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湖北武汉大学研究生入学考试数学真题总时长：120分钟总分数：100分第一部分：选择题（每小题2分，共40分）请在每小题的括号中选出正确答案，并将相应字母写在答题卡上。
1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c中，a、b、c都是实数，且f(x)有两个不同的实数零点，则以下哪个条件满足？A. a + b + c = 0B. c^2 - 4ab > 0C. b^2 - 4ac > 0D. ac - b^2 < 02. 一辆公交车每小时行驶40公里，某旅行团乘坐这辆公交车前往目的地，途中公交车停车吃午饭1小时。
若旅行团的目的地是160公里远，从出发到到达总共需要多长时间？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时3. 已知正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为2，点E是AA'上的中点，点F是BC的中点，连接EF。
则EF的长度为：A. √2B. 2C. √5D. 14. 线性方程组：⎧ x - y + z = 1⎪ 2x + y - z = 2⎩ 3x + y + z - 3 = 0的解是：A. (1, 2, 1)B. (2, 0, 1)C. (0, 1, 2)D. (1, 1, 1)5. 若集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={2, 3, 4, 5}，则集合A ∪ B的元素个数为：A. 3B. 4C. 5D. 6...第二部分：计算题（共60分）1. 计算下列极限：lim(x→0)(sin2x/x)2. 已知函数f(x)在区间[0, 2π]上连续，且f(0) = f(2π) = 0。
证明方程f(x) = sinx在区间[0, 2π]上至少有两个根。
3. 设A为3×3矩阵，A的特征值为2，对应的特征向量为(x, y, z)。
求A的逆矩阵A^(-1)。
4. 某公司的年利润在过去5年间分别为100万元、120万元、150万元、180万元和200万元。
考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。
答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。
答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。
证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。
解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。
武 汉 大 学2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x 210)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学研究生2021研数值分析A卷武汉大学2021~2021学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目：数值分析学生所在院：学号：姓名：?10一、（10分）设A?????4?1212??5?1??????1?3，x?1 ，已知A??12??????1???1?????8?3?7?5?1??3， ?2??A的三个特征值分别为：4.06,?0.03?0.5i , 求范数Ax条件数Cond(A)?、谱半径?(A)及二、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 Ax?b，其中?2?4 A??????611?152???3?????3 b?10 ?????6???3???三、（14分）设方程组?11 ????2212?2??1?1???x1??1?????x?1 ?2?????x3????1??（1）分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；（2）证明Jacobi迭代格式是收敛的，而Gauss-Seidel迭代格式发散。
四、（12分）已知 y?f(x) 的数据如下：xi f(xi) f?(xi) 0 1 2 0 2 6 1 求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)?f(x)?H3(x)。
五、（12分）试确定常数A，B，C及?（??0），使求积公式?3?3f(x)dx?Af(??)?Bf(0)?Cf(?)有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？六、（10分）在某个化学反应过程中，生成的沉淀物质量y（克）依赖于时间x（时）的试验数据为xi yi 1 0．8 2 1．5 3 1．8 4 2．0 已知经验公式的形式为 y?ax?bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b(结果取四位小数)。
七、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分I(a,b)??1?1?ax?b?x?dx??22取得最小值。
?dy?f(x,y)?dx??y(x)?y00?八、（10分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：11?y?y?h(k?k2)n1?n?122? ?k1?f(xn,yn)?k?f(x?h,y?hk)nn1?2?确定此单步法的绝对稳定域。
