大学高等数学经典课件5-2

章节 第五章 定积分

§1 定积分的概念与性质 课时 2

教

学

目

的 掌握定积分的概念，性质及中值定理

教学

重点

及

突出

方法 定积分的概念，性质及中值定理

教学

难点

及

突破

方法 定积分的概念，性质及中值定理

相关

参考

资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社

《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教

学

过

程 教学思路、主要环节、主要内容

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？

我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0

定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

授课单元5教案

多元函数微分学

(2)偏导数和全微分 授课学时 5

单元教学

目标 知识目标 1、理解偏导数概念，掌握二元函数的一、二阶偏导数的求法；

2、了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的全微分；

3、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；

掌握隐函数的一阶偏导数的求法。

能力目标 理解偏导数的概念（实际上就是一元函数的导数）。

主要教学

知识点 1、偏导数的定义及计算，高阶偏导数的概念及计算

2、二元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件

3、多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式 教学难点 二元函数复合函数偏导数,隐函数偏导数求解

教材处理 基本概念以教材一致，例题有调整 参考资料 《高等数学》，侯风波主编， 高等教育出版社。

《分层数学》，李德才主编， 北京交通大学出版社。

教学资源 1）教材： 2）课件3）参考书

教学方法与手段 讲练结合 考核

评价点 二元函数复合函数偏导数、隐函数偏导数求解、全微分的计算,高阶偏导数求解

教学内容

第2节多元函数的偏导数 一、引入新课

1. 一元函数的导数定义：0000()()limlimxxfxxfxyxx，显然有函数()yfx在点0x的某个邻域内有定义。记作：0000()'() '| | |xxxxxxdydfxfxydxdx或

2. 二元函数的极限概念：

00lim(,)(,)xyfxyAfxyAxy或00,)yyx当(x

二、新授课

一、多元函数的偏导数

1、二元函数偏导数的定义 设二元函数，，如果在点存在导数， 则称 f (x, y)在点关于x可导，并称此导数为 f (x, y)在点关于x的偏导数，记作

或 ，

即 ，

其中称为u关于x的偏改变量．

高等数学一第5章课后习题详解

课后习题全解

习题5-1

★★1.利用定积分的定义计算由抛物线21yx，直线xa，xb()ba及横轴所围成的图形的面积

知识点：定积分的定义及几何意义

思路：根据求定积分的三步骤做

解:将,ab分成n等分,取(1,2,)iin为第i个小区间1[(),()]iiabaabann的右端点,则,ibaxn ,ibaain

显然, 0,n于是根据定积分的几何意义,该图形面积

00lim()nbiiaiAydxyx 21lim[()1]nnibabaainn

22221()lim[12]nnibababaaaiinnn

222211()lim[(1)2]nnniibababanaaiinnn

22232()(1)()1lim{()[1(1)(21)]}26nabannbabaannnnn 221()11()lim[1()(1)(1)(2)]6nbabaaabannn

222()()[1]3babaaaba33().3baba

★★2.利用定积分的定义计算下列积分：

知识点：定积分的定义

思路：根据求定积分的三步骤做

(1) baxdx()ab.

解:易见函数(),fxxCab，从而可积，将,ab分成n等分，则,ibaxn

于是0,n；取(1,2,)iin为第i个小区间的右端点，则

,0,1,2,,1,ibaaiinn

所以11000lim()lim()nnbiianiibabaxdxfxainn

1()lim{[(0121)]}nbabanannn

习题52

1 试求函数xtdty0sin当x0及4x时的导数

解 xtdtdxdyxsinsin0 当x0时 ysin00

当4x时 224siny

2 求由参数表示式tudux0sin tuduy0cos所给定的函数y对x的导数

解 x(t)sin t  y(t)cos t  ttxtydxdycos)()(

3 求由xyttdtdte000cos所决定的隐函数y对x的导数dxdy

解 方程两对x求导得

0cosxyey

于是 yexdxdycos

4 当x为何值时 函数xtdttexI02)(有极值？

解 2)(xxexI 令I (x)0 得x0

因为当x0时 I (x)0 当x0时 I (x)0

所以x0是函数I(x)的极小值点

5 计算下列各导数

(1)2021xdttdxd (2)32411xxdttdxd

(3)xxdttdxdcossin2)cos(

解 (1)dxdudttduduxdttdxdux02202112令

421221xxxu

(2)323204044111111xxxxdttdxddttdxddttdxd

3204041111xxdttdxddttdxd

)()(11)()(11343242xxxx

12281312xxxx

(3)xxxxdttdxddttdxddttdxdcos02sin02cossin2)cos()cos()cos(