义域为R，不是同一函数，故C错误；D，y=√x+1⋅√x−1定义域为{x|x≥1}，y=√x2−1定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数，故D错误.故选A.3.【答案】C【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】先求f(−2)=(−2)2=4，再求f(f(−2))=f(4)=4+64−6=−12即可.【解答】解：∵函数f(x)={x2， x≤1，x+6x−6, x>1，∴f(−2)=(−2)2=4，∴f(f(−2))=f(4)=4+64−6=−12.故选C.4.【答案】B【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】利用特称命题的否定为全称命题进行求解即可.【解答】解：∵特称命题的否定为全称命题，∴命题p：∃n∈N，n2>2n+5的否定为∀n∈N，n2≤2n+5.故选B.5.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，由韦达定理即可得到a．【解答】解：不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，即有−7−1=−8aa，−7×(−1)=21a，解得a=3，成立．故选C．6.【答案】D【考点】三角形求面积基本不等式在最值问题中的应用【解析】由三角形面积得到ab=36，再利用基本不等式即可得到答案.【解答】解：设直角三角形的两条直角边分别为a，b，由题意可得12ab=18，∴ab=36，∴a+b≥2√ab=12，当且仅当a=b=6时等号成立，∴两条直角边的和的最小值是12.故选D.7.【答案】C【考点】函数的求值函数解析式的求解及常用方法【解析】先令12x−1=a，可得x=2(a+1)，代回函数关系式可得f(a)=4a−1，进而求得a值.【解答】解：令12x−1=a，∴ x=2(a+1)，∴f(a)=2×2(a+1)−5=4a−1=7，解得a=2.故选C.8.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断函数的零点与方程根的关系【解析】先由函数y=ax2+2x−1与r轴只有一个交点，求出a的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果．【解答】解：若函数y=ax2+2x−1只有一个零点，则a=0或Δ=22+4a=0，所以a=0或a=−1，因此“a=−1”是“函数y=ax2+2x−1只有一个零点”的充分不必要条件.故选B.二、多选题【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】利用全称命题，特称命题真假判定方法求解即可.【解答】解：A，当x<0时，x+1x≥2显然不成立，故A为假命题；B，当x=3时，x2−x>5显然成立，故B为真命题；C，当x=−1时，|x+1|=0显然成立，故C为真命题；D，当x=−1时，|x+1|>0显然不成立，故D为假命题.故选BC.【答案】A,C【考点】已知函数的单调性求参数问题二次函数的图象【解析】首先确定二次函数的单调性，再确定参数范围即可.【解答】解：因为二次函数y=−x2+4ax的对称轴为x=2a，且开口向下，所以二次函数y=−x2+4ax在区间(−∞,2a)为增函数，在区间(2a,+∞)为减函数，由题意得：2a≤−1，解得a≤−12，故a可取−2，−12.故选AC.【答案】B,D【考点】一元二次不等式的解法【解析】直接讨论参数的范围，确定参数的范围即可得到解集.【解答】解：令x2−4mx+3m2=0，解得x1=m，x2=3m，当m=3m时，即m=0，不等式的解集为{0}；当m>3m时，即m<0，不等式的解集为[3m,m]；当m<3m时，即m>0，不等式的解集为[m,3m].故选BD.【答案】A,C【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a．【解答】解：当a≠0时，根据所给函数解析式可知，对称轴为x=−1，且恒过定点(0, 1)，(1)当a<0时，函数在[−3, −1]上单调递增，在[−1, 2]上单调递减，所以函数在x =−1处取得最大值，因为f(−1)=−a +1=4，所以a =−3．(2)当a >0时，函数在[−3, −1]上单调递减，在[−1, 2]上单调递增， 所以函数在x =2处取得最大值， 因为f(2)=8a +1=4，所以a =38. 当a =0时，y =1，不符合题意. 故选AC . 三、填空题【答案】[−1, 2)∪(2, +∞) 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集． 【解答】解：根据题意：{x +1≥0，2−x ≠0，解得：x ≥−1且x ≠2，∴ 定义域是：[−1, 2)∪(2, +∞)， 故答案为：[−1, 2)∪(2, +∞). 【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 将原式变为y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1，再使用基本不等式即可．【解答】 解：∵ y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1√x 2+1=2，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =0时取等号．∴ y 的最小值为2． 故答案为：2． 【答案】 (−∞,23)【考点】函数单调性的性质 【解析】利用函数单调性的性质，构造不等式，解出即可. 【解答】解：∵ 函数f (x )在R 上为减函数，且f(m −1)>f(1−2 m)， ∴ m −1<1−2m ， 解得m <23，∴ 实数m 的取值范围为(−∞,23). 故答案为：(−∞,23).【答案】{x|−2<x <1} 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】根据题中已知得新定义，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的取值范围． 【解答】解：由a ⊗b =ab +2a +b ，得到x ⊗(x −2)=x(x −2)+2x +x −2<0， 即x 2+x −2<0，分解因式得(x +2)(x −1)<0， 解得−2<x <1，所以实数x 的取值范围为{x|−2<x <1}. 故答案为：{x|−2<x <1}. 四、解答题 【答案】 解：(1)原式=((23)4)−34−3+2+2=278+1=358.(2)两边平方：(x 12+x −12)2= x +x −1+2=9， 则x +x −1=7．(x 12−x −12)2=x +x −1−2=7−2=5， 则x 12−x −12=±√5．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值 【解析】 无 无 【解答】解：(1)原式=((23)4)−34−3+2+2=278+1=358.(2)两边平方：(x12+x−12)2=x+x−1+2=9，则x+x−1=7．(x12−x−12)2=x+x−1−2=7−2=5，则x 12−x−12=±√5．【答案】解：(1)A={x|1<x<3}，当m=−1时，B={x|−2<x<2}，A∪B={x|−2<x<3}．(2)由A∩B=A，得A⊆B，知{1−m>2m，2m≤1，1−m≥3，解得m≤−2，即实数m的取值范围为{m|m≤−2}．【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】无无【解答】解：(1)A={x|1<x<3}，当m=−1时，B={x|−2<x<2}，A∪B={x|−2<x<3}．(2)由A∩B=A，得A⊆B，知{1−m>2m，2m≤1，1−m≥3，解得m≤−2，即实数m的取值范围为{m|m≤−2}．【答案】解：(1)令x2=t，因为x∈(0,3)，所以t∈(0,9)，则f(t)=t2−4t+1=(t−2)2−3，t∈(0,9)，f(2)=−3，f(9)=46，所以函数的值域为[−3,46)．(2)因为该函数为二次函数，且图像经过点(−1,0)，(3,0)，设f(x)=a(x+1)(x−3)，a≠0，又因为f(0)=−3，所以a=1，即f(x)=x2−2x−3. 【考点】函数的值域及其求法函数解析式的求解及常用方法【解析】无无【解答】解：(1)令x2=t，因为x∈(0,3)，所以t∈(0,9)，则f(x)=t2−4t+1=(t−2)2−3，t∈(0,9)，f(2)=−3，f(9)=46，所以函数的值域为[−3,46)．(2)因为该函数为二次函数，且图象经过点(−1,0)，(3,0)，设f(x)=a(x+1)(x−3)，a≠0，又因为f(0)=−3，所以a=1，即f(x)=x2−2x−3.【答案】解：(1)由题意知f(2)=−53，f(x)=px2+2−3x，即f(2)=4p+2−6=−53，解得p=2，则所求解析式为f(x)=2x2+2−3x.(2)由(1)可得f(x)=2x2+2−3x=−23(x+1x)，证明如下：设0<x1<x2≤1，∴f(x1)−f(x2)=23[(x2+1x2)−(x1+1x1)]=23[(x2−x1)+(1x2−1x1)]=2[(x2−x1)+x1−x212]=23(x1−x2)(1x1x2−1)=23(x1−x2)×1−x1x2x1x2，∵0<x1<x2≤1，0<x1x2<1，1−x1x2>0，x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在区间(0, 1]上是增函数．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】（1）把x=2代入函数的解析式，列出关于p的方程，求解即可；（3）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．【解答】解：(1)由题意知f(2)=−53，f(x)=px 2+2−3x，即f(2)=4p+2−6=−53，解得p =2，则所求解析式为f(x)=2x 2+2−3x.(2)由(1)可得f(x)=2x 2+2−3x=−23(x +1x)，证明如下：设0<x 1<x 2≤1，∴ f(x 1)−f(x 2)=23[(x 2+1x 2)−(x 1+1x 1)]=23[(x 2−x 1)+(1x 2−1x 1)] =23[(x 2−x 1)+x 1−x 2x 1x 2] =23(x 1−x 2)(1x 1x 2−1) =23(x 1−x 2)×1−x 1x 2x 1x 2，∵ 0<x 1<x 2≤1，0<x 1x 2<1，1−x 1x 2>0，x 1−x 2<0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2) ∴ 函数f(x)在区间(0, 1]上是增函数． 【答案】解：(1)y ={(15+12t)(80−2t)(0<t ≤10)，(25−12t)(80−2t)(10<t ≤20)，即y ={−t 2+10t +1200(0<t ≤10)，t 2−90t +2000(10<t ≤20).(t ∈N +)(2)当0<t ≤10时，y =−t 2+10t +1200， 此函数对称轴为直线x =5，所以函数y =f(t)在(0, 5]上单调递增，在[5, 10]上单调递减， 所以y max =f(5)=1225，y min =f(10)=1200， 当10<t ≤20时，y =t 2−90t +2000， 此函数对称轴为直线x =45，所以函数y =f(t)在[10, 20]上单调递减，所以y max =f(10)=1200，y min =f(20)=600， 综上所述：y max =f(5)=1225，y min =f(20)=600.答：该种商品的日销售额y 的最大值是1225，最小值600． 【考点】分段函数的应用 【解析】（1）根据y ＝g(t)⋅f(t)得出解析式； （2）根据二次函数单调性得出最值． 【解答】解：(1)y ={(15+12t)(80−2t)(0<t ≤10)，(25−12t)(80−2t)(10<t ≤20)，即y ={−t 2+10t +1200(0<t ≤10)，t 2−90t +2000(10<t ≤20).(t ∈N +)(2)当0<t ≤10时，y =−t 2+10t +1200， 此函数对称轴为直线x =5，所以函数y =f(t)在(0, 5]上单调递增，在[5, 10]上单调递减， 所以y max =f(5)=1225，y min =f(10)=1200， 当10<t ≤20时，y =t 2−90t +2000， 此函数对称轴为直线x =45，所以函数y =f(t)在[10, 20]上单调递减，所以y max =f(10)=1200，y min =f(20)=600， 综上所述：y max =f(5)=1225，y min =f(20)=600.答：该种商品的日销售额y 的最大值是1225，最小值600． 【答案】解：在[1, 2]任取x 1，x 2且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0，x 1⋅x 2>0， 所以f(x 2)−f(x 1)=(x 2−4x 2)−(x 1−4x 1)=(x 2−x 1)⋅(x 1⋅x 2+4)x 1⋅x 2>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f(x)=x −4x 在[1, 2]上单调递增， 故当x =1时，f(x)取得最小值−3， 当x =2时，f(x)取得最大值0， 所以函数f(x)的值域为[−3, 0]． (2)F(x)=x 2+16x 2−2a(x −4x) =(x −4x )2−2a(x −4x )+8，x ∈[1, 2]， 令x −4x =t ，t ∈[−3, 0]，则ℎ(t)=t 2−2at +8=(t −a)2+8−a 2．①当a ≤−3时，ℎ(t)在[−3, 0]上单调递增， 故g(a)=ℎ(−3)=6a +17；②当a ≥0时，ℎ(t)在[−3, 0]上单调递减， 故g(a)=ℎ(0)=8；③当−3<a <0时，ℎ(t)在[−3, a]上单调递减， 在[a, 0]上单调递增，故g(a)=ℎ(a)=8−a 2. 综上所述，g(a)={6a +17,(a ≤−3),8−a 2,(−3<a <0),8,(a ≥0).【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）利用函数的单调性等于判断函数的单调性，然后求解值域即可．（2）利用换元法，通过二次函数的性质求解函数的最小值即可．（3）结合（2）利用函数的最值的关系，转化求解实数t的取值范围．【解答】解：在[1, 2]任取x1，x2且x1<x2，则x2−x1>0，x1⋅x2>0，所以f(x2)−f(x1)=(x2−4x2)−(x1−4x1)=(x2−x1)⋅(x1⋅x2+4)x1⋅x2>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)=x−4x在[1, 2]上单调递增，故当x=1时，f(x)取得最小值−3，当x=2时，f(x)取得最大值0，所以函数f(x)的值域为[−3, 0]．(2)F(x)=x2+16x2−2a(x−4x)=(x−4x )2−2a(x−4x)+8，x∈[1, 2]，令x−4x=t，t∈[−3, 0]，则ℎ(t)=t2−2at+8=(t−a)2+8−a2．①当a≤−3时，ℎ(t)在[−3, 0]上单调递增，故g(a)=ℎ(−3)=6a+17；②当a≥0时，ℎ(t)在[−3, 0]上单调递减，故g(a)=ℎ(0)=8；③当−3<a<0时，ℎ(t)在[−3, a]上单调递减，在[a, 0]上单调递增，故g(a)=ℎ(a)=8−a2.综上所述，g(a)={6a+17,(a≤−3),8−a2,(−3<a<0),8,(a≥0).。

江苏省盐城中学2020届高三数学第一次阶段性质量检测试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.己知集合，0，，则______2.设幂函数的图象经过点，则______．3.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．4.函数的定义域为______．5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．6.已知等差数列的前n项和为，，，则的值为______．7.定义在R上的奇函数，当时，，则______．8.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为______ ．9.设向量，，则“”是“”成立的______ 条件选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．10.已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______11.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则______．12.若函数，在区间上有两个零点，则实数a的范围为______．13.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知，且且角A为锐角，则m的取值范围是______．14.己知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合，集合B为函数的值域，集合，命题p：；命题q：．若命题p为假命题，求实数a的取值范围；若命题为真命题，求实数a的取值范围．16.中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．求的值；若，求面积的最大值．17.在中，，，，D是边BC上一点，．求的值；若，求t的值．18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．设，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是元．若桥面线段AD、BE和弧的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；当为何值时，桥面修建总费用W最低？19.已知函数．当时，求函数在处的切线方程；当时，证明：函数只有一个零点；若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围．20.已知正项数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，0，，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：根据幂函数的定义，可得，图象经过点，可得：解得：那么：故答案为：．根据幂函数的图象及性质求解．本题考查了幂函数的图象及性质．属于基础题．3.【答案】【解析】解：命题“，”是真命题，．，则实数a的取值范围是：．故答案为：．命题“，”是真命题，可得．本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】【解析】解：由题意可得，，，，，，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，可得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】24【解析】解：在等差数列中，设首项为，公差为d，由，，得，解得：．．故答案为：24．由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．7.【答案】【解析】解：是奇函数，，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8.【答案】【解析】解：函数的最大值为2，最小正周期，，，函数，由，，解得：，，当时，函数在上的单调增区间：．故答案为：．求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．9.【答案】必要不充分【解析】解：若，则，即，即，则或，故”是“”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，设，则，易得在区间上，，即在上为减函数，在区间上，，即在上为增函数，故在有最小值，没有最大值，若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，即在上恒成立，必有，故a的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数可得，设，求出的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得在上为减函数，在上为增函数，据此可得故在有最小值；进而分析可得若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，据此分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．11.【答案】【解析】解：过C作于F，则四边形AFCD是矩形，，，又，．为BC中点，，．故答案为：．根据求出AC，用表示出，从而得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：当时，，函数是减函数，时，是增函数，在区间上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得．故答案为：．利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a的范围．本题考查函数的零点的判断，分段函数的应用，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，又．．，又由，可得，，即m的取值范围是故答案为：由已知利用正弦定理可得：，且，进而利用余弦定理、不等式的解法即可求解．本题考查了正弦定理、余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，恒成立，则，即恒成立，所以，，在上恒成立，时显然不满足条件，当时，恒成立，则在上恒成立，即恒成立，令，则，显然，当时，函数取得最小值为，；当时，在上恒成立，当，即时，恒成立，则，解得，当，即时，恒成立，则，解得，故，综上，实数t的取值范围是．故答案为：．利用导数可得，则在上恒成立，且时显然不满足条件，再以及两种情况讨论即可．本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，同时注意在分类的时候保证不重不漏，本题属于中档题．15.【答案】解：，，，由命题p为假命题可得命题为真命题命题，q都为真命题即且．解可得【解析】由题意可得，，，由命题p为假命题可得，可求a由题意可得且，结合集合之间的基本运算可求a的范围本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．16.【答案】解：．在中，，可得：，由余弦定理可得，即有，当且仅当时，取得等号，则面积，即有时，的面积取得最大值．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．17.【答案】解：．，，．．，．，，即，解得．【解析】用表示，代入数量积公式计算；求出，，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．本题考查了平面向量的数量积运算，用表示出其他向量是关键．18.【答案】解：设C为弧AB的中点，连结OA，OC，则具体如下图：在中，．又，弧AC长为．当时，；当时，．．，．根据，可设，则．令，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低．【解析】本题第题根据题意结合图形，解直角三角形求出AD，利用弧长公式求出弧AC，即可列出总费用算式；第题在第题找到W关于的函数关系式的基础上构造函数，对进行求导分析，即可找到的值．本题主要考查理解题意能力，解直角三角形，弧长公式的应用，构造函数法，对函数进行一阶导数分析，以及数学计算能力．本题属中档题．19.【答案】解：当时，，，，切线方程为．，令，则，当时，，在上单调递减，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故函数只有一个零点．由可知，当时，的极大值为0，符合题意，当时，若，，单调递增，若，，单调递减，又，，因为，则，，所以，当时，单调递减，，又，所以即，故存在，满足，当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，又时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故是函数唯一极大值点，且符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，又，故，从而在上单调递减，没有极值；不符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，且，，令，则，故在上单调递减，从而有，所以即，因为，故存在满足，当时，函数单调递增，当，函数单调递减，故是函数唯一极小值点，是函数唯一极大值点，，不符合题意，综上可得，．【解析】根据导数的几何意义即可求解，先对函数求导，，结合单调性即可求解，结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．20.【答案】解：当时，由得，，得，当时，由得，，两式相减得，，即，数列各项均为正数，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列的通项公式为；由知，，，，令，则，是单调递增函数，数列递增，，又，的取值范围为；，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，又，，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由得，，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．。

江苏省盐城市2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UA B ⋃为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．以下四个图形中，可以作为函数()y f x =的图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =+，则()1f -=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．34．设集合[)1,2M =-，(),N a =-∞，若M N ⋂=∅ ，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤B ．1a ≤-C ．1a <-D ．2a >5．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）A ．()()1f x g x x ==-；B ．()()f x g x ==C ．()()11f x x g t t =-=-，； D ．()()2x f x x g x x==，.6．若函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5a ≥ B ．5a =C ．5a >D ．5a <7．函数()xf x x x=+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数21()242=-+f x x x 的定义域、值域都是[]2,2b ，则（ ） A ．2b =B ．[1,2]b ∈C ．(1,2)b ∈D ．{1,2}b ∈9．已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则()0f x <的解集为（ ）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,01,-⋃+∞10．设函数()()121,1x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则实数a 的值为（ ）A ．6B ．14C ．6和14D ．411．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．[1,2]-C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞12．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]h x x x =-，那么下列说法正确的个数是（ ）函数()h x 的定义域为 R ，值域为 ( -1, 0] ②方程 ()12h x =-有无数多个解③对任意的x ∈R ，都有()()1h x h x +=成立 ④函数()h x 是单调减函数 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．函数y =的定义域为________. 14．若()23112,(0)x f x x x--=≠，那么1()2f =______． 15．函数()(3)5121a x x f x ax x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，是()-∞+∞，上的减函数，那么实数a 的取值范围是__________.16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．三、解答题17．已知集合{}20A x x x =-=，集合10,360x B xx Z x ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，集合{}20,C x x px q =++=其中,p q R ∈．（1）写出集合A 的所有子集； （2）若B C C A =，求,p q 的值．18．已知集合A={x|x 2-5x-6≤0}，B={x|m+1≤x≤3m -1}． （1）当m=3时，求A∩B．（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值集合C ．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()223f x x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）画出()f x 的图像，并根据图像写出函数的单调区间.20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购为x 件服装的实际出厂单价为p 元，写出函数()p f x =的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？ 21．已知函数11()2f x mx nx =++(,m n 是常数)，且(1)2f =，11(2)4f =. （1）求m,n 的值；（2）当)1,x ⎡∈+∞⎣ 时，判断()f x 的单调性并证明； （3）若不等式()()221246f xf xx +>-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f （x ）=mx 2+（1-3m ）x-4，m∈R．（1）当m=1时，求f （x ）在区间[-2，2]上的最大值和最小值． （2）解关于x 的不等式f （x ）＞-1．（3）当m ＜0时，若存在x 0∈（1，+∞），使得f （x ）＞0，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】先根据全集U 求出集合A 的补集UA ，再求UA 与集合B 的并集()U A B ⋃．【详解】 由题得，{}0,4,UA ={}{}{}()0,42,40,2,4.U AB ∴⋃=⋃=故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2．D 【解析】试题分析：根据函数的定义知，对于定义域内的任一变量，都有唯一的函数值和其对应，显然选项A 、B 、C 中均有一个变量对应多个值，即错误，故选D ． 考点：函数的定义． 3．A 【分析】先通过给出的解析式求得(1)f 的值，接着因为奇函数的性质有，(1)(1)f f -=-，从而求得(1)f -的值. 【详解】当0x ≥时，()22f x x x =+， 2(1)2113∴=⨯+=f ，又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， (1)(1)3∴-=-=-f f .故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题. 4．B 【分析】根据交集运算及空集的定义，可直接得到答案. 【详解】[)1,2M =-，(),N a =-∞，且M N ⋂=∅，1a ∴≤-故选：B 【点睛】本题主要考查交集运算以及空集，属于基础题. 5．C 【分析】分别判断这两个函数的定义域是否相同，对应法则是否一致，即可得出答案. 【详解】对于A 项，()f x 与()g x 的定义域都是R ，由()1f x x ==-，则函数()f x 与()g x 的对应法则不同，故A 错误；对于B 项，2101x x -≥⇒≤-或1x ≥；10110x x x +≥⎧⇒⎨-≥⎩，则函数()f x 与()g x 的定义域不同，故B 错误；对于C 项，函数()f x 与()g x 的定义域都为R ，对应法则一致，值域都为R ，故C 正确； 对于D 项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，则函数()f x 与()g x 的定义域不同，故D 错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否相等，属于中档题. 6．A 【分析】分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，结合题意可得出14a -≥，解出即可. 【详解】由于二次函数()()2212f x x a x =-+-+图象开口向下，对称轴为直线1x a =-.由于该函数在区间(),4-∞上是增函数，则14a -≥，解得5a ≥. 因此，实数a 的取值范围是5a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二次函数在区间上的单调性求参数，要结合二次函数图象的开口方向与对称轴进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 7．B 【分析】化简函数的解析式为()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，结合一次函数的图象与性质，即可求解【详解】由题意，函数()xf x x x=+， 当0x >时，()1f x x =+；当0x <时，()1f x x =-+， 即()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，结合一次函数的图象与性质，可得选项B 符合.故选：B. 8．A 【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，确定当2x b =时，函数取得最大值，列出对应的等式，便可求得b 的取值. 【详解】由题意得，函数21()242=-+f x x x 图象的对称轴为2x =，∴函数()f x 在区间[]2,2b 上单调递增，且定义域、值域都是[]2,2b ，2(2)2442=-+=f b b b b ，即2320b b -+=， 解得2b =或1b =（舍去），2b ∴= 故选：A 【点睛】本题主要考查二次函数在给定区间的值域问题. 9．C 【分析】因为()f x 为偶函数，所以有(1)(1)f f -=，代入可得a b =，又因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以抛物线开口向上，从而可得到()0f x <的解集.【详解】函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且有(1)0f =，(1)0f ∴-=，0∴-+=a b ，即a b =，∴函数()(1)(1)=+-f x a x x ，又()f x 在()0,∞+上单调递增，0a ∴>，∴抛物线的开口向上，则()0f x <的解集为()1,1-. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值以及含参数的一元二次不等式的解法. 10．B 【分析】分01a <≤和1a >两种情况，代入对应的解析式，解方程便可得到实数a 的值. 【详解】1.当01a <≤时，()(1)2=+=f a f a a ，若()()1f a f a =+，2a =，得14a =或0a =（舍去）；2.当1a >时，()2(1),(1)2=-+=f a a f a a ，若()()1f a f a =+，则有2(1)2-=a a ，方程无解.所以实数a 的值为14. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题. 11．A 【解析】 试题分析：偶函数在上是减函数，∴其在上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大，∴不等式可以变为，解得，故选A ．考点：函数的奇偶性与单调性. 12．C 【分析】根据取整函数的定义，可得函数[]()=-h x x x 的最小正周期为1，在区间(,1)()k k k Z +∈上是减函数，且函数的值域为(1,0]-.由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案. 【详解】对于①，根据[]x 的定义，得x 为整数时，[]=x x ，从而()[]0=-=h x x x ，此时()h x 得最大值；当x 的小数部分不为0时, []1-<<x x x ，故()[](1,0)=-∈-h x x x .综上所述，得()h x 的定义域为R ，值域为(1,0]-，故①正确. 对于②，当1()2x k k Z =+∈时，[]=x k ，从而()[]12=-=-h x x x ，因此方程 ()12h x =-有无数多个解，故②正确.对于③，因为一个数增加1个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此[][1]1+=+x x ，从而得到(1)[1](1)[]+=+-+=-h x x x x x ，所以对任意的x ∈R ，都有(1)()+=h x h x 成立，故③正确.对于④，函数[]()=-h x x x 在区间(,1)()k k k Z +∈上是减函数，但是由于函数()h x 是分段函数，图象不连续，所以()h x 不是R 上的减函数，故④不正确. 故选：C 【点睛】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数[]()=-h x x x 性质的几个命题的真假，着重考查了函数的单调性、周期性以及函数的定义域、值域等知识，属于中档题. 13．{}|13≤<x x 【分析】使函数各部分有意义，列出不等式组求解便可. 【详解】函数为y =，要使函数有意义，则1030x x -≥⎧⎨->⎩13∴≤<x∴函数y =的定义域为{}|13≤<x x故答案为：{}|13≤<x x 【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于基本题. 14．15 【分析】 令14x =可得1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【详解】令1122x -=，解得14x =，当14x =时，22115x x-=，所以1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为15. 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数值的求解，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 15．(]0,2 【分析】根据一次函数，反比例函数的单调性以及对端点函数值的比较，列出相应不等式，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】函数()f x 是()-∞+∞，上的减函数，则有30202(3)151a a aa ⎧⎪-<⎪>⎨⎪⎪≤-⨯+⎩，解得：(]0,2a ∈故答案为：(]0,2 【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数范围，属于中档题. 16．7 【详解】设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.17．（1）{}{}{},0,1,0,1∅；（2）1,2=-=-p q【分析】（1）解方程可得，集合{}0,1A =，逐一写出A 的子集即可；（2）先求出集合{}1,0,1,2B =-，然后可得{}1,2=-B C A ，再根据根与系数的关系列出式子，求出p 、q 的值.【详解】（1）20x x -=的解为120,=1=x x ，{}0,1∴=A ，∴集合A 的所有子集为：{}{}{},0,1,0,1∅（2）集合{}|12,=-≤≤∈B x x x Z ，∴{}1,0,1,2B =-，又{}0,1=A ， ∴{}1,2=-B C A ，B C C A =，∴1x =-和2x =是方程20x px q ++=两根，12,12∴-+=--⨯=p q ，得1,2=-=-p q .【点睛】本题主要考查子集的定义，补集的运算以及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 18．（1）{x|4≤x≤6}； （2）{m|m 73≤}. 【分析】（1）由题意，先求得集合,A B ，再根据集合的交集的运算，即可得到答案；（2）根据B A ⊆，分,B B φφ=≠两种情况分类讨论，即可求解．【详解】（1）集合A={x|x 2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，当m=3时，B={x|4≤x≤8}．∴A∩B={x|4≤x≤6}．（2）当B=∅时，m+1＞3m-1，解得m ＜1，满足题意；当B≠∅时，由题意13111316m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得17m 3≤≤． 综上知：实数m 的取集合C={m|m 73≤}． 【点睛】本题主要考查了交集的求法，以及根据集合的包含关系求解实数的取值范围问题，其中解答中熟记集合的运算的方法，以及合理分类讨论是解答本题的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用． 19．（1）2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）作图见详解，增区间为：(,1),(1,)-∞-+∞ ，减区间：(1,0),(0,1)- .【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，（2）先画出y 轴右侧图象，左侧部分图象关于原点对称可得到，接着直接写出函数的增减区间.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，设0x <，则0x ->，所以22()()2()323-=----=+-f x x x x x ，()f x 在R 上是奇函数，()()f x f x ∴-=- ， 2()23∴-=+-f x x x ，即2()23f x x x =--+，所以函数()f x 的解析式为2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪==⎨⎪-->⎩（2）图象如下图所示，由图象可知函数的增区间为：(,1),(1,)-∞-+∞ ；减区间：(1,0),(0,1)-【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解析式，以及根据函数解析式画出图象并写出其增减区间.20．（1）120,0100()()0.04124,100600x P f x x N x x *≤≤⎧==∈⎨-+<≤⎩ （2）当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大.【分析】（1）根据自变量x 不同的范围，写出对应的函数解析式；（2）求出分段函数各部分的最大值，比较大小后就能确定函数的最大值.【详解】（1）120,0100()120(100)0.04,100600x P f x x x ≤≤⎧==⎨--⨯<≤⎩即120,0100()()0.04124,100600x P f x x N x x *≤≤⎧==∈⎨-+<≤⎩ （2）设该厂获得的利润为()g x 元，则240,0100()(80)()0.0444,100600x x g x P x x N x x x *≤≤⎧=-⋅=∈⎨-+<≤⎩ ①当0100x ≤≤时，()4000≤g x ；②当100600x <≤时，2()0.04(550)1210012100=--+≤g x x .综上①，②，可知当550x =时，()g x 有最大值12100.所以当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大.【点睛】本题主要考查分段函数在实际问题中的应用.21．（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）增函数，见详解；（3）5x <-或1x >. 【分析】（1）根据条件得到参数的两个方程，解方程组可得到答案；（2）利用函数单调性定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的单调性，得到相应的自变量的大小关系，解不等式得到本题答案.【详解】（1）111111(1)2,(2)22224=++==++=f m f m n n 12m n =⎧∴⎨=⎩（2）证明：设121x x ≤<，则12121212121212121111()()()22221()(1)221()()2-=++-++=---=-f x f x x x x x x x x x x x x x x x 121212121,0,1,21x x x x x x x x ≤<∴-<>∴>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <∴()f x 在[1∞,+）上 单调递增.（3）222121,46(2)22+≥-+=-+≥x x x x∴只需221+246>-+x x x2450∴+->x x ，5∴<-x 或1x >.【点睛】本题主要考查用定义证明函数的单调性以及利用函数单调性解不等式.22．（1）最大值为4，最小值为-5； （2）当m ＞0时，不等式的解集为{x|x ＜-1m或x ＞3}；当m=0时，不等式的解集为{x|x ＞3}；当-1m 03＜＜时，不等式的解集为{x|3，x ＜-1m}；当m=-13时，不等式的解集为∅；当m ＜-13时，不等式的解集为{x|-1m＜x ＜3}； （3）（-∞，-1）∪（-19，0）. 【解析】【分析】（1）当m=1时，函数f （x ）在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，即可求解函数的最值．（2）将不等式()1f x >-，转化为mx 2+（1-3m ）x-3＞0，分类讨论，即可求解不等式的解集；（3）m ＜0时，f （x ）表示开口向下的抛物线，若存在x 1∈（1，+∞），使得f （x 1）＞0，则（1-3m ）2+16m ＞0，可得9m 2+10m+1＞0，即可求解．【详解】（1）当m=1时，函数f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以当x=-2时，f（x）有最大值，且f（x）max=f（-2）=4+4-4=4，当x=1时，f（x）有最小值，且f（x）min=f（1）=-5．（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，当m=0时，解得x＞3，当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和-1m，当m＞0时，-13m＜，不等式的解集为：{x|x＜-1m或x＞3}，当m＜0时，3-（-1m）=3m1m+，∴当m＜-13时，-1m＜3，不等式的解集为{x|-1m＜x＜3}，当m=-13时，不等式的解集为∅，当-1m03＜＜时，3＜-1m，不等式的解集为{x|3＜x＜-1m}，综上所述：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＜-1m或x＞3}；当m=0时，不等式的解集为{x|x＞3}；当-1m03＜＜时，不等式的解集为{x|3＜x＜-1m}；当m=-13时，不等式的解集为∅；当m＜-13时，不等式的解集为{x|-1m＜x＜3}．（3）m＜0时，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x=-13m2m-=3122m-＞1，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，则=（1-3m）2+16m＞0，即9m2+10m+1＞0，解得m＜-1或-1m0 9＜＜，综上所述：m的取值范围是（-∞，-1）∪（-19，0）．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最大值与最小值的和的求法，考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．。

2020-2021学年江苏省盐城中学高一上学期10月第一次阶段性质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,0,1,2,3}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-【答案】A【解析】由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--，{|13}B x x =-<<， 所以{}0,1,2AB =.故选：A. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．不等式(1)0x x +≥的解集为（ ） A ．(,-∞-∞1](0,+) B ．(,1][0,)-∞-+∞ C ．[1,0]-D ．[1,0)-【答案】B【解析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】解：已知不等式(1)0x x +≥，解得：1x ≤-或0x ≥， 所以原不等式的解集为：(,1][0,)-∞-+∞.故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．若0a b >>，则（ ） A ．11a b> B ．01a b<< C ．2ab b >D ．b a a b> 【答案】C【解析】由0a b >>，取特殊值，令3,2a b ==时，分别代入比较即可判断ABD 选项，根据不等式关系的性质，即可判断C 选项. 【详解】解：由题可知，0a b >>，对于A ，令3,2a b ==时，则1132<，则11a b <，故A 选项错误； 对于B ，令3,2a b ==时，则312a b =>，故B 选项错误；对于C ，由于0a b >>，则不等号两边同时乘以正数b ， 由不等式的性质可得2ab b >，故C 选项正确； 对于D ，令3,2a b ==时，则23,32b a a b ==，则b aa b <，故D 选项错误.故选：C . 【点睛】本题考查不等式比较大小和不等式的性质的应用，属于基础题. 4．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ） A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤, 故选B 【点睛】本题考查全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.5．已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是（ ）A ．24B ．C ．5D 【答案】B【解析】利用基本不等式得到23a b +≥.【详解】因为23a b +≥，且23a b +=，≥，解得ab ≥，当且仅当23a b=，即32a b =时取等号，所以ab 的最小值是 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6．设集合M ＝[－2，2]，集合N ＝(,]m -∞，=M N ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【答案】D【解析】根据题意，由=M N ∅，结合交集的定义和运算，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】解：集合M ＝[－2，2]，集合N ＝(,]m -∞，且=MN ∅，2m ∴<-，即实数m 的取值范围是(,2)-∞-.故选：D. 【点睛】本题考查交集的定义和运算，根据交集的结果求参数范围，属于基础题. 7．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.8．已知正数,x y 满足11x y +=，则14y x+的最小值为（ ） A ．9 B ．10C ．6D ．8【答案】A【解析】根据正数,x y 满足11x y +=，利用“1”的代换，将14y x+转化为++=+15414xy xyy x，利用基本不等式求解.【详解】因为正数,x y 满足11x y+=， 所以⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1154591144x xy y xy y y x x ， 当且仅当=14xy xy，即==13,32x y 时，取等号， 所以14y x+的最小值为9故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、多选题9．如果{}2A x x =>-，那么（ ） A ．{}0A ⊆ B ．0A ⊆C ．{}0A ∈D ．A ∅⊆【答案】AD【解析】根据集合与元素、集合与集合关系可直接判断得到结果. 【详解】对于A ，0是集合A 中的元素，则{}0是集合A 的子集，A 正确； 对于B ，元素与集合之间关系不能用包含符号，B 错误； 对于C ，集合与集合之间关系不能用属于符号，C 错误； 对于D ，空集是任意集合的子集，D 正确.故选：AD . 【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，属于基础题.10．已知集合{{|1},A x ax B =≤=，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】AC【解析】由B A ⊆得到满足1ax ≤,列出不等式组即可求得a 的取值范围. 【详解】解：由题可知，{{|1},A x ax B =≤=，且B A ⊆， 则可知A ≠∅,则0a ≠， 因为B ⊆ A ,所以2A A ∈,211a ≤⎧⎪≤,解得:12a ≤, 由选项可得，实数a 的值可能是-1,-2. 故选:AC. 【点睛】本题考查子集的概念,属于基础题.11．（多选）命题“13x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）． A ．9a ≥ B ．11a ≥C ．10a ≥D ．10a ≤【答案】BC【解析】根据不等式恒成立得()2maxa x ≥，再由充分不必要的判断条件得选项.【详解】当该命题是真命题时，只需当13x ≤≤时，()2maxa x ≥．因为13x ≤≤时，2yx 的最大值是9，所以9a ≥．因为910a a ≥⇒≥，109a a ≥⇒≥， 又911a a ≥⇒≥，119a a ≥⇒≥， 故选BC ． 【点睛】本题考查不等式恒成立的条件和充分不必要条件的判断，属于基础题.12．下列命题为真命题的有（ ） A ．“0,0a b ≥≥”是“2()2a b ab +≤”的充分不必要条件； B ．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件； C ．函数2y ax x a =++有唯一零点的充要条件是12a =±； D ．a R x R ∀∈∃∈，，使得2>ax 【答案】AB【解析】AB 选项根据充分、必要条件的定义进行判断，CD 选项用特殊值进行判断. 【详解】A 选项，当“0,0a b ≥≥”时，20≥，即0a b -≥，2a b +≤，两边平方得2()2a b ab +≤，当且仅当a b =时等号成立. 当“2()2a b ab +≤”时，可以取1,0a b =-=，此时不符合“0,0a b ≥≥”. 综上所述，“0,0a b ≥≥”是“2()2a b ab +≤”的充分不必要条件，A 选项正确. B 选项，依题意0,0a b >>.结合A 选项可知，当4a b +≤即04a b <+≤时，()22164244a b a b ab ++⎛⎫≤=≤= ⎪⎝⎭. 当4ab ≤即04<≤ab 时，可取18,2a b ==，此时不符合4a b +≤. 综上所述，若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件，B 选项正确. C 选项，当0a =时，y x =有唯一零点，故C 选项错误. D 选项，当0a =时，02ax =<，故D 选项错误. 故选：AB 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件，考查不等式的性质，考查全称量词与存在量词.三、填空题13．若13,42a b <<-<<，那么+a b 的取值范围是______. 【答案】(3,5)-【解析】直接利用不等式的加法性质求解. 【详解】因为13,42a b <<-<<， 所以35a b -<+<，所以+a b 的取值范围是(3,5)-， 故答案为：(3,5)- 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.14．若1a >，则关于x 的不等式()()110ax x --<的解集为____________.【答案】1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据1a >，将关于x 的不等式()()110ax x --<，转化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭求解. 【详解】 因为1a >，则关于x 的不等式()()110ax x --<， 可等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，且11a<， 所以11x a<<， 所以关于x 的不等式()()110ax x --<的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题.15．设2()3.f x x x a =-+若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】(0，94] 【解析】试题分析：若()f x 有零点1：1302a a -+=⇒=，此时11x =，22x =，符合题意；若()f x 有零点3：9900a a -+=⇒=，此时10x =，23x =，不合题意；若()f x 无零点1，3：①只有一个零点在(1,3)内：(1)(3)002f f a <⇒<<；②若两个零点均在(1,3)内：(1)0(3)09{294043132f f a a >>⇒<≤∆=-≥<<，综上所述，实数a 的取值范围是9(0,]4． 【考点】二次函数的零点分布．【思路点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴2bx a=-与区间端点的关系． 16．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式222()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3【解析】因式分解求222()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于x 的不等式222()x b a x ->即()222120a x bx b -+-<, ,化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以10,1a a ->>.∴不等式的解集为11b b x a a -<<-+,因为01b a <<+所以011ba<<+,所以解集里的整数是2,1,0--三个.∴321ba -≤-<--,∴321ba -≤-<--化简得2233a b a -<≤-, ∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.四、解答题17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B ．【答案】∁U A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，A ∩B ＝{x |－2<x <3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≥3或x ≤－2}，(∁U A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}.【解析】根据补集定义、交集定义逐一求解，即得结果. 【详解】解：∵U ＝R ，A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}， ∴∁U A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－2<x <3}， ∁U (A ∩B )＝{x |x ≥3或x ≤－2}，(∁U A )∩B ＝{x |x ≥3或x ≤－2}∩{x |－3<x ≤3}＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}. 【点睛】本题考查补集与交集混合运算，考查基本求解能力，属基础题.18．设m 为实数，函数2(1)1y m x mx m =+-+-，分别根据以下条件求实数m 的取值范围.（1）方程0y =有实根； （2）不等式0y >的解集为∅.【答案】（1）m ⎡∈⎢⎣⎦；（2）,m ⎛∈-∞ ⎝⎦. 【解析】结合二次函数与一元二次方程的关系判断即可 【详解】（1）方程0y =有实根，则满足对应的0∆≥，即()()2104110m m m m +≠⎧⎨-+-≥⎩，解得33m ⎡∈-⎢⎣⎦，当10m +=时，显然有解，故,33m ⎡∈-⎢⎣⎦；（2）不等式0y >的解集为∅等价于2(1)10y m x mx m =+-+-≤恒成立，则满足()()2104110m m m m +<⎧⎨∆=-+-≤⎩，解得,3m ⎛∈-∞- ⎝⎦【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系，属于基础题19．设关于x 的不等式254x x ≤-的解集为A ，不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈的解集为B ．（1）求集合A ，B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}14A x x =≤≤，当2a >时，{}2B x x a =≤≤；当2a =时，{2}B =；当2a <时，{}2B x a x =≤≤；（2）14a ≤≤.【解析】（1）利用一元二次不等式的解法，即可求得A ，将不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈因式分解，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案；（2）根据题意可得B A ⊆，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案. 【详解】（1）不等式254x x ≤-，整理得2540x x -+≤，即(1)(4)0x x --≤， 解得14x ≤≤，所以{}14A x x =≤≤.不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈，整理得()(2)0x a x --≤， 当2a >时，解得2x a ≤≤，所以解集为{}2B x x a =≤≤； 当2a =时，解集为{2}B =；当2a <时，解得2a x ≤≤，所以解集为{}2B x a x =≤≤.（2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，即B A ⊆，当2a >时，{}2B x x a =≤≤，所以4a ≤，即24a <≤；当2a =时，{2}B =，满足题意；当2a <时，{}2B x a x =≤≤，所以1a ≥，即12a ≤<，综上14a ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分、必要条件等知识，考查分析理解，分类讨论，计算化简的能力，属中档题.20．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km )的关系为(08)35k p x x =≤≤+,若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f (x )为建造宿舍与修路费用之和.(1)求f (x )的表达式(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小并求最小值.【答案】（1）800()56,0835f x x x x =++≤≤+ （2）宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元.【解析】(1)先代入数据计算800k =，再把两部分费用相加得到答案.(2)先变形800()2(35)535f x x x =++-+,再利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）根据题意，距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元 100800315k k =∴=⨯+ 800()56,0835f x x x x ∴=++≤≤+ （2）800()2(35)58057535f x x x =++-≥-=+ 当且仅当8002(35)35x x =++即5x = 时min ()75f x = 【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力. 21．已知命题1:23a p -<；命题q ：集合{}2(2)10A x x a x =+++=，{}0B x x =≥且A B =∅.求实数a 的取值范围，使命题p ，q 均为真命题.【答案】(4,7)-【解析】根据题意，由p 为真命题求出57a -<<，再假设q 为真命题，结合{}2(2)10A x x a x =+++=，对于2(2)10x a x +++=，分类讨论当∆<0和0∆≥时，根据一元二次方程的性质，求出a 的取值范围，最后综合分析即可得出结果.【详解】解：先假设p 为真命题，由123a -<，解得：57a -<<； 再假设q 为真命题，由于q ：{}2(2)10A x x a x =+++=，{}0B x x =≥， 对于2(2)10x a x +++=，①当∆<0时，则2(2)40a +-<，解得：40a ， 此时A =∅，则A B =∅，符合题意；②当0∆≥时，由A B =∅，则21212Δ(2)40(2)010a x x a x x ⎧=+-≥⎪+=-+<⎨⎪=>⎩，解得：0a ≥；由①②可知4a >-，综上所述，当a 的范围是(4,7)-时，p 、q 均为真命题.【点睛】本题考查命题真假性的应用，以及根据交集的定义和运算从而求参数范围，还涉及一元二次方程的应用，考查转化思想和分类讨论思想.22．设关于x 的不等式2310()ax ax a R -+≤∈的解集为A ，集合2{|0}1x B x x -=≤-， （1）若对任意的x A ∈，都有x B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若对任意1x R ∈，存在2x B ∈，使不等式2211221223x x x x x mx ++≥++成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）102a ≤<；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）转化条件得A B ⊆，(]1,2B =，按照0a =、0a <、0a >分类，结合方程根的情况即可得解；（2）由一元二次不等式恒成立可得存在2(1,2]x ∈，使不等式2223(44)160x m x ---≥成立，设2222()3(44)16h x x m x =---，则只需(1)0h >或(2)0h ≥即可得解.【详解】（1）若对任意的x A ∈，都有x B ∈，则A B ⊆，(]20=1,21x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭， 当0a =时，A =∅，符合题意；当0a <时，方程2310()ax ax a R -+≤∈的判别式2940a a =->∆，两根12x x ==，12x x >，则339,22a a A a a ⎛⎡⎫+-=-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，不合题意； 当0a >时，若2940a a =-<∆，即409a <<时，A =∅，符合题意； 若2940a a =-≥∆，即49a ≥时， 方程两根123322a a x x a a==，12x x ≤， 则A x ⎧⎪=≤≤⎨⎪⎪⎩⎭， 则当A B ⊆时，1212x x <≤≤，由于231y ax ax =-+的对称轴为32x =， 则当1x =时，2310y ax ax =-+>即310a a -+>，所以4192a ≤<； 综上所述，102a ≤<； （2）由题意不等式2212122(2)30x x x x mx +-+--≥在1x R ∈上恒成立，所以22222(2)4(3)0x x mx ∆=----≤，即2223(44)160x m x ---≥，所以存在2(1,2]x ∈，使不等式2223(44)160x m x ---≥成立，设2222()3(44)16h x x m x =---，则只需(1)0h >或(2)0h ≥，即3(44)160m --->或122(44)160m ---≥， 所以94m <-或12m ≤， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了集合间关系的应用及一元二次不等式恒成立问题的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.。

2020-2021江苏省盐城市某校高一（上）11月月考数学试卷一、选择题)1. 若A ={0, 1, 2, 3}，B ={y|y =2x, x ∈A}，则A ∪B =( )A.{0, 2, 4, 6}B.{0, 2}C.{0, 1, 2, 3, 4, 6}D.{0, 1, 2, 3, 0, 2, 4, 6}2. 函数y =x 2−1的零点是( )A.1B.±1C.(1,0)D.(±1,0)3. 函数f (x )={x +2，x ≤−1，x 2，−1<x <2，2x ，x ≥2，若f (x )=5，则x 的值是( )A.3B.√5C.±√5D.524. 当x >3时， x +8x−3的最小值是( )A.3B.4C.3+4√2D.3−4√25. 已知p ：m −1<x <m +1，q ：(x −2)(x −6)<0，且q 是p 的必要条件，则实数m 的取值范围为( )A.3<m <5B.3≤m ≤5C.m >5或m <3D.m >5或m ≤36. 设一元二次不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <13}，则a +b =( )A.−5B.5C.6D.−67. 设a ，b ，c ∈R ，且a <b ，则( )A.ac <bcB.1a >1bC.a 2<b 2D.a 3<b 38. 函数f(x)=x 2−4x +5在区间[0, m]上的最小值为1，最大值为5，则m 的取值范围是( )A.[2, +∞)B.[2, 4]C.(0, 4]D.(0, 2]二、多选题)9. 下列函数中，奇函数有( )A.f(x)=x 3B.f(x)=x +1xC.f(x)=x −2D.f(x)=|x |x10. 下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是( )A.f (x )=x 2+2xB.f (x )=|x +3|C.f (x )=−5x+1D.f (x )=1−(12)x11. 已知实数a ，b 满足等式(12)a =(13)b ，则下列4个不等式中不可能成立的是( ) A.0<b <aB.a <b <0C.0<a <bD.b <a <012. 关于函数f (x )=√−x 2+2x +3，下列说法正确的有( )A.f (x )的定义域为(−1,3)B.f (x )的最大值为2C.f (x )没有最小值D.f (x )的单调增区间为(−1,1)三、填空题)13. 命题“∃x <1，e x ≤1”的否定是________.14. 幂函数y =x −25的定义域为________.（用区间表示）15. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=xe x −1，那么x ≤0时，f(x)=________.16. 函数f (x )=4x −2x+1+10的最小值是________.四、解答题)17. 计算：(1)计算：(614)−12+(6√2)0−(−27)13；(2)化简：ln 1−√(−3)2+823+lg 25+lg 4.18. 如图是一个二次函数y =f (x )的图象．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当实数k在何范围内变化时，g(x)=f(x)−kx在区间[−2,2]上是单调递减函数．19. 已知函数f(x)=a x−b x(a>0, b>0)，且f(1)=6，f(2)=72．(1)求a，b的值；(2)若x∈[−2,1]，求f(x)的最小值.20. 设a>0，f(x)=2xa −a2x是R上的奇函数．(1)求a的值；(2)证明：f(x)在R上为增函数；(3)解不等式：f(1−m)+f(1−m2)<0．21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．22. 已知函数f(x)=ax2+bx，x∈R.(1)若方程f(x)=0有两个实根分别是0和2，且函数f(x)的图象经过点(1,1)，求函数f(x)的解析式；(2)若a=2时，函数f(x)在区间[−2,0]上不单调，求实数b的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，n使得函数f(x)的定义域和值域都是[m,n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021江苏省盐城市某校高一（上）11月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】示出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．【解答】解：∵ A ={0, 1, 2, 3}，B ={y|y =2x, x ∈A}，∴ B ={0, 2, 4, 6}．∴ A ∪B ={0, 1, 2, 3, 4, 6}．故选C .2.【答案】B【考点】函数的零点函数的零点与方程根的关系【解析】首先使得函数等于0，解出关于x 的一元二次方程的解，即可得到函数的零点.【解答】解：令y =x 2−1=0，解得x =1或−1，∴ 函数y =x 2−1的零点为±1.故选B .3.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】根据分段函数解析式，分三种情况解方程即可得到答案.【解答】解：函数f (x )={x +2，x ≤−1，x 2，−1<x <2，2x ，x ≥2，当x ≤−1时，x +2=5，解得x =3，不满足x ≤−1，舍去；当−1<x <2时，x 2=5，解得x =±√5，不满足−1<x <2，舍去；当x ≥2时，2x =5，解得x =52，满足x ≥2.综上所述，x =52.故选D .4.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据题中所给表达式的结构，构造积为定值，运用基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：∵ x >3，∴ x −3>0，∴ x +8x−3=x −3+8x−3+3 ≥2√(x −3)×8x−3+3=4√2+3，当且仅当“x −3=8x−3”，即x =3+2√2时取等号，∴ x +8x−3的最小值是3+4√2．故选C .5.【答案】B【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先解(x −2)(x −6)<0得2<x <6，而根据q 是p 的必要不充分条件便得到{m −1≥2m +1≤6，解该不等式组即得m 的取值范围．【解答】解：由题易得，p ：m −1<x <m +1，q ：2<x <6，∵ q 是p 的必要条件，即由p 能得到q ，∴ {m −1≥2，m +1≤6，∴ 3≤m ≤5，∴ m 的取值范围是[3, 5]．故选B .6.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法根与系数的关系【解析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出．【解答】解：∵ 一元二次不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|−1<x <13}， ∴ −1，13是方程ax 2+bx +1=0的两个实数根，且a <0．∴ {a −b +1=0,19a +13b +1=0,a <0,解得{a =−3,b =−2,∴ a +b =−5．故选A .7.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】由a <b ，利用不等式的基本性质及其函数y ＝x 3在R 上单调递增即可判断出结论．【解答】解：当c =0时，ac =bc ，故A 错误；当a 为负数，b 为正数时，1a <1b ，故B 错误；当a ，b 均为负数时，a 2>b 2，故C 错误；利用函数y =x 3在R 上单调递增，可得：a 3<b 3，故D 正确．故选D .8.【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】先用配方法找出函数的对称轴，明确单调性，找出取得最值的点，得到m 的范围．【解答】解：函数f(x)=x 2−4x +5可化为f(x)=(x −2)2+1，∵ 对称轴为x =2，∴ f(2)=1，f(0)=f(4)=5.又∵ 函数f(x)=x 2−4x +5在区间[0, m]上的最大值为5，最小值为1，∴ m 的取值为[2, 4].故选B ．二、多选题9.【答案】A,B,D【考点】函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的定义，逐个判断即可.【解答】解：A ，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f(−x)=(−x )3=−x 3=−f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故A 正确；B ，函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，又f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，故B 正确；C ，函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，又f(−x)=(−x )−2=x −2=f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故C 错误；D ，函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，又f(−x)=|−x|−x =−|x|x =−f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故D 正确.故选ABD .10.【答案】A,B,C,D【考点】函数的单调性及单调区间【解析】分别确定各函数的单调增区间，即可判断.【解答】解：A ，∵ 函数f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1的单调递增区间为(−1,+∞)， ∴ 函数f (x )在(0,+∞)上为增函数，故A 正确；B ，∵ 函数f(x)=|x +3|的单调递增区间为(−3,+∞)，∴ 函数f (x )在(0,+∞)上为增函数，故B 正确；C ，∵ 函数f(x)=−5x+1的单调递增区间为(−∞,−1)，(−1,+∞)，∴ 函数f (x )在(0,+∞)上为增函数，故C 正确；D ，∵ 函数f(x)=1−(12)x的单调递增区间为R ，∴ 函数f (x )在(0,+∞)上为增函数，故D 正确.故选ABCD .11.【答案】C,D【考点】指数函数的图象与性质【解析】画出函数y =(12)x 与y =(13)x 的图象，讨论a ，b 的范围，利用(12)a =(13)b得到a ，b 的大小关系.【解答】解：画出函数y =(12)x 与y =(13)x 的图象，当x <0时，y =(12)x 的图象在y =(13)x的图象下方， 当x >0时，y =(12)x 的图象在y =(13)x 的图象上方， 所以当a <0，b <0时，由(12)a =(13)b 可得a <b <0；当a =b =0时，(12)a =(13)b 成立； 当a >0，b >0时，由(12)a =(13)b 可得a >b >0. 故不可能成立为选项为CD .故选CD .12.【答案】B,D【考点】函数的最值及其几何意义函数的定义域及其求法复合函数的单调性【解析】利用函数的定义域，最大最小值求法判断ABC ，再利用复合函数单调性判断D ，即可得到答案.【解答】解：由−x 2+2x +3≥0可得x 2−2x −3≤0，解得−1≤x ≤3，即函数的定义域为[−1,3]，故A 错误；由二次函数的性质可知，y =√−x 2+2x +3=√−(x −1)2+4，∴ 当x =1时，f (x )有最大值为2，故B 正确；当x =−1或3时，f (x )有最小值为0，故C 错误；函数t =−x 2+2x +3的对称轴为x =1，抛物线开口向下，单调递增区间为(−1,1)， y =√t 在t ∈[0,+∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为(−1,1)，故D正确.故选BD.三、填空题13.【答案】∀x<1，e x>1【考点】命题的否定【解析】由题意，命题“∃x∈1，e x≤1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可. 【解答】解：∵命题“∃x<1，e x≤1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题，∴命题“∃x<1，e x≤1”的否定为“∀x<1，e x>1”.故答案为：∀x<1，e x>1．14.【答案】(−∞, 0)∪(0, +∞)【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式x2>0，求出解集即可．【解答】解：∵幂函数y=x−25=√x25，∴x2>0，解得x≠0，∴幂函数y=x−25的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)．故答案为：(−∞, 0)∪(0, +∞)．15.【答案】{0，x=0.xe−x+1，x<0.【考点】函数奇偶性的性质【解析】先得到f(0)=0；再设x<0，则−x>0，再由x>0时，f(x)=xe x−1，可得f(−x)=−xe−x−1，最后由f(x)是奇函数得到结论．【解答】解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0.设x<0，则−x>0，∴f(−x)=−xe−x−1.又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=−f(−x)=xe−x+1，∴ 当x ≤0时，f (x )={0，x =0，xe −x +1，x <0.故答案为：{0，x =0，xe −x+1，x <0.16.【答案】 9【考点】指数函数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令2x =t ，t >0，则f (x )=4x −2x+1+10=t 2−2t +10=(t −1)2+9≥9， ∴ 函数f (x )=4x −2x+1+10的最小值是9. 故答案为：9. 四、解答题 17.【答案】 解：(1)原式=(254)−12+1−(−3)=25+1+3 =425=225.(2)原式=0−3+√823+lg (25×4) =0−3+√643+lg 100 =0−3+4+2 =3.【考点】 分数指数幂 对数的运算性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)原式=(254)−12+1−(−3)=25+1+3 =425=225.3+lg(25×4)(2)原式=0−3+√823+lg100=0−3+√64=0−3+4+2=3.18.【答案】解：(1)设y=f(x)=a(x+1)2+4，又f(1)=0，∴ 4a+4=0，解得a=−1，∴y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3．(2)由题意得，g(x)=−x2−(2+k)x+3，.对称轴为直线x=−k+22∵g(x)在[−2,2]上是单调递减函数，∴−k+2≤−2，2解得k≥2，∴实数k的取值范围为[2,+∞)．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设y=f(x)=a(x+1)2+4，又f(1)=0，∴ 4a+4=0，解得a=−1，∴y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3．(2)由题意得，g(x)=−x2−(2+k)x+3，.对称轴为直线x=−k+22∵g(x)在[−2,2]上是单调递减函数，∴−k+2≤−2，2解得k≥2，∴实数k的取值范围为[2,+∞)．19.【答案】解：(1)∵f(1)=a−b=6，①f(2)=a2−b2=(a+b)(a−b)=6(a+b)=72，∴ a+b=12，②联立①②，解得a=9，b=3.(2)由(1)可知，f(x)=9x−3x=(3x)2−3x．令t=3x，∵x∈[−2, 1]，∴t∈[19,3]．于是(3x)2−3x=t2−t=(t−12)2−14，当t=12，即3x=12，x=log312时，函数f(x)取得最小值−14．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义【解析】(Ⅰ)依题意，建立关于a，b的方程，解出即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)求得f(x)的解析式，换元后由二次函数的性质即可得解．【解答】解：(1)∵f(1)=a−b=6，①f(2)=a2−b2=(a+b)(a−b)=6(a+b)=72，∴ a+b=12，②联立①②，解得a=9，b=3.(2)由(1)可知，f(x)=9x−3x=(3x)2−3x．令t=3x，∵x∈[−2, 1]，∴t∈[19,3]．于是(3x)2−3x=t2−t=(t−12)2−14，当t=12，即3x=12，x=log312时，函数f(x)取得最小值−14．20.【答案】(1)解：∵f(x)=2xa −a2x是R上的奇函数，∴f(0)=0，即1a−a=0，解得：a=±1.∵a>0，∴a=1.(2)证明：由(1)知f(x)=2x−12x，任取x1，x2∈R，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=(2x1−12x1)−(2x2−12x2)=(2x1−2x2)+2x1−2x2 2x12x2=(2x1−2x2)(1+12x12x2).∵x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1−2x2<0，1+12x12x2>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数.(3)解：∵f(1−m)+f(1−m2)<0，即f(1−m)<−f(1−m2).又∵f(x)是R上的奇函数，∴−f(1−m2)=f(m2−1)，∴f(1−m)<f(m2−1).又∵f(x)是R上的增函数，∴1−m<m2−1，即m2+m−2>0，解得：m>1或m<−2，∴解集为{m|m>1或m<−2}．【考点】奇函数函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合一元二次不等式的解法【解析】（1）f(x)是R上的奇函数，得f(0)=0，求出a的值；（2）用单调性的定义证明f(x)在R上是增函数；（3）由f(x)是R上的奇函数，且是增函数，把不等式化为1−m<m2−1，从而求出m的取值范围．【解答】(1)解：∵f(x)=2xa −a2x是R上的奇函数，∴f(0)=0，即1a−a=0，解得：a=±1.∵a>0，∴a=1.(2)证明：由(1)知f(x)=2x −12x，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−12x 1)−(2x 2−12x 2) =(2x 1−2x 2)+2x 1−2x 22x 12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 12x 2). ∵ x 1<x 2，∴ 0<2x 1<2x 2，∴ 2x 1−2x 2<0，1+12x 12x 2>0， ∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上是增函数.(3)解：∵ f(1−m)+f(1−m 2)<0， 即f(1−m)<−f(1−m 2). 又∵ f(x)是R 上的奇函数， ∴ −f(1−m 2)=f(m 2−1)， ∴ f(1−m)<f(m 2−1). 又∵ f(x)是R 上的增函数， ∴ 1−m <m 2−1， 即m 2+m −2>0，解得：m >1或m <−2，∴ 解集为{m|m >1或m <−2}． 21.【答案】解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)=60；当20<x ≤200时，设v(x)=ax +b ， 再由已知得{200a +b =0,20a +b =60,解得{a =−13,b =2003, 故函数v(x)的表达式为v(x)={60，0≤x <20,13(200−x)，20≤x ≤200.(2)依题并由(1)可得f(x)={60x ，0≤x <20,13x(200−x)，20≤x ≤200,当0≤x <20时，f(x)为增函数，故当x =20时，其最大值为60×20=1200； 当20≤x ≤200时，f(x)=13x(200−x)≤13[x+(200−x)2]2=100003，当且仅当x =200−x ，即x =100时，等号成立． 所以，当x =100时，f(x)在区间(20, 200]上取得最大值100003．综上所述，当x =100时，f(x)在区间[0, 200]上取得最大值为100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数模型的选择与应用【解析】（1）根据题意，函数v(x)表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v(x)在20≤x ≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（2）先在区间(0, 20]上，函数f(x)为增函数，得最大值为f(20)=1200，然后在区间[20, 200]上用基本不等式求出函数f(x)的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0, 200]上的最大值．【解答】解：(1) 由题意：当0≤x ≤20时，v(x)=60；当20<x ≤200时，设v(x)=ax +b ， 再由已知得{200a +b =0,20a +b =60,解得{a =−13,b =2003,故函数v(x)的表达式为v(x)={60，0≤x <20,13(200−x)，20≤x ≤200.(2)依题并由(1)可得f(x)={60x ，0≤x <20,13x(200−x)，20≤x ≤200,当0≤x <20时，f(x)为增函数，故当x =20时，其最大值为60×20=1200； 当20≤x ≤200时，f(x)=13x(200−x)≤13[x+(200−x)2]2=100003，当且仅当x =200−x ，即x =100时，等号成立． 所以，当x =100时，f(x)在区间(20, 200]上取得最大值100003．综上所述，当x =100时，f(x)在区间[0, 200]上取得最大值为100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 22.【答案】解：(1)f(x)=ax 2+bx =x(ax +b). ∵ 2为f(x)的一个实根， ∴ 4a +2b =0.①又f(1)=a +b =1，② 联立①②解得：{a =−1，b =2，∴ f(x)=−x 2+2x .(2)由题意得，f(x)=2x 2+bx ， 对称轴为直线x =−b4.∵ 函数f (x )在区间[−2,0]上不单调， ∴ −2<−b 4<0，即0<b <8.(3)由(1)知，f(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，对称轴为x=1，函数开口向下，f(x)max=f(1)=1，∴n≤1.∵f(x)在[m,n]上单调递增，f(m)=m，f(n)=n，∴−m2+2m=m，−n2+2n=n，∴m=0或1，n=0或1.又m<n，n≤1，∴m=0，n=1.此时函数的定义域和值域都是[0,1].【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的单调性及单调区间函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)=ax2+bx=x(ax+b).∵2为f(x)的一个实根，∴4a+2b=0.①又f(1)=a+b=1，②联立①②解得：{a=−1，b=2，∴f(x)=−x2+2x.(2)由题意得，f(x)=2x2+bx，对称轴为直线x=−b4.∵函数f(x)在区间[−2,0]上不单调，∴−2<−b4<0，即0<b<8.(3)由(1)知，f(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，对称轴为x=1，函数开口向下，f(x)max=f(1)=1，∴n≤1.∵f(x)在[m,n]上单调递增，f(m)=m，f(n)=n，∴−m2+2m=m，−n2+2n=n，∴m=0或1，n=0或1.又m<n，n≤1，∴m=0，n=1.此时函数的定义域和值域都是[0,1].。

2019-2020学年江苏省盐城中学高三（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、填空题（本大题共14小题）1.己知集合，0，，则______2.设幂函数的图象经过点，则______．3.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．4.函数的定义域为______．5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．6.已知等差数列的前n项和为，，，则的值为______．7.定义在R上的奇函数，当时，，则______．8.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为______ ．9.设向量，，则“”是“”成立的______ 条件选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．10.已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______11.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则______．12.若函数，在区间上有两个零点，则实数a的范围为______．13.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知，且且角A为锐角，则m的取值范围是______．14.己知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合，集合B为函数的值域，集合，命题p：；命题q：．若命题p为假命题，求实数a的取值范围；若命题为真命题，求实数a的取值范围．16.中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．求的值；若，求面积的最大值．17.在中，，，，D是边BC上一点，．求的值；若，求t的值．18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．设，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是元．若桥面线段AD、BE和弧的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；当为何值时，桥面修建总费用W最低？19.已知函数．当时，求函数在处的切线方程；当时，证明：函数只有一个零点；若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围．20.已知正项数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，0，，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：根据幂函数的定义，可得，图象经过点，可得：解得：那么：故答案为：．根据幂函数的图象及性质求解．本题考查了幂函数的图象及性质．属于基础题．3.【答案】【解析】解：命题“，”是真命题，．，则实数a的取值范围是：．故答案为：．命题“，”是真命题，可得．本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】【解析】解：由题意可得，，，，，，故答案为：．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】24【解析】解：在等差数列中，设首项为，公差为d，由，，得，解得：．．故答案为：24．由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．7.【答案】【解析】解：是奇函数，，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8.【答案】【解析】解：函数的最大值为2，最小正周期，，，函数，由，，解得：，，当时，函数在上的单调增区间：．故答案为：．求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．9.【答案】必要不充分【解析】解：若，则，即，即，则或，故”是“”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，设，则，在区间上，，即在上为增函数，故在有最小值，没有最大值，若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，即在上恒成立，必有，故a的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数可得，设，求出的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得在上为减函数，在上为增函数，据此可得故在有最小值；进而分析可得若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，据此分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．11.【答案】【解析】解：过C作于F，则四边形AFCD是矩形，，，又，．为BC中点，，．故答案为：．根据求出AC，用表示出，从而得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：当时，，函数是减函数，时，是增函数，在区间上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得．故答案为：．利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a的范围．本题考查函数的零点的判断，分段函数的应用，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，又．．，又由，可得，，即m的取值范围是故答案为：由已知利用正弦定理可得：，且，进而利用余弦定理、不等式的解法即可求解．本题考查了正弦定理、余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，恒成立，则，即恒成立，所以，在上恒成立，时显然不满足条件，当时，恒成立，则在上恒成立，即恒成立，令，则，显然，当时，函数取得最小值为，；当时，在上恒成立，当，即时，恒成立，则，解得，当，即时，恒成立，则，解得，故，综上，实数t的取值范围是．故答案为：．利用导数可得，则在上恒成立，且时显然不满足条件，再以及两种情况讨论即可．本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，同时注意在分类的时候保证不重不漏，本题属于中档题．15.【答案】解：，，，由命题p为假命题可得命题为真命题命题，q都为真命题即且．解可得【解析】由题意可得，，，由命题p为假命题可得，可求a由题意可得且，结合集合之间的基本运算可求a的范围本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．16.【答案】解：．在中，，可得：，由余弦定理可得，即有，当且仅当时，取得等号，则面积，即有时，的面积取得最大值．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．17.【答案】解：．，，．．，．，，即，解得．【解析】用表示，代入数量积公式计算；求出，，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．本题考查了平面向量的数量积运算，用表示出其他向量是关键．18.【答案】解：设C为弧AB的中点，连结OA，OC，则具体如下图：在中，．又，弧AC长为．当时，；当时，．．，．根据，可设，则．令，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低．【解析】本题第题根据题意结合图形，解直角三角形求出AD，利用弧长公式求出弧AC，即可列出总费用算式；第题在第题找到W关于的函数关系式的基础上构造函数，对进行求导分析，即可找到的值．本题主要考查理解题意能力，解直角三角形，弧长公式的应用，构造函数法，对函数进行一阶导数分析，以及数学计算能力．本题属中档题．19.【答案】解：当时，，，，切线方程为．，令，则，当时，，在上单调递减，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故函数只有一个零点．由可知，当时，的极大值为0，符合题意，当时，若，，单调递增，若，，单调递减，又，，因为，则，，所以，当时，单调递减，，所以即，故存在，满足，当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，又时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故是函数唯一极大值点，且符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，又，故，从而在上单调递减，没有极值；不符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，且，，令，则，故在上单调递减，从而有，所以即，因为，故存在满足，当时，函数单调递增，当，函数单调递减，故是函数唯一极小值点，是函数唯一极大值点，，不符合题意，综上可得，．【解析】根据导数的几何意义即可求解，先对函数求导，，结合单调性即可求解，结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．20.【答案】解：当时，由得，，得，当时，由得，，两式相减得，，即，数列各项均为正数，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列的通项公式为；由知，，，，令，则，是单调递增函数，数列递增，，又，的取值范围为；，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，又，，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．。

江苏省盐城市第一中学2020年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A． 2 B．C．2D．4参考答案：D考点：平面图形的直观图．专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故选D．3. 已知，，直线，若直线过线段AB的中点，则a=（）A. -5B. 5C. -4D. 4参考答案：B【分析】根据题意先求出线段的中点，然后代入直线方程求出的值.【详解】因为，，所以线段的中点为，因为直线过线段的中点，所以，解得.故选【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单.4. 三个数a=0.32，之间的大小关系是( )A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用幂函数、指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log31=0，c=20.3＞20=1．∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．5. 直线:,圆:,与的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定参考答案：A由圆，即，表示以为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线的距离为，所以直线和圆相交，故选A.6. 已知△ABC，若对?t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长BC到D，使BD=2BC，并连接DA，从而可以得到，在直线BC上任取一点E，满足，并连接EA，从而可以得到，这样便可得到，从而有AD⊥BD，这便得到∠ACB为钝角，从而△ABC为钝角三角形．【解答】解：如图，延长BC到D，使BD=2BC，连接DA，则：，；设，则E在直线BC上，连接EA，则：；∵；∴；∴AD⊥BD；∴∠ACD为锐角；∴∠ACB为钝角；∴△ABC为钝角三角形．故选：C．7. 已知函数，其图象上两点的横坐标，满足,且,则有 ( )A． B． C． D．大小不确定参考答案：C8. 下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是（）A．f(x)=x，g(x)=()2B．f(x)=1，g(x)=x0C．f(x)=|x|，g(x)= D．f(x)=|x|，g(x)=参考答案：C9. 在等差数列中，若前5项和，则等于（）A．4 B．－4 C．2 D．－2参考答案：A略10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，3个矩形颜色都不同的概率是（）A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. “或”是“”成立的______________条件.参考答案：必要不充分12. sin15︒cos15︒的值等于 .参考答案：13. 求值：= ．参考答案：﹣【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得要求式子的值．【解答】解： =arcsin （﹣）=﹣arcsin =﹣，故答案为：﹣．14. 已知函数为奇函数，若，则__________．参考答案：略15. 已知||=2,||=3,=－1，那么向量与的夹角为＝参考答案：12016. 是方程的两实数根；,则是的条件参考答案：充分条件17. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若∥，则平行于内的所有直线；③若，且∥，则∥；④若，，则⊥；其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。