【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

长春市实验中学2018-2019学年上学期期中考试高三数学试卷（文）注意：本试题分I 卷、II 卷，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第I 卷一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合 P = {xeR\0<x<4},Q = {xeR\\x\< 2},则 P Q=() A. [2,4]B. (-2,4JC.(-oo,4J D. (0,4]2. 命题n VxG/?,x 3-3x<0M 的否定为()| \jT3,订的值为（） A. n Vx€/?,x 3-3x>0n B.nVx€/?,x 3-3x>0uD. "Hr 。

G 7?,x 03 一3斗)vO”e R,xj -3x 0 >0"C .A. V3B.73D.5.如图，从高为力的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是桥头（C）的俯角是0,则桥BC的长为（）A/沁也sin & sin 0B/2 竺口2sin(2 sin 0D.6. 已知｛色｝是公差为2的等差数列，S”为｛色｝的前门项和，若S 5=S 3,则玛二() A. —4 B. -3 C. -2 D. — 17. 已知平面向量d"满足\a\=\b\=l 若|2d —3b|=J7,则向量d#的夹角为()9 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120 °TT8. 已知函数/(%) = sin(d )x +(p)(co>Q,\(p\< —)的部分图象如图所示，则()C. 69 = 2,0 = —D. 3 = _、（P =—3 2 3 9.设函数/（劝=如+厂）,则/（X ）（）A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上有极小值C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，.且在R 上有极大值TT10. 设函数/(x) = sin(2x + —)的图象为C,下面结论中正确的是() A. 函数/(兀)的最小正周期是2兀7TB. 图象C 关于点(―,0)对称 6TTC. 图象C 可由函数g(x) = sin 2兀的图象向左平移一个单位得到TT 7TD. 函数/(x)在区间上是增函数11. 点 M 为Z\ABC 的重心，AB 二2, BC 二 1, ZABC 二60° ,则 AW AC = () 2A. 1B. -V3C. 2D. 3312. 函数/(x)=— -做在/?上有三个零点，则d 的取值范围是C.hsin （a-/3） cos a cos [}cos a cos 02A・（冷B （亍+00）D.匸+oo）第II卷二填空题(共4小题，每小题5分，共20分)TT13.函数f(x) = sin(2x-—)的单调递减区间为14. 函数/(x) = (X-1)的定义域为.615.己知数列｛aj是递增的等比数列，且。

吉林省实验中学2019届高三上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的){}{}032/,110/,..12>-=<-<==x x x B x x A R U 集合已知全集 用区间可表示为则B A （ ）⎪⎭⎫ ⎝⎛230.，A ⎪⎭⎫⎝⎛231.，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛223，C ()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2230,， D 2.已知向量=（-2，3），，若⊥，则实数x 的值是（ ）A. B. C. D.3.等差数列{a n }中，a 1+a 5=14，a 4=10，则数列{a n }的公差为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.若53)2sin(-=+απ，且为第二象限角，则 （ ）A.B. C. D.5.在正项等比数列{a n }中，若a 1=2，a 3=8,数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 6的值为 （ ）A. 62B. 64C. 126D. 1286. 的零点个数为函数xx x f )21(ln )(-= （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个7设可导函数f (x )在R 上图像连续且存在唯一极值，若在x ＝2处，f (x )存在极大值，则下列 判断正确的是 ( )(),0,)2,(.'>-∞∈x f x A 时当 ()()0,,2'<+∞∈x f x 时当 (),0),2,(.'>-∞∈x f x B 时当 ()()0,,2'>+∞∈x f x 时当 (),0),2,(.'<-∞∈x f x C 时当 ()()0,,2'>+∞∈x f x 时当 (),0),2,(.'<-∞∈x f x D 时当 ()()0,,2'<+∞∈x f x 时当()()的取值范围是成立的则使得设函数x x f f x f x123,)21()(.8-<-=( )A. ),2()1,(+∞⋃--∞B. )2,1(-C. ),1(+∞-D. )1,(--∞ 9.函数()1cos 2sincos 22x xf x x =++的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．π D.π210．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，△ABC 的面积为233，则BC 的长为( ) A ．7B.19 C.13 D ．311.对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足()0)12('<+x fx ，则必有()A. )21()(-≥f x fB.)21()(-≤f x fC. )21()(->f x f D. )21()(-<f x f(]x x x f x x f x f x f sin )(,2,0)()4()(.12-=∈=+时，且当满足设偶函数[]上单调性为在则10,6)(x f ( )A ．递增B ．递减C ．先增后减D ．先减后增 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.的切线的斜率为曲线，，则在（若函数)())1(121ln )(2x f y f e x x x f x =++= 14.已知向量)3,1(),4,3(=-=，则b a 与的夹角余弦值为________． 15.在△ABC 中，若2,4==a A π，则CB A cb a sin sin sin +-+-＝______.16.有如下命题关于函数,cos sin 22cos 3)(x x x x f -=：图像的一条对称轴是)(3).1(x f x π=图像的一个对称中心）是（)(0,6).2(x f π()像，可得到一个奇函数图的图像向左平移将）（6.3πx f 。

吉林省长春市实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】=，故选B.2.已知，若，则（）A. 1B. 2C.D. 4【答案】C【解析】∵，又∵，∴0，即﹣1×3+2m＝0，即m，故选：C．3.在中，如果，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又∵A∈（0，π），∴．故选C.4.已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r，则2r+2r＝4，r=1，∴扇形的面积为r=，故选：B.5.为了得到函数的图象，只需将余弦曲线上所有的点（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】C【解析】把余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，故选：C．6.函数是A. 周期为的奇函数B. 周期为的奇函数C. 周期为的偶函数D. 周期为的偶函数【答案】A【解析】对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A．7.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由二倍角公式得：，故选D.8.在中，若，且，则的形状为（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】，=，又，为等腰直角三角形，故选D.9.函数在区间上的最大值为（）A. 2B. 1C.D. 1或【答案】A【解析】∵函数f（x）＝cos2x+2sin x＝1﹣sin2x+2sin x＝﹣（sin x﹣1）2+2，∴sin x≤1，∴当sin x＝1时，函数f（x）取得最大值为2，故选：A．10.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】y＝sin x cos x＝sin2x，由2kπ≤2x≤2kπ，即kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数的单调递减区间是，故选B.11.下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.12.将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数在上的最大值和最小值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数，∴g（x），∵x∈，∴4x∈，∴当4x时，g（x）取最大值1；当4x时，g（x）取最小值．故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量,其中，若，则的值为_________.【答案】4【解析】∵∥，∴＝8，解得，其中，故答案为：．14._________.【答案】【解析】cos（x+27°）cos（x﹣18°）+sin（x+27°）sin（x﹣18°）＝cos（x+27°﹣x+18°）＝cos45°．故答案为.15.若，则___________.【答案】1【解析】由，可知tan（α+β）＝1，得，即tanα+tanβ＝，∴，故答案为1．16.函数关于直线对称，设，则________. 【答案】1【解析】∵函数f（x）的图象关于x对称，∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心，故有则1，故答案为：1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，求的值.解：∵，∴sinθ=,∴θcos+cosθsin=+=.18.（1）设，求与的夹角；（2）设且与的夹角为，求的值.解：（1）∵12，9，，∴cosθ又∵0°≤θ≤180°，则θ＝135°.（2）∵，，且与夹角为120°，∴6．∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61．19.已知，计算下列各式的值.（1）；（2）.解：∵，∴（1）将分子分母同除以，得到；（2）．20.已知函数(R).（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;（2）若为锐角，且，求的值.解：（1）. ∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.(2)解法1：∵, ∴. ∴.∵为锐角，即, ∴.∴.∴.∴. ∴.∴.∴或(不合题意,舍去) ，∴.解法2: ∵, ∴.∴.∴.∵为锐角，即,∴.∴. ∴.解法3:∵, ∴.∴.∵为锐角，即, ∴.∴.∴.21.函数在内只取到一个最大值和一个最小值,且当时，；当时，.（1）求出此函数的解析式;（2）求该函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.解：（1）由题意得，∴，∴，又∵点在此函数图像上，∴，∵，∴，∴；（2）令，解得，∴此函数的单调递增区间为．考点：正弦型函数的图像与性质.22.已知为的三个内角，向量与向量共线，且角为锐角.（1）求角的大小；（2）求函数的值域.解：（1）由m∥n，得（2﹣2sin A）（1+sin A）﹣（sin A+cos A）（sin A﹣cos A）＝0，得到2（1-sin2A）-sin2A+cos2A=0，所以2cos2A-sin2A+cos2A=0，即3cos2A-sin2A =0得，所以,且为锐角，则.（2）由（1）知，，即,=,所以，=，且，则,所以，则，即函数的值域为.。

2019届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．=A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．命题“若,则且的逆否命题是 A ． 若,则且B ． 若,则或C ． 若且，则D ． 若或，则4．下列函数中,在区间上为增函数的是A ．B ．C ．D ．5．已知，，则A ．B ．C ．D ．6．函数的零点所在的大致区间是A ．B ．C ．D ．7．函数的最小值为A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 59．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A ．B ．C ．D ．10．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．11．函数的图象大致为此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．12．在中，分别是所对的边，若，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某同学在高三参加的九次考试成绩分别为85，94，101，110，106，123，123，122，130，则这些次成绩的中位数是_______14．已知向量()1,3a =， ()3,1b =，则a 与b 的夹角的大小为__________．15．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为____.16．已知奇函数，则函数的极大值点是____________.三、解答题17．已知公差为1的等差数列，依次为一个等比数列的相邻三项.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前10项和.18．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：岁以下岁以上（含岁）(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．19．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，,，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20．已知抛物线过点.(1)求抛物线的准线方程;(2)设为上第一象限内的动点，过点作抛物线的切线交其准线于点,为准线上一点，且，求当最小时点的坐标.21．函数.(1)求的单调区间;(2)若恒成立,求取值范围22．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为， 直线的参数方程为(为参数)，直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求△面积的最大值.23．已知函数.（1）记函数，求函数的最小值； （2）记不等式的解集为，若时，证明.2019届吉林省长春市实验中学高三上学期开学考试数学（文）试题数学答案参考答案1．A【解析】【分析】根据复数运算法则计算即可.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于中档题.2．A【解析】【分析】化简集合M，根据交集的定义即可求出.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.3．D【解析】【分析】根据命题的逆否命题的定义即可求解.【详解】因为原命题为“若,则且，所以逆否命题为若或，则，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.4．A【解析】【分析】根据基本初等函数的增减性，逐一分析即可.【详解】对于A,因为，所以在区间上为增函数，对于B,在区间上为减函数，对于C ，在区间上为减函数，对于D ，在区间上不单调，故选A.【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的增减性，属于中档题.5．C【解析】【分析】根据同角三角函数的关系，先求出，再求出即可.【详解】因为，，所以在第四象限，，，故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题.6．B【解析】【分析】根据零点存在性定理逐一判断选项即可.【详解】因为，而，所以必在内有一零点，所以选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.7．B【解析】【分析】化简函数为，根据正弦函数的有界性求解即可.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式及两角和正弦公式的逆用，属于中档题.8．C【解析】分析：根据程序框图依次写出循环体的运行结果即可．详解：由程序框图，得：，，，结束循环，输出的值为4．点睛：本题考查算法初步中的程序框图、对数运算等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．9．D【解析】【分析】根据表面积可知正方体棱长，又正方体的对角线是球的直径，即可求出球的表面积.【详解】因为，所以，所以，,故，选D.【点睛】本题主要考查了球的表面公式，球的内接正方体的表面积及对角线，属于中档题.10．C【解析】【分析】不妨设顶点和焦点分别为，则直线l 方程为，利用点到直线的距离公式得，又知，即可求出.【详解】不妨设顶点和焦点分别为，则直线l 方程为,由点到直线的距离公式得，又，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点、顶点、离心率、短轴及点到直线的距离，属于中档题.11．A【解析】分析：先利用函数为奇函数排除选项C、D，再利用特殊函数值的符号排除选项B．详解：易知的定义域为，且，即函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项C、D；又，故排除选项B，故选A．点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．12．D 【解析】 【分析】由余弦定理可得，由正弦定理可得,因为，所以,根据即可求出.【详解】由余弦定理知， ，即，由正弦定理知 解得,因为，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及两角和差的余弦公式，属于中档题. 13．110 【解析】 【分析】把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，中间一个数即为中位数. 【详解】按中位数定义，把数据按从小到大的顺序排成一列，85,94,101,106,110,122，123,123,130，第5个数即为中位数，所以中位数为110.【点睛】本题主要考查了统计中的中位数概念，属于中档题.14．6π【解析】设a 与b 的夹角的大小为θ，则233cos 222a b a bθ⋅===⋅⋅，又∵0θπ≤≤，∴6πθ=，即a 与b 的夹角的大小为6π，故答案为6π.15．【解析】分析：先利用双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再利用焦点坐标确定有关系数．详解：将化为，设以为渐近线的双曲线方程为，又因为该双曲线的焦点为，所以，解得，即双曲线方程为．点睛：在处理双曲线的方程和其渐近线方程时，往往要先讨论双曲线的焦点在那个坐标轴上，记住以下设法，可避免讨论：①双曲线的渐近线方程可设为；②以直线为渐近线的双曲线方程可设为．16． 【解析】 【分析】根据函数是奇函数可知，由函数导数，可知其极值点，即可求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以，又由得或，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以极大值点为.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，函数的极值点，属于中档题.17．（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据成等比数列列方程即可求解（2）根据数列通项可得，相加相消即可求解.【详解】 （1）因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）因为，所以【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项求和，属于中档题.解题时如果发现数列通项为分母是积的形式的分式，可以考虑裂项相消法求解.18．(1)120;(2). 【解析】 【分析】（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【详解】（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.（2）总体的平均数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【点睛】本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题. 19．(1)略；（2）1：1 【解析】 【分析】 （1）由题意易证平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面（2）设棱锥B-DACC 1的体积为V 1，AC=1，易求,三棱柱的体积V=1,于是可得（V-V 1）:V 1=1:1即可得出答案.【详解】证明：（1）由题意知,又.由题设知平面BDC,又平面BDC 1平面（2）设棱锥B-DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得,又三棱柱的体积V=1,（V-V 1）:V 1=1:1 两部分体积的比为1:1.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，线面垂直的判定，棱柱、棱锥的体积，属于中档题.20．(1)(2).【解析】【分析】（1）因为抛物线过点，代入即可求出方程（2）设抛物线上P点坐标，写出过P点切线，求出M 的坐标，再利用求出N 的坐标，写出，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即，所以抛物线方程为.（2）设,过P 的切线斜率，切线方程为，因为准线方程为，所以,又，可求出，所以，(t>0),令，，令得，即，当时，当时，，所以当时，有最小值，此时.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，切线方程，向量垂直，利用导数求函数极值，属于难题.解决本题的关键在于写出后，利用函数求其极值点，即可得出P点坐标.21．(1) 当时，增；当时，减，增；(2) .【解析】【分析】（1）求导数，分类讨论即可求出单调区间（2）根据（1）写出函数最小值，即可求出a的取值范围.【详解】（1）因为，当时，，所以函数在上单增，当时，由得，且时，时，所以函数在单调递减，在单调递增.（2）当时，恒成立，当时，在增，无最小值，不符合题意，当时，由（1）知，时即可，解得，综上.【点睛】本题主要考查了函数单调性，函数的极值、最值，分类讨论的思想方法，属于中档题.22．(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意可得圆的直角坐标方程，然后即可得圆的参数方程；（2）根据题意求得直线的方程，即可得圆心到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.试题解析：.∴圆的参数方程⑵易知直线为，圆心到直线的距离∴∵由几何图形可知到直线的最大距离为∴面积的最大值为23．（1）2；（2）略.【解析】【分析】（1）求出的解析式，从而求出的最小值即可（2）求出M的范围，根据不等式的性质证明即可.【详解】（1）由题意得，可得函数最小值为2. （2）证明：由知，当时，，即，.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题.。