武汉大学2001-2014高数B2试题编选

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。

（8分）二、 设幂级数∑∞=−0)1(n n n x a在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。

（8分） 三、 求曲面323=+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。

（10分）四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。

（10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤=r ，其中θ=6π对应起点A ，3πθ=对应终点B ，试计算∫+−L xdy ydx 。

（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z −−=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算：∫∫Σ=+−.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。

（10分）七、 函数),(y x z z =由0),(=z yy x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。

（12分） 八、 计算∫∫∫Ω+,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。

（12分）九、 已知级数∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU的敛散性。

（12分）十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫−−=−AA D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。

D ：2||,2||A y A x ≤≤。

（8分）。

武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。

教材高等数学b试题及答案为了帮助学生更好地掌握高等数学B课程的知识，提升他们在考试中的表现，我们整理了一套高等数学B试题及答案。

以下是具体的试题内容及答案解析。

一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x - 2，求f(2)的值。

A) 0B) -2C) 4D) 7答案解析：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4。

因此，答案选项为B。

2. 若a, b是实数，且a^2 + b^2 = 25，则a + b的最大值为多少？A) 7B) 10C) 5D) 0答案解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2，即25 × 2 ≥ (a + b)^2，解得(a + b)^2 ≤ 50。

因此，a + b的最大值满足 -√50 ≤ a + b ≤ √50。

最大值约为7.071，所以答案选项为A。

二、计算题1. 计算极限lim(x→3) ((x - 3) / (x^2 - 8x + 15))。

答案解析：首先将分子分母都进行因式分解，得到((x - 3) / (x - 3)(x - 5)) = 1 / (x - 5)。

当x趋近于3时，1 / (x - 5)趋近于1 / (3 - 5) = -1 / 2。

因此，所求极限为-1 / 2。

2. 求曲线y = x^3 - 3x^2 - 4x的拐点。

答案解析：首先求出y = x^3 - 3x^2 - 4x的导数，即y' = 3x^2 - 6x - 4。

然后解方程3x^2 - 6x - 4 = 0，得到x = -1和x = 2两个解。

对应的y值分别为y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) = -2和y = (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) = -12。

因此，拐点为(-1, -2)和(2, -12)。

武汉大学2007—2008学年上学期《高等数学E1》（54学时）试题（A 卷）一．计算下列极限（12分） 1.x x x sin 2)31(lim +∞→ 2.x x x 1arctan 2lim -∞→π二．计算下列积分（12分）1.⎰xdx 3cos2.⎰+10222)1(dx x x 三．（10分）讨论函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,1sin 0,0)(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性。

四．（10分）设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的微分。

五．（10分）设函数()x y y =由方y xe y +=1所确定，求022=x dx y d 的值。

六．（10分）已知)(x f 的一个原函数为x xe-，求： 1.⎰dx x f )(； 2.⎰dx x xf)('； 3.⎰dx x xf )(； 七．（10分）求21cos 2lim x dt e x t x ⎰-∞→八．（10分）在抛物线()102≤≤=x x y 上找一点P ，使经过P 的水平直线与抛物线和直线0=x ，1=x 围成的区域的面积最小。

九．（10分）设()21222-=-x x In x f ，且[]Inx x f =)(ϕ，求()⎰dx x ϕ十．（6分）设()x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()010==f f ，2121=⎪⎭⎫⎝⎛f ，证明必存在一点()1,0∈ξ，使得ηξ=)('f ，其中()1,0∈η为确定值。

提示：构造函数)()(x f x x F -=η。

2014年湖北省普通高等学校高考数学模拟试卷（B卷）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|x2-2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.[2，+∞）B.（2，+∞）C.（-∞，0）D.（-∞，0]【答案】A【解析】解：由M中不等式变形得：x（x-2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为（）A.20B.24C.30D.36【答案】B【解析】解：∵区现有480个住户，高收入家庭120户，抽取了6户∴每个个体被抽到的概率是∴该社区本次被抽取的总户数为=24，故选B．根据社区里的高收入家庭户和高收入家庭户要抽取的户数，得到每个个体被抽到的概率，用求到的概率乘以低收入家庭户的户数，得到结果．本题考查分层抽样方法，这种题目类型是高考题目中一定会出现的题目，运算量不大，是一个必得分题目．3.《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A.110尺B.90尺C.60尺D.30尺【答案】B【解析】解：由题意知等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴=90（尺）．故选：B．利用等差数列的前n项和求解．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列知识在生产生活中的合理运用．4.对于命题p：若||=||=2，与的夹角是，则向量在方向上的投影是1；命题q：“x≤1”是“≥1”的必要不充分条件，下列判断正确的是（）A.￢q为假命题B.￢p为假命题C.“p∧q”是真命题D.“p∨q”是假命题【答案】A【解析】解：∵向量在方向上的投影为||cos＜，＞=2×（-）=-1，∴命题p为假命题；又≥1⇔0＜x≤1，∴“x≤1”是“≥1”的必要不充分条件，命题q为真命题，由复合命题真值表知：A正确．故选：A．根据向量在方向上的投影为||cos＜，＞判断命题p的真假；根据≥1⇔0＜x≤1判断命题q的真假，再根据复合命题真值表可得答案．本题借助考查复合命题的真假判定，考查了向量的射影及充要条件的判定，熟练掌握向量的射影公式及充要条件的判定方法是解题的关键．5.函数y=（e x-e-x）•sinx的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=（e-x-e x）（-sinx）=（e x-e-x）sinx=f（x），∴函数f（x）=（e x+e-x）sinx是偶函数，排除B、C；当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．∴A满足题意．故选：A．通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用0＜x＜π时的函数值，判断即可．本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．6.把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（）A.y=sinxB.y=sin4xC.D.【答案】A【解析】解：函数的图象向右平移个单位，得到f（x-）=sin[2（x-）+]=sin2x 的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x-）=sinx 的图象．∴函数y=sinx的图象是函数的图象按题中的两步变换得到的函数的解析式．故选：A．根据三角函数图象变换的法则进行变换，并化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式．本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式．着重考查了三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题．7.已知点M是△ABC的重心，若A=60°，•=3，则||的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】解：∵A=60°，•=3，cos A=，∴=6．又∵点M是△ABC的重心，∴．∴||=||==≥==．∴||的最小值为．故选：B．根据已知及向量夹角的定义可得∴=6．又因为点M是△ABC的重心，所有有，结合基本不等式即可求出||的最小值．本题考查向量的模，三角形的重心，基本不等式等知识的综合应用，属于中档题．8.已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A、B、C三种规格的成品配件，且每种PVC管同时截得三种规格的成品个数如下表：现在至少需要A、B、C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个，若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是（）A.70元B.75元C.80元D.95元【答案】C【解析】解：设需要第一种管材x根，第二种管材y根，成本z元，则，，z=20x+15y．作出可行域如图所示，由，可得，由，可得，根据图象，可知z=20x+15y在（1，4）处取得最小值为80．故选C．根据条件设需要第一种管材x根，第二种管材y根，成本z元，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用条件建立约束条件和目标函数，利用目标函数的几何意义求最优解，考查学生解决应用问题的能力．9.函数f（x）=cosπx-|log2|x-1||的所有零点之和为（）A.6B.4C.2D.0【答案】B【解析】解：函数f（x）=cosπx-|log2|x-1||的零点，即为函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x-1||的图象交点的横坐标，由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x-1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x-1||的图象；又f（x）=cosπx的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A，B，C，D，4个交点，由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2故所有交点的横坐标之和为4，故选：B函数f（x）=cosπx-|log2|x-1||的零点，即为函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x-1||的图象交点的横坐标，由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．10.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB＞AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A.2-2B.3-2C.2-D.2【答案】B【解析】解：设AB=x，DP=y，BC=2-x，PC=x-y．∵x＞2-x，∴1＜x＜2，∵△ADP≌△CB′P，∴PA=PC=x-y．由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2⇒y=2（1-），1＜x＜2，记△ADP的面积为S，则S=（1-）（2-x）=3-（x+）≤3-2，当且仅当x=∈（1，2）时，S取得最大值．故选：B．利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得y=2（1-），1＜x＜2，表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值．本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.已知z1=2+i，=1-i，在复平面内复数所对应的点位于第______ 象限．【答案】二【解析】解：∵z1=2+i，=1-i，则===，∴在复平面内复数所对应的点（，）位于第二象限．故答案为：二．把复数除法运算法则，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断所在象限．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．12.2013年冬季，我国各地频频发生雾霾天气，某科研机构在其所在城市研究燃煤量与值为______ ．【答案】63.5【解析】解：（，）在回归直线上，计算得=，=40，代入得a=7.1，故=9.4x+7.1，当x=6时，=63.5，故答案为：63.5本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知（，）在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．进而代入x=6，可得预报值．统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，∴几何体的体积V=××π×12×+×22×=+．故答案为：．几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，根据三视图判断半圆锥与四棱锥的高及半圆锥的底面半径，判断四棱锥的底面四边形的形状及相关几何量的数据，把数据代入圆锥与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答本题的关键．14.从参加环保知识竞赛的学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出频率分布直方图如图．估计这次环保知识竞赛成绩的中位数为______ ；从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人，他们在同一分数段的概率为______ ．【答案】70；【解析】解：设第二组及第五组数据对应矩形的高为a，则10×（a+0.015+0.025+0.035+a+0.005）=1，解得a=0.010，故各组的频率依次为：0.10，0.15，0.25，0.35，0.10，0.05，∵前三组的累积频率为：0.10+0.15+0.25=0.50，故这次环保知识竞赛成绩的中位数为70；成绩在[80，90）段的人数有10×0.010×40=4人，成绩在[90，100]段的人数有10×0.005×40=2人，从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人共有=15种不同的基本事件，其中他们在同一分数段的基本事件有：=7，故他们在同一分数段的概率为，故答案为：70，．先根据各组频率和（矩形面积和）为1，确定第二组及第五组数据对应矩形的高，进而求出各组的频率，再根据中位数平分矩形面积，得到竞赛成绩的中位数；计算出80分以上（包括80分）的学生中任选两人的基本事件总数及他们在同一分数段的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．15.执行如图所示的程序框图，令y=f（x），若f（a）＞1，则a是取值范围是______ ．【答案】（-，0）∪（0，+∞）【解析】解：该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=，＜，，＞，当a＜0时，f（a）=＞，解得：a∈（-，0），当a=0时，f（a）=0不满足要求，当a＞0时，f（a）=＞恒成立，综上a是取值范围是a∈（-，0）∪（0，+∞），故答案为：（-，0）∪（0，+∞）由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=，＜，，＞，令f（a）＞1，解不等式可得答案．本题考查的知识点是程序框图，分段函数，指数不等式与对数不等式，是函数，不等式与算法的综合考查，难度中档．16.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，则以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的值为______ ．【答案】【解析】解：设|AB|=2c，则在椭圆中，有c+c=2a，∴==，而在双曲线中，有c-c=2a，∴==，∴+=+=．故答案为：．根据题意设出AB，进而根据椭圆的定义可求得a和c的关系式，求得椭圆的离心率；利用双曲线的性质，求得a和c关系，求得双曲线的离心率，然后求得二者离心率倒数和．题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的离心率之和．着重考查了解直角三角形、椭圆和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．17.某个建筑物的墙面上，有如图所示的图案，现按同样的规律继续发展，设第n个图案包含f（n）个小图形，则f（5）= ______ ；f（n）= ______ ．【答案】61；3n2-3n+1【解析】解：第一个图需1个小图形；第二个图需6+1=7个小图形；第三个图需2×6+6+1=19个小图形；…第n个图需6[1+2+3+…+（n-1）]+1=3n2-3n+1个小图形．即f（n）=3n2-3n+1，将n=5时，f（5）=61，故答案为：61，3n2-3n+1．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．三、解答题(本大题共5小题，共65.0分)18.已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ-sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【答案】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=-1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=A sin（wx+ρ）的形式，再由三角函数的性质可得答案．（2）先由（1）中结果确定函数f（x）的解析式，然后将A代入求出A的值，再由正弦定理求出最后结果．本题主要考查二倍角公式和正弦定理的应用．属基础题．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，b2=5，且公差d=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+a n b n＞60n？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵a n+1=2S n+1，∴当n≥2时，a n=2S n-1+1两式相减得：a n+1=3a n（n≥2）又a2=2a1+1=3=3a1，∴a n+1=3a n（n∈N*）．∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n-1．又b1=b2-d=5-2=3，∴b n=b1+（n-1）d=2n+1．（2）令…①则3T n=3×3+5×32+7×33+…+（2n-1）×3n-1+（2n+1）×3n…②①-②得：∴T n=n×3n＞60n，即3n＞60，∵33=27，34=81，∴n的最小正整数为4．【解析】（1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2求出数列{a n b n}的前n项和S n，即可解不等式．本题主要考查数列的通项公式和数列前n项和S n的计算，以及数列与不等式的综合应用，利用错位相减法是解决本题的关键．20.已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．（1）求证：MN⊥EA；（2）求四棱锥M-ADNP的体积．【答案】（1）证明：∵AE⊥BE，MP∥BE，∴MP⊥AE，又BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，∵N为DE的中点，P为AE的中点，∴NP∥AD，∵AD∥BC，∴NP∥BC，∴NP⊥AE，又∵NP∩MP=P，NP，MP⊂平面PMN，∴AE⊥平面MNP，∵MN⊂平面MNP，∴MN⊥EA；（2）解：由（1）知MP⊥AE，且MP=BE=．∵AD∥BC，BC⊥平面ABE，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥AP，∵NP∥AD，∴四边形ADNP为直角梯形，∵MP⊂平面ABE，∴AD⊥MP，∵AD∩AE=A，∴MP⊥平面ADNP，∴四棱锥M-ADNP的体积V==．【解析】（1）证明MP⊥AE，NP⊥AE，可得AE⊥平面MNP，从而可证明MN⊥EA；（2）证明四边形ADNP为直角梯形，MP⊥平面ADNP，即可求四棱锥M-ADNP的体积．本题考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥体积的计算，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．21.已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】解：′．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2-a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以＞，而x＞0，即′＞，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1-a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1-a＞mlna恒成立．即＜恒成立记，（1＜a＜2），则′，…（10分）令M（a）=-alna-1+a，则M'（a）=-lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值范围为（-∞，-log2e]．…（14分）【解析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1-a＞mlna恒成立．即＜恒成立．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．22.已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设C方程为＞＞，则．由，，得a=4∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2-12=0由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0∴…（10分）同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得∴，…（12分）所以AB的斜率为定值．…（14分）【解析】（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．。

2014年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。

2、排列318742695的逆序数是 （ ）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必 ，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必 。

3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教师…………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ， 求*10)31(1A A --。

武汉大学2012-2013学年第二学期末《高等数学C2》试卷（A卷）一.计算下列各题（每题。

分，共30分）⑴（击7 +⑷ Jo Jo~X'解.⑴（4）/'2 /4 I dT / 0./oe2y/槌-。

TC.2ydg / -- d.r.re丿U J0如=E / 决"dv = ：（/1）.〔3分｝（3分）i+*+摄应⑵倍|乎一c海阻;⑶籽g：（5）£（2n-l）（2tt + l）'償蛭de; ----drr] 1 + \/2 -|-Tdi - 2（\/3 - 1） + 21n- 2（2分）（4分）"…L In :rd-OOrt-2 n-（2分）—cosz|dt =701 丄d£ =--x£ Xoc+ -uosajda' （2分）'% 血、' [COS T ---- ）d;u +S" - 3(1 — ； - ). S lim S H = 3. ..解答下列各题(每题7分.共42分)(1) 求函数z = (x 2+ 的偏导数和全微分； (2) 设y = y(x)是由方程值-cos'、tdt = 0确定的隐函数，求(3) 将f[f(T.y)dxdy 化为。

上的二次积分(两种次序).其中"是由⑦轴.y = 1113?及£ = e 围成的区域；(4) 讨论下列级数a. £ ^n±i b. £(-l)nln(l + i)的敛散性;n=ln=l(5) 求解微分方程(：/ +护)d ①一 2xydy = 0:(C)设函数g(:r)满足方程fj(t- x)y(t)dt = y(x) + e'1.求y(x). 解.⑴余二一广」'(-2.r + T 2十护).* 二 3-7"dz = -e _x (一2工 + a?2+ 扩)di + 3厂丄疣如. (3分)(2) I.记F(x.y) =cos 2tdt,则11方程两边同时对丁求导得.y'ye y ~ - cos 2r - ()(4分).由此得.卩'-部分)•(2n — l)(2n + 1) 2n- 1 32” + 1(3分)(3分)(4分) (3分)/•t rln(dw / /(，.饥dg (3分)/此Joco 级数2 土收敛.原级数收敛（2分）。

高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、16 18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n n n x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑28、110- 29、x e - 30、2xy e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、C y x = 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdx ππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分dx 解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

全国2001年10月高等教育自学考试高等数学(二)试题课程代码:00021 第一部分 选择题一、 单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的号码填在题后的括号内。

1.已知x 的多项式f x x ()=------111101110111111，则该多项式的一次项系数与常数项（ ）①相等 ②绝对值不等③互为相反数④都是奇数2.若AB AC =,必推出B C =,其中A 、B 、C 为同阶方阵，则A 应满足条件（ ）①A ≠0 ②A =0 ③||A =0 ④||A ≠03.第二种初等阵P ik k ()=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1111 ,其对角线上第i 个元素为k ，其余为1，而空白处的元素为零。

用它左乘m n ⨯矩阵A ，其乘积P k A i ()等于( )所得到的矩阵。

①将A 的第i 列乘以k ②将A 的第i 行乘以k③将A 的第k 列乘以i ④将A 的第k 行乘以i .4.mn <是m 个方程n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的( )的条件。

①充分 ②必要 ③充分必要 ④必要而不充分的 5.设有4维向量组αα16, 则( )①αα16, 中至少2个向量能由其余向量线性表示②αα16, 线性无关③αα16, 的秩=2 ④αααα1234,,,必然线性无关 6.αα15, 是5个三维向量,则( )①αα15, 中至少3个向量能由其余向量线性表示②αα15, 中每个向量都能由其余向量线性表示③αα15, 的秩=3 ④αα15, 的秩≤37.当( )时A a b o c =⎛⎝ ⎫⎭⎪是正交阵①ab c ===123,, ②a b c ===1③a b c ===-101,, ④a b c ===10,8.已知A 是一个三阶实对称且正定的矩阵,那么A 的特征值可能是( ) ①31,,i - ②213,,- ③24,,i ④1,3,49.设P A B (),=0为任一事件,则( )①A =Φ ②A B ⊂ ③A 与B 相互独立 ④A 与B 互不相容10.A ,B 为任意两事件,若A ,B 之积为不可能事件,则称( ) ①A 与B 相互独立 ②A 与B 互不相容 ③A 与B 互为对立事件 ④A 与B 为样本空间Ω的一个剖分11.设A ,B 两事件互不相容,0101<=<<=<p A p p B q (),(),则推不出结论( )①P A B (|)=0 ②P AB ()=0 ③P AB p ()= ④P A B () =112.设随机重量ξ的分布列ξ-202040303p...,则E ()352ξ+=( )①13 ②13.2 ③13.4 ④13.613.设ξ～B (,),1013则D E ()()ξξ=( ) ①13 ②23 ③1 ④10314.设ξ～N (,),μσ2以下结论错误的是( )①P {}μσξμσ-<<+22与μσ,无关 ②P {}ξμ<=12③E ()ξμ-=0 ④D ()ξμ-=015.设ξ～P ()2,则有( )成立。

武汉大学数学与统计学院《 高等数学 》期末考试试题（180学时）专业班级 学号_______________ 姓名一、单项选择题（以下5题,每题3分,共15分）：1．空间直线121131-=-+=-z y x 与平面230x y z +-+=的位置关系是 （ ） (A)互相垂直； (B)不平行也不垂直； (C)平行但直线不在平面上； (D)直线在平面上. 2．对闭区间上的函数可以断言 （ ） (A)有界者必可积； (B)可积者必有原函数； (C)有原函数者必连续； (D)连续者必有界. 3．下述结论错误的是 （ ） (A)21x dx x +∞+⎰发散； (B)2011dx x +∞+⎰收敛； (C)201x dx x +∞-∞=+⎰； (D)21xdx x +∞-∞+⎰发散. 4．设)(x f 有连续导数，0)0(=f ，0)0(≠'f ，⎰+=xdt t f t x F 02)()1()(，则(0)F 一定是()F x 的（ ）(A)极小值； (B)极大值； (C)极值； (D)非极值.5．设)(x f 在),(b a 内可导，如果)(x f '在),(b a 内有间断点, 则间断点 （ ） (A)总是振荡型； (B)总是无穷型； (C)可能是可去型； (D)一定是不可去型.二、填空题（以下5题,每题3分,共15分）: 1．已知2a b a b ==⋅=, 则a b ⨯=（ ）.2．设111, xn n nI dx x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰则lim n n I →∞=（ ）. 3．已知22211(arctan )arctan ln(1)22x y x x x x +=-++，则4x dy π==（ ）..4．设1arcsin)1()(+-=x xx x f ，则(1)f '=（ ）. 5．设1220011()11xxF x dt dt t t =+++⎰⎰，则()F π=（ ）..三、计算题（以下5题,每题8分,共40分）： 1.求极限00limxx →⎰2.计算极限1lim x +→⎰3. 计算定积分20cos cos sin xI dx a x xπ=+⎰.4. 设函数()x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=2,yt t e e te x 所确定，求2200,t t dyd y dx dx ==5．设t l 为曲线x y =在x t =处的切线，t l 与曲线以及直线0=x 和2=x 所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体体积记为()V t ,1）给出()V t ；2）求()V t 的最小值点. 四、讨论题和证明题（以下3题,每题10分,共30分）：1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f α在0=x 处连续可导，但其导数在0=x 处不连续, 试讨论α的取值范围. 2．已知()()()1f x x f x ''-=+，求()f x 的极值点，并说明是极大值点还是极小值点. 3. 设函数()arctan f x x =定义在区间[]0,b 上（0b >），证明: 1). 存在[0,]b η∈, 使得21arctan arctan ln(1)2b b b b η-=+, 2). 用1)的结果证明： 01lim2b bη→=.参考答案:一、单项选择题： 1．（D ）；2．（D ）；3．（C ）；4．（C ）；5．(D). 二、填空题： 1． a b ⨯=）；2． lim n n I →∞=（e ）；3． 4x dyπ==（4π）；4．(1)f '=（4π）； 5． ()F π=（2π）. 三、解答题： 1.原极限00limxx →⎰＝0x →x x →→==＝2.2.由=＝t t t t d 2)1ln(2⎰+=]d 12)1ln([2222⎰+-+t t t t t =⎰+-+-+t t t t t d 1114)1ln(2222＝C t t t t ++-+arctan 44)1ln(22=C x x x x ++-+arctan44)1ln(2.所以：原极限1lim x x +→⎰()01lim )x xx C +→=+-ln 44π=-+3. ()()2200cos sin cos sin cos cos sin cos sin A a x x dx Bd a x x xI dx dx a x x a x x ππ+++==++⎰⎰, 其中, A B 满足10Aa B A Ba +=⎧⎨-=⎩,求得:221, 11a A B a a ==++, 所以原积分I =()()202211ln cos sin (ln )112aax a x x a a a ππ=++=-++. (也可以令tan x t =求解).4. 对参数方程两边关于x 求导得：()110tx t y xx e t t e t y e '⎧=+⎪⎨=⎪⎩''+，进而()11x y t y e -=+'，()2311x x t y y y t e e '''-+=. 注意 00, 0t x y =⇒==，于是有0011(1)y t t dy dx t e ==-==-+及()223200101x t y t t d y y dx t e e ==⎛⎫'=-= ⎪ ⎪+⎝⎭. 5． 1)设切点坐标为(t ，由ty 21=，可知曲线x y =在()t t ,处的切线方程为()t x tt y -=-21，或()t x ty +=21．因此所求旋转体的体积为:()2220125()()()4323t V t x t x dx t t ππ=+-=+-⎰；2)2()21032dV t dt tπ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 得驻点32±=t ，舍去32-=t．由于223403t t d V dt t π=>，因而函数()V t 在32=t 处达到极小值，而且也是最小值．四、讨论题和证明题 1. ()f x 在0=x 可导,即1000()(0)()1limlim lim sin x x x f x f f x x x x x α-→→→-==,而1sin x有界, 则当10α->时 101(0)=lim sin 0x f x x α-→'=, 即-1211sin cos ,0()= 0, 0x x x f x x x x ααα-⎧-≠⎪'⎨⎪=⎩, 易知, 当12α<≤时, ()f x '在0=x 不连续, 但()f x 在0=x 可导.2．在方程()()()1f x x f x ''-=+中令x t -=，得()()()1f t t f t ''=--+，从而得()()()()f x xf x xxf x f x x ''+-=-⎧⎪⎨''--=-⎪⎩，解出()221x x f x x --'=+． 由()221x x f x x--'=+得函数()x f 的驻点1,021-==x x ． 而()()222121x x f x x --+''=+，所以，()010f ''=-<，()1102f ''-=>． 即：0x =是函数()x f 极大值点；1x =-是函数()x f 极小值点． 3. 1).由积分中值定理得arctan arctan bxdx b η=⎰，其中[0,]b η∈. 而20arctan arctan 1bbxxdx x x dx x =-=+⎰⎰201arctan ln(1)2b b x xx =-+=21arctan ln(1)2b b b -+, 则：21arctan arctan ln(1)2b b b b η-=+,[0,]b η∈. 2).注意0b →时，0η→及0arctan lim1ηηη→=，则2000arctan arctan limlimlim b b b b bb bηηηηη→→→=== ＝22001arctan ln(1)arctan 12lim ====lim 22b b b b b b b b −−−−−−−→→→-+=洛必塔法则.。

武汉大学2007-2008第一学期《高等数学》期末考试试题(数统)一．试解下列各题（每小题6分，共48分） 1．计算().21ln arctan lim 30x xx x +-→2．计算()().21ln 12⎰-+dx x x3．计算积分.arctan 12⎰+∞dx xx4．已知两曲线由()x f y =与1=++y x e xy 所确定，且在点()0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限.2lim 0⎪⎭⎫⎝⎛→n nf x5．设⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰.cos 21cos ,cos 2122t udu u t t y t x 试求,dx dy .|222π=t dx y d6．确定函数xt xx t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛的间断点，并判断间断点的类型.7．设(),11x x y -=求().n y8．求位于曲线()0≥=-x xe y x 下方，x 轴上方之图形的面积.二．（12分）设()x f 具有二阶连续导数，且().0=a f()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.,,,a x A a x a x x f x g（1）试确定A 的值，使()x g 在a x =处连续.（2）求()x g '. （3）证明：()x g '在a x =处连续三．（15分）设()y x P ,为曲线⎩⎨⎧==.sin 2,cos :2t y t x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 上一点，作过原点()0,0O 和点P 的直线OP ， 由曲线L 、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A .（1）将y 表示为x 的函数.（2）求平面图形A 的面积()x S 的表达式. （3）将平面图形A 的面积()x S 表示成t 的函数()t S S =，并求dtdS取得最大值时 点P 的坐标.四．（15分）已知函数(),352--=x x x f 求 （1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； （2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线.五．（ 10分）设函数()x f 在[]l l ,-上连续，在0=x 处可导，且().00≠'f （1）证明：对于任意()l x ,0∈，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()[].0x f x f x dt t f dt t f xx θθ--=+⎰⎰-（2）求极限.lim 0θ+→x 武汉大学2008-2009第一学期《高等数学》期末考试试题一、试解下列各题：（''⨯=8756）1、求极限： 2201lim(cot )x x x→-2、已知04x →=，求极限0lim ()→x f x3、试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.4、求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型。

华南农业年夜学期末测验试卷〔A 卷〕2010学年第2学期测验科目： 初等数学B Ⅱ 测验范例：〔闭卷〕测验 测验时刻：120分钟学号姓名年级专业一、 填空题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 1.曲面是由坐标面xoy 上的曲线绕轴扭转一周而成。

2．设函数在点处存在偏导数，那么它在该点处获得极值的须要前提是。

3．设，那么。

4.设发散，那么。

5.已经知道某二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，那么该微分方程为。

二、选择题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 6.与向量跟都垂直的单元向量是〔〕 〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

7.设函数可微，且，假设，那么的值为〔〕 〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

8．设是延续函数，那么〔〕 〔A 〕；〔B 〕； 〔C 〕；〔D 〕。

9.以下级数前提收敛的是〔〕 〔A 〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

10.差分方程的一个特解方式为〔是待定常数〕〔〕 〔A 〕；〔B 〕； 〔C 〕；〔D 〕。

三、盘算题〔本年夜题共8小题，每题7分，共56分〕11.求平行于立体且与球面相切的立体的方程。

12.求二重极限。

13.设，而，，求14.设，责备微分。

15.盘算二次积分。

1.5CM16.推断级数的敛散性，假如收敛，是相对收敛依然前提收敛，并阐明来由。

17.求解初值咨询题：。

18.求幂级数的收敛域，并求其跟函数。

四、使用题〔此题8分〕19.设某公司所属的甲、乙两厂消费统一种产物，当甲、乙两厂的产量分不为跟〔单元：千件〕时，总本钱函数为〔单元：万元〕现有总本钱53万元，咨询怎样布置消费才干使甲、乙两厂的产量之跟最年夜？五、证实题〔此题6分〕20.设跟收敛，且〔〕，证实也收敛。

2010初等数学BⅡ期末测验试卷参考谜底：一、填空题：1．，。

2．。

3．。

4．。

5．。

二、选择题：6.〔A〕。

7.〔B〕。

8．〔C〕。

9.〔D〕。

10.〔D〕。

三、盘算题：1.5CM11.【解】依题意可设立体的方程为…………………………〔2分〕又因为立体与球面相切，故球心到立体的间隔即是球面半径，即…………………………〔5分〕那么，故立体的方程为或……………〔7分〕12.【解】因为，因而……………〔4分〕因而，有……………〔7分〕13.【解】由链式法那么，有……………………………………〔2分〕………………〔6分〕……………〔7分〕14.【解】因为，，故，……………………………………〔3分〕因而，有…………………………〔7分〕15.【解】…………………………〔3分〕………………………〔7分〕16.【解】设，因为〔〕，由比拟判不法可知，原级数不相对收敛。