黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试 文科数学

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．设{|5}A x Z x =∈，{}|1B x R x =∈>，则A B =（ ）A ．{1，2，3，4，5}B ．{2，3，4，5}C ．{|25}x xD ．{|15}x x <【答案】B【分析】直接利用交集的运算求解． 【详解】{|5}A x Z x =∈，{}|1B x R x =∈>，{|15}{2A B x Z x ∴⋂=∈<=，3，4，5}．故选：B ．2．设(),αππ∈-，且1cos 2α=-，则α=（ ） A ．23π-或23πB ．3π-或3πC ．3π-或23πD ．23π-或3π 【答案】A【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为(),αππ∈-，且1cos 2α=-， 则23πα=-或23π. 故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2D【答案】B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B .4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．16【答案】A【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70， 其中是质数的有：7、61，故所求事件的概率为2163P ==. 故选：A.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.5．已知集合{}3,A x x k k N ==∈,{}6,B x x z z N ==∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先判断出BA ，再根据包含关系判断“x A ∈”是“xB ∈”的必要不充分条件.【详解】解：因为{}3,A x x k k N ==∈,{}6,B x x z z N ==∈，所以B A ，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】本题考查集合的基本关系，根据集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且公差0d ≠，若743S a =，则（ ） A ．34S S = B ．35S S =C ．45S S =D ．46S S =，【答案】A【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可得40a =，由此即可得到结果. 【详解】由题意可知，()177447732a a S a a +===，所以40a = 所以33344+0+S S S a S ===. 故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 7．若x >1，则121x x +-的最小值为（ ）A ．2B ．-C ．2-D ．【答案】A【分析】由1x >，可得10x ->，化简可得1122(1)211x x x x +=-++--，利用基本不等式即可得解.【详解】由1x >，可得10x ->，1122(1)22211x x x x +=-++≥=--，当且仅当12(1)1x x -=-，即22x =取等号， 121x x +-的最小值为2， 故选：A.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题. 8．若圆22()()4x a y a -+-=上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(-B ．((0-⋃C ．(1)(1--⋃D ．(0【答案】B【分析】根据题意可得已知圆与圆224x y +=相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.【详解】由题意可得：已知圆与圆224x y +=相交， ∴222222a a -<+<+， ∴2204a a <+<，解得2222a -<<且0a ≠， 故选：B.9．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（ ）A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00【答案】C【分析】根据图象分段设出一次函数模型，分别代入点()4,320和()20,0求解出y 关于x 的解析式，由第一次服药的残留量大于等于240求解x 的范围，即可求解 【详解】由图象知： 设()y f x kx b ==+当04x ≤≤时，设直线y kx =，把点()4,320代入得80k =，所以80y x =； 当420x <≤时，()y f x kx b ==+，将点()4,320和()20,0代入得4320200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得20400k b =-⎧⎨=⎩，此时()20400y f x x ==-+， 所以()80,0420400,420x x f x x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当04x ≤≤时，令80240x ≥，得34x ≤≤，当420x <≤时，令20400240y x =-+≥，解得：48x <≤， 所以38x ≤≤，故第二次服药最迟的时间应为8小时后，也即是下午4：00， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题是一道关于一次函数的实际应用题，解题的关键是根据图像求出解析式，根据解析式求出血液中药物残留量不小于240毫克时的最长时间，属于中档题.10．已知双曲线2221(0)12x y a a -=>0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)1x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为（ ）． A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】A【分析】求得双曲线的a ，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，计算可得所求最小值．【详解】解：由题意双曲线2221(0)12x y a a -=>0y -=，可得b =2a =，可得双曲线221412x y -=，焦点为(4,0)F -，(4,0)F '，由双曲线的定义可得||2||4||MF a MF MF =+'=+'， 由圆22(3)1x y +-=可得圆心(0,3)C ，半径1r =， ||||4||||MN MF MN MF +=++'，连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，可得||||MN MF +取得最小值，且为||5CF '=， 则||||MN MF +的最小值为4518+-=． 故选：A ．11．四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为32若四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64πC ．100πD ．144π【答案】C【分析】根据四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，可求得P 到平面ABCD 的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O 的半径r ，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】设球心到平面ABCD 的距离为h ，球O 的半径为r ，根据题意，当P 到平面ABCD 距离最大，即为r+h 时，四棱锥P ABCD -的体积最大， 所以13232()543V r h =⨯+=，解得9r h +=， 又A B C D 、、、都在球面上，设平面ABCD 所在圆心为'O ，由题意得22'(32)(32)3O A +==，所以2223r h =+，解得=5r ， 所以表面积245100S ππ=⋅=. 故选：C【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得P 到平面ABCD 的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r ，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题. 12．点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a 2P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】C【分析】要满足到直线y ＝x +a P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为点．从而解决问题．【详解】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行 y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1 ∴P （0，1），于是当点P 到直线y ＝x +a y ＝x +a P 有且仅有3个，∴d ==a ＝﹣1或a ＝3又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x 的图象与直线y ＝x ﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为故a ＝3． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.二、填空题13．如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________. 【答案】2【分析】由中位数和众数的概念可得数据的中位数和众数，即可得解. 【详解】由题意，该组数据的中位数为12，众数为10， 所以该组数据的中位数与众数的差为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了数据中位数及众数的求解，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 14．下列命题中正确的是__________（填序号）①若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线； ②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交； ③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面 【答案】③【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断即可.【详解】若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内过交点的直线不是异面直线，故①不正确；若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内，故②不正确；若直线与平面平行，则l 与平面α无公共点，所以l 与平面α内的直线也无公共点，即平行或异面，故③正确 故答案为：③.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属基础题.15．设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+，则m n +为________． 【答案】1516【分析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，求出所需向量的坐标，根据AI mAB nBC =+，即可求得m n +的值． 【详解】解：因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ， 又6BC =，所以AO 224AB BO =-=，因为()1122ABCSBC AO AB BC AC r =⨯=++⨯，即()64556IO ⨯=++⨯， 所以32IO =，52AI =，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =--，(6,0)BC =，50,2AI ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为AI mAB nBC =+，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝，所以542360m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+=， 故答案为：516. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，利用()1122ABCSBC AO AB BC AC IO =⨯=++⨯求出IO ，进而求出AI ，进而建立直角坐标系，利用坐标法求解.16．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义为11a =，21a =，21++=+n n n a a a ，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21++=+n n n a a a 可得：21n n n a a a ++=-，所以()()()12324321n n n a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-+-+-22n a a +=-，类比这种方法，请计算2221210a a a ++⋅⋅⋅+=________． 【答案】4895【分析】易得21121n n n n n a a a a a ++++=⋅-⋅，再表示出22a ，⋯，210a ，并将其累加后，进行运算即可． 【详解】解：21n n n a a a ++=+，12n n n a a a ++∴=-，∴21121nn n n n a a a a a ++++=⋅-⋅，∴222312a a a a a =⋅-⋅，233423a a a a a =⋅-⋅，⋯⋯2101011910a a a a a =⋅-⋅，222212101231234231011910()()()a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++⋯+=+⋅-⋅+⋅-⋅+⋯+⋅-⋅21121011a a a a a =-⋅+⋅21115589=-⨯+⨯4895=．故答案为：4895．三、解答题17．已知函数2()sin 12sin 62x f x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B ，1b =，a =c ．【答案】（1）52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）1c =或2c =. 【分析】（1）把已知函数整理成()sin y A x C ωϕ=++的格式，然后利用正弦函数的单调增区间求()f x 的单调递增区间；（2）根据()f B =求出角B ，然后运用余弦定理即可求出边c .【详解】（1）13()cos cos cos 223f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调增区间易得()f x 的单调增区间为52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（2）()3f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角B 是ABC 的内角，所以6B π=由余弦定理知：2222cos22a c b B ac +-===，解得1c =或2c =． 【点睛】对于三角函数，求最小正周期、单调区间，对称轴、对称中心、最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T ωπ=，其他则结合正弦、余弦函数的图象与性质即可求得.18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，我校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； （2）依题意，完成以下22⨯列联表（直接填写表格即可）：在线时长数学成绩不超过120分超过120分合计不超过1小时 25 超过1小时 20 合计202545是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）29；（2）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”．【分析】（1）根据古典概型直接求出概率；（2）由已知得22⨯列联表，求得2K ，然后与临界值进行比较即可得出结论. 【详解】（1）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， 但考试成绩超过120分的人数为225105⨯=人，∴其概率为102459=； （2）依题意，得22⨯列联表：数学成绩在线学习时长 不超过120分超过120分合计不超过1小时 15 10 25 超过1小时 5 15 20 合计202545∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”． 19．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出. （2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O =AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率22e =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【详解】解法一：（Ⅰ）由已知得2222,2{2,b c a a b c ===+解得2{22a b c ===所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ，从而022my m =+.所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=. 22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y ,故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA(,),GB (,).44x y x y 由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)m所以cos GA,GB 0,GAGB 又，不共线，所以AGB 为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【解析】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．21．已知函数()2xf x e ae x =-.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a <时，证明：()2ln f x e x >.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2ln xg x e e x =-，然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln x ae x e x e ->，只要证22ln x e x x e x ae ->，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0xh x e x x=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2xf x e ae '=-．当0a ≤时，0f x ，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间． 当0a >时，由0fx，得2ln x a =+．当(),2ln x a ∈-∞+时，0fx；当()2ln ,x a ∈++∞时，0fx，所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞． （2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->． 由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()2ln xg x e e x =-，则()2xg x e e x '=-，()220x g x e xe ''=+>，所以()g x '在0,上是增函数．又()210g e e '=-<，()2222022e g ee '=-=>，所以存在()01,2x ∈，使得()02000x g e x e x '=-=，即020x e e x =，00ln 2x x =-． 所以当()00,x x ∈时，0g x ；当()0,x x ∈+∞时，0g x，所以()g x 有极小值， 且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．因此()0g x>，即2ln 0x e x -->．综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法二：要证明22ln xae x e x e ->，只要证22ln x e x xe x ae ->． 设()()20x g x ae x x e =->，则()()21x x e g x x-'=． 当01x <<时，0g x；当1x >时，0g x ，所以()g x 在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2min 1g x g e ae ==-．令()()2ln 0xh x e x x =>，则()()221ln x h x xe -'=． 当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥，即22ln x e x xe x ae ->． 综上，当0a <时，()2ln f x e x >．法三：要证明22ln x ae x e x e ->．由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．设()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令()()220xh x e e x ex =-+>，则()2x h x e e '=-，当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．设()222ln m x e x e e x =--，则()()2221x e m x e x xe-'=-=． 当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>， 所以()m x 在0,1上是减函数，在1,上是增函数，所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==． 综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2ln f x e x >．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为,,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围； （2）求证：22OMON +为定值.【答案】（1）()4R πθρ=∈；()222cos 50a a ρθ-+-=；a的取值范围是(（2）证明见解析；【分析】（1）消参可得直线l 的直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化可得直线l和圆C 的极坐标方程，根据原点在圆的内部可得()22005a -+<，解不等式即可.（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程可得2250a ρρ+-=，由222212OM ON ρρ+=+，利用韦达定理即可求解.【详解】解（1）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =，所以直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈；将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得()225x a y -+=， 所以圆C 的极坐标方程为()222cos 50a a ρθρ-+-=.由原点O 在圆C 的内部，得()22005a -+<，解得a <<故a的取值范围是(. （2）将4πθ=代入()222cos 50a a ρθρ-+-=，得2250a ρρ+-=.则12ρρ+，2125a ρρ=-， 所以()222221212122OMON ρρρρρρ+=+=+-)()222510a =--=，故22OM ON +为定值.【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标方程的应用，属于基础题. 23． 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）914. 【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得3m =，进而可得233a b c ++=，再利用柯西不等式即可求解.【详解】解：（1）()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩或1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩或122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩，解得22x -≤≤，即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤. （2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时取等号，∴3m =. 故233a b c ++=. 由柯西不等式()()()2222222123239a b ca b c ++++≥++=，整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c==，即314a =，614b =，914c =时等号成立.所以222a b c ++的最小值为914.【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。

2021届黑龙江省大庆中学高三上学期开学考试数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|32,A x x n n N ==+∈，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中的元素个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 3.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1205.已知θ为锐角，且cos()12πθ+=5cos()12πθ-=（ ）A B ．12 C D ． 6.一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ）A ．22+B ．32+C ．42+D ．67.下列命题中正确的是（ ）A ．“若0ab =，则0a =或0b =”的逆命题；B ．“若220x y +≠，则x ，y 不全为零”的否命题； C ．“x R ∃∈，使213x x +>”的否定；D ．“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题.8.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．129.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ． 13(2,2),44k k k Z -+∈10.已知两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①//m n ，m α⊥n α⇒⊥； ②//αβ，m α⊂，n β⊂//m n ⇒； ③//m n ，//m α//n α⇒； ④//αβ，//m n ，m α⊥n β⇒⊥.其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11.已知点1F 是抛物线C ：24x y =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的焦点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．622- B ．21- C ．21+D ．622+ 12.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ． 14.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值 ．15.若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为 ．16.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos B ； （2）若90B =︒，且2a =，求ABC ∆的面积.18.某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期100天的营销活动，为调查者100天的日销售情况，随机抽取了10天的日销售量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图，若日销量不低于50件，则称当日为“畅销日”.（1）现从甲品牌日销量大于40且小于60的样本中任取两天，求这两天都是“畅销日”的概率； （2）用抽取的样本估计这100天的销售情况，请完成这两种品牌100天销量的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828畅销日天数非畅销日天数合计 甲品牌 乙品牌 合计19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒．（1）求证：//OM 平面PAB ； （2）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （3）当三棱锥M BCD -3时，求PB 的长． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(2,0)，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥，求直线l 是否恒过定点，若是，则求出该定点的坐标；不是请说明理由． 21.已知函数()ln (1)f x x a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围． 22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.2021届黑龙江省大庆中学高三上学期开学考试数学文试题参考答案一、选择题1-5:DDCCC 6-10:BDBDC 11、12：CA二、填空题13.6 14.17 15.4 16.3π三、解答题17.解：（1）由题设及正弦定理可得22b ac =，又a b =，可得2221cos 24a cb B ac +-==.（2）由（1）知22b ac =，因为90B =︒，由勾股定理得222a c b +=，故222a c ac +=，得a c ==.所以ABC ∆的面积为1.18.解：（1）由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天，分别记为1a ，2a ，3a ，非畅销日有三天，分别记为1b ，2b ，3b .从中任取2天的所有结果有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}13,a b ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}23,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}33,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}23,b b 共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.其中两天都是畅销日的结果有：{}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a 共3个，所以两天都是畅销日的概率31155P ==. （2）22200(50703050)25 6.635801*********K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关.19.证明：（1）∵在PBD ∆中，O 、M 分别是BD 、PD 的中点， ∴OM 是PBD ∆的中位线，∴//OM PB ， ∵OM ⊄平面PBD ，PB ⊂面PBD , ∴//OM 面PBD .（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥， ∵AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PAC .解：（3）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，从而P ABCD V -=.又2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S =， ∵四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=32PA =， ∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD , ∴PA AB ⊥.在Rt PAB ∆中，52PB ===.20.解：（1）因为点(2,0)在椭圆C 上，所以22401a b+=，所以24a =， 因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即22214a b a -=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设0(1,)P y -，033(,)22y ∈-， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2203412,(1),x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， 所以201228834ky k x x k ++=-+，因为P 为MN 中点，所以1212x x +=-，即20288234ky k k+-=-+， 所以003(0)4MN k y y =≠， 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+，即041()34y y x =-+，显然直线l 恒过定点1(,0)4-.②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(,0)4-. 综上所述直线l 恒过定点1(,0)4-. 21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()f x a x=-. 若0a ≤，则'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；若0a >，则当1(0,)x a ∈时，'()0f x >；当1(,)x a ∈+∞时，'()0f x <，所以()f x 在1(0,)a单调递增，在1(,)a+∞单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为111()ln(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-. 因此1()22f a a>-等价于ln 10a a +-<，令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g =. 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >， 因此，a 的取值范围是(0,1).22.解：（1）对于曲线1C 消去参数t 得： 当2πα≠时，1C ：1tan (2)y x α-=-；当2πα=时，1C ：2x =.对于曲线2C ：222cos 2ρρθ+=，2222x y x ++=，则2C ：2212y x +=.（2）当4πα=时，曲线1C 的方程为10x y --=，联立1C ，2C 的方程消去y ，得222(1)20x x +--=，即23210x x --=，||MN ====， 圆心为1212(,)22x x y y ++，即12(,)33-，从而所求圆方程为22128()()339x y -++=.。

黑龙江省哈尔滨市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={x ∈Z|0＜x ＜2.5}，集合B={x ∈Z|（x ﹣1）（x ﹣5）＜0}则C U （A ∪B ）=（ ）A ．{0，1，2，3，6}B ．{0，5，6}C ．{1，2，4}D ．{0，4，5，6} 2．若复数21i z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i 3．已知命题p ：0x ∀>，总有()11x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得()0011x x e +≤B ．00x ∃>，使得()0011x x e +≤C ．0x ∀>，总有()11x x e +≤D ．0x ∀≤，使得()11xx e +≤ 4．已知f （x ）=ax 3+bx+2（ab≠0），若f （2017）=k ，则f （﹣2017）=（ ） A ．k B ．﹣k C ．4﹣k D ．2﹣k5．将函数f （x ）=sin （2x +φ）的图象向右平移8π 个单位长度，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为（ ）A ．34πB ．4πC ．0D ．-4π 6．若圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=1（a ∈R ，b ∈R ）关于直线y=x +1对称的圆的方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=1，则a +b 等于（ ）A ．4B ．2C ．6D ．87．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m8．如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为2016，612，则输出的m = （ ）A ．0B ．36C ．72D ．1809的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（2，+∞） C．( D．)+∞ 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，不等式()()0f x xf x '+<成立，若()a f ππ=，(2) (2)b f =--，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >>11．已知x ，y 满足22110x y x y y ⎧+≤⎪+≥-⎨⎪≤⎩则z=x ﹣y 的取值范围是（ ） A ．[ ]B ．[﹣1，1]C ．[] D ．[﹣1, ] 12．已知函数21()1x x f x e x -=+ 若f （x 1）=f （x 2），且x 1＜x 2，关于下列命题：（1）f （x 1）＞f （﹣x 2）；（2）f （x 2）＞f （﹣x 1）；（3）f （x 1）＞f （﹣x 1）；（4）f （x 2）＞f （﹣x 2）．正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知向量,a b →→ 的夹角是3π ，若|a →|=1，|b →|=2，则|2a →﹣b →|=_____． 14．数列{a n }满足*113()n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6=_____．15．已知函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 且函数()f x 在1x =处有极值10，则实数b 的值为_______.16．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，对于x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，当x 1，x 2∈[0，2]且x 1≠x 2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f （﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴；③函数y=f （x ）在[4，6]上为增函数；④函数y=f （x ）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ,且AD =2,CD =6,cosB =√33.（1）求ΔACD 的面积；（2）若BC =4√3，求AB 的长；18．如图所示，在三棱锥A －BOC 中，OA ⊥底面BOC ，∠OAB ＝∠OAC ＝30°，AB＝AC ＝4，BC ＝D 在线段AB 上.（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当OD ⊥AB 时，求三棱锥C －OBD 的体积.19．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其离心率e =，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为()1求椭圆C 的方程；()2过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围.21．已知函数f （x ）=lnx +a （x ﹣1）2，其中a ＞0．（1）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）讨论函数f （x ）的单调性；（3）若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：21ln 2()02f x -<<. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值.参考答案1．B【解析】由题意可得：A={1，2}，B={2，3，4}，则：A ∪B={1，2，3，4}，故C U （A ∪B ）={0，5，6}．故选B ．2．B【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3．B【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>， 所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011x x e +≤，故选：B .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.4．C【解析】根据题意，得f （2017）=20173a+2017b+2=k ，∴20173a+2017b=k ﹣2，∴f （﹣2017）=﹣（20173a+2017b ）+2=﹣k+2+2=4﹣k ．点睛：根据题意，用x=2017代入函数表达式，得f （2017）=20173a+2017b+2=k ，从而20173a+2017b=k ﹣2，再求f （﹣2017）=﹣（20173a+2017b ）+2=﹣k+2+2=﹣k+4，可得要求的结果．5．B【详解】函数f （x ）=sin （2x +φ）的图象向右平移8π 个单位长度，可得sin [2（x ﹣8π）+φ]=sin （2x ﹣4π+φ）．∵图象关于原点对称，∴﹣4π+φ=kπ，k ∈Z ．解得：φ=kπ+4π． 当k=0时，可得φ=4π． 故选B ．点睛：根据三角函数的图象变换规律，得到的图象关于原点对称，化简，可得φ的一个可能取值．6．A【解析】两圆关于直线对称，则圆心也关于直线对称，即点（a ，b ）与点（1，3）关于直线y=x +1对称，据此可得：a=b=2，则a+b=4．故选：A ．7．A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质8．B【解析】第一次循环,180,612,180r m n === ; 第二次循环,72,180,72r m n === ; 第三次循环,36,72,36r m n === ; 第四次循环,0,36,0r m n === ;结束循环,输出36m = ,选B.9．D【解析】【详解】的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，即双曲线的其中一条（k>0, 22,1()3bb e a a ，选D.10．A【解析】令函数F （x ）=xf （x ），则F′（x ）=f （x ）+xf′（x ）∵f （x ）+xf′（x ）＜0，∴F （x ）=xf （x ），x ∈（﹣∞，0）单调递减，∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴F （x ）=xf （x ），在（﹣∞，0）上为减函数，可知F （x ）=xf （x ），（0，+∞）上为增函数∵a=π•f （π）=（﹣π）f （﹣π），b=﹣2f （﹣2），c=f （1）=（﹣1）f （﹣1）， ∴a=F （﹣π），b=F （﹣2），c=F （﹣1）∴F （﹣3）＞F （﹣2）＞F （﹣1），即a ＞b ＞c ．故选A ．点睛：构造函数F （x ）=xf （x ），对其求导分析可得F （x ）在（0，+∞）上为增函数，分析可得a=π•f（π）=（﹣π）f （﹣π），b=﹣2f （﹣2），c=f （1）=（﹣1）f （﹣1），结合单调性分析可得答案.11．D【解析】作出不等式组22110x y x y y ⎧+≤⎪+≥-⎨⎪≤⎩，对应的平面区域如图，由z=x ﹣y ，得y=x ﹣z ，当直线y=x ﹣z 经过点A （﹣1，0）时，直线y=x ﹣z 的截距最大，此时z 最小为z=﹣1． 当直线y=x ﹣z 与圆在第四象限相切时，直线y=x ﹣z 的截距最大，此时z 最小， 由d=1，解得，故﹣1故选：D ．12．B【解析】函数f （x ）的定义域为R ．f′（x ）222[(1)2]*(1)x x x e x --+=+ , 当x ＜0时，f′（x ）＞0；当x ＞0时，f′（x ）＜0．∴函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．由f （x 1）=f （x 2），且x 1＜x 2，可知x 1＜0，x 2＞0，当x ＜1时，由于211x x -+＞0，e x ＞0，得到f （x ）＞0；同理，当x ＞1时，f （x ）＜0．由上可知：x 1∈（﹣∞，0），x 2∈（0，1）． 下面证明：∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ），即证211x x e x -+＜211xx e x--+． 此不等式等价于1(1)0xx x x e e +--< ．令g （x ）=1(1)xx x x e e+--，则g′（x ）=﹣xe ﹣x （e 2x ﹣1）．当x ∈（0，1）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减， ∴g （x ）＜g （0）=0． 即1(1)0xxxx e e +--<． ∴∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ）．由x 1∈（﹣∞，0），可知f （x 1）＜f （﹣x 2），故（1）错误； f （x 1）＞f （﹣x 1），故（3）正确；由x 2∈（0，1），可知f （x 2）＞f （﹣x 1），故（2）正确； f （x 2）＜f （﹣x 2），故（4）错误． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ．点睛：求出函数f （x ）的导函数，判断函数的单调性，画出图象，结合椭题意可知x 1∈（﹣∞，0），x 2∈（0，1）．再证明∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ），数形结合得答案． 13．2 【解析】 向量,a b 的夹角是3π， |a |=1，|b |=2， 则a •b =a ||•|b |cos3π=1×2*12=1， 则|2a ﹣b |2=（2a ﹣b ）2 =4a 2﹣4a •b +b 2=4×1﹣4×1+4， 即|2a ﹣b |=2． 14．91 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈，可得11n a +﹣1na =3， 数列{b n }满足b n=1na ，可得{b n }为公差为3的等差数列， 由b 1+b 2+…b 9=90，可得 9b 1+8*92×3=90， 解得b 1=﹣2，则b 4•b 6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91． 故答案为：91． 点睛：由题意可得11n a +﹣1na =3，可得{b n }为公差为3的等差数列，由等差数列的求和公式解方程可得b 1=﹣2，再由等差数列的通项公式即可得到所求值． 15．【解析】f′（x ）=3x 2+2ax+b ，则2(1)320,(1)110,f a b f a b a '=++=⎧⎨=+++=⎩ ，当4,,11,a b =⎧⎨=-⎩时，f'（x ）=3x 2+8x ﹣11，△=64+132＞0，所以函数有极值点；当3,,3,a b =⎧⎨=-⎩，所以函数无极值点；则b 的值为：﹣11． 故答案为﹣11． 16．①②③④ 【分析】试题分析：①令x=﹣2，可得f （﹣2）=0，从而可判断①；②由（1）知f （x+4）="f" （x ），所以f （x ）的周期为4，再利用f （x ）是R 上的偶函数，根据函数对称性从而可判断②；③依题意知，函数y=f （x ）在[0，2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断③； ④由题意可知，y 作出函数在（﹣8，6]上有的图象，从而可判断④．解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）="f" （x）+f （2）成立，令x=﹣2，则f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），即f（﹣2）=0，即①正确；②：由（1）知f（x+4）="f" （x），则f（x）的周期为4，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x），而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），则直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；③：当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，而f（x）的周期为4，∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误；④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，在[﹣2，0]上为增函数，∴作出函数在（﹣8，6]上的图象如图：则函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，故④正确．故答案为．①②④考点：命题的真假判断与应用．17．（1）S=4√2.；（2）AB=8..【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=4√3，利用余弦定理求解AB的长．（1）因为∠D=2∠B,cosB=√33,所以cosD=cos2B=2cos2B−1=−13.因为∠D ∈(0,π)，所以sinD =√1−cos 2D =2√23. 因为AD =2,CD =6，所以ΔACD 的面积S =12AD ⋅CD ⋅sinD =12×2×6×2√23=4√2.（2）在ΔACD 中，AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cosD =12,所以AC =4√3. 因为BC =4√3,ACsinB =ABsin∠ACB =ABsin (π−2B )，所以AB =8. 18．（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）欲证平面COD ⊥平面AOB ，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD 内一直线与平面AOB 垂直，根据勾股定理可知OC ⊥OB ，根据线面垂直的判定定理可知OC ⊥平面AOB ，而OC ⊂平面COD ，满足定理所需条件；（2）OD ⊥AB ，时，BD=1．根据三棱锥的体积公式求出所求即可 试题解析：（1）∵AO ⊥底面BOC ， ∴AO ⊥OC ，AO ⊥OB. (3)∵∠OAB ＝∠OAC ＝30°，AB ＝AC ＝4， ∴OC ＝OB ＝2.又BC ＝，∴OC ⊥OB ， ……6 ∴OC ⊥平面AOB. ∵OC平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB. (9)（2）∵OD ⊥AB ，∴BD ＝1，OD∴V C －OBD ＝13×12×1×2＝3 (12)考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 19．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.20．（1）2213x y +=（2）,11,.33k ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）由椭圆的第一定义可知2a =再由离心率e =ca =，可求得,,abc ． （2）由（1）得椭圆方程2213x y +=，设直线l 的方程为2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y由AOB ∠为锐角，得OA OB ⋅>0且不平行，即1212x x y y +>0,所以让直线方程与椭圆方程组方程组，消去y,得关于x 的方程，由韦达定理及判别式范围，可解得k 范围．试题解析：()1 2213x y +=()2设直线l 的方程为2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22311290,k x kx +++= 则121222129,,3131k x x x x k k +=-=++ 2=36360k ∆->，解得21k > ()()1122,,,OA x y OB x y ==()()()212121212222124912=12403131OA OB x x y y k x x k x x k k k k k ∴⋅=+=++++⎛⎫+⋅+-+> ⎪++⎝⎭解得213.3k < 21313k ∴<<，即1.k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 21．（1）切线方程：y=x ﹣1，（2）见解析，（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当a=1时，求出f （1），然后得到取得坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（2）求出函数的导数，通过a 的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数f （x ）的单调性；（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． （1）当a=1时，f （1）=0，f′（x ）=+2（x ﹣1），f′（1）=1，曲线y=f （x ）在点（1，0）处的切线方程：y=x ﹣ 1.（2）∵f（x ）=lnx+ax 2﹣2ax+a 21221()22a ax f x ax a x x-+=+='- （x>0）①当△=4a 2﹣8a≤0即0＜a≤2时，f′（x ）＞0， ∴f（x ）的单调递增区间是（0．+∞）．②当△=4a 2﹣8a ＞0时，即a ＞2时，令f′（x ）=0得12,22a a x x a a+==． ∴f（x ）的单调递增区间是（x 2，+∞）和（0，x 1），单调递减区间是（x 1，x 2）． （3）证明：∵f（x ）在（x 2，+∞）单调递增，且x 2＜1， ∴f（x 2）＜f （1）=0，不等式右侧证毕。

黑龙江省大庆实验中学第十五周 周检测试题数学（文）1．复数21i-的共轭复数是 A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是 A ．10,ln 1x x x ∃≤≥-B ．10,ln 1x x x∃≤<-C ．10,ln 1x x x∃>≥-D ．10,ln 1x x x∃><-3．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．14．在ABC ∆中，若22sincos sin cos 222B B AC ⋅=，则ABC ∆是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．非等腰三角形D ．直角三角形5．函数22021log (231)y x x =-+的递减区间为A ．1(,)2-∞B ．3(,)4-∞C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞6．张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以到达学校，甲路公交车的到站时间是6:09，6:19，6:29，6:39，…，乙路公交车的到站时间是6:00，6:10，6:20，6:30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是 A ．10% B ．50%C ．60%D ．90%A ．2133AB AC + B ．2133AB AC - C ．1233AB AC + D ．1233AB AC - 8．如图，长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点，则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A ．(4][2,)-∞-+∞ B ．[1,2]- C ．[4,0)(0,2]- D ．[4,2]-10．对于函数()||1,f x x x x =++下列结论中正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在定义域上是单调递减函数C ．()f x 的图象关于点()0,1对称D ．()f x 在区间()0,∞+上存在零点11．已知函数()()35,12,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是A ．()0,3B ．(]0,3C ．()0,2D ．(]0,212．已知函数()()221log 1f x x x=+-，则不等式()210f x ->的解集是 A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()(),01,-∞⋃+∞13．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5213S S a -=，49a =，则10S =A ．100B ．110C ．120D ．13014．若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4π C ．38π D ．34π15．已知函数()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到16．定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.30.333a f =•，()()log 3log 3b f ππ=•，3311loglog 99c f ⎛⎫⎛⎫=• ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >>17．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln 3([,2])2g x x x x =-∈的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是A ．[2ln 2-，2)B ．5[2ln 2,ln 2)4-+ C ．5(ln 2,2ln 2]4+- D ．5ln )4[2,2+姓名： 学号： 分数： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718. （15分）如图，在多面体B ACDE -中，已知2AB BC CD ===，AC =AE =4ACD π∠=，AE AC ⊥，平面ABC ⊥平面ACDE ，F 为BC 的中点，连接DF . （1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求三棱锥B DEF -的体积. A,,,ADBBA DCDDC DDCAD AD18、解：（1）证明：过D 作DG AC ⊥于G .因为AE AC ⊥，所以//AE DG ， 因为2CD =，4ACD π∠=，所以DG CG ==因为AE =AE DG =，所以四边形AGDE 为矩形，所以//ED AG ，ED AG =，取AB 的中点为H ，连接,EH HF .因为F 为BC 的中点，所以//HF AG ，HF AG =，所以//HF ED ，HF ED =，所以四边形EDHF 为平行四边形， 所以//DF EH ，因为DF ⊄平面ABE ，EH ⊂平面ABE . 所以//DF 平面ABE .（2）因为平面ABC ⊥平面ACDE ，AE AC ⊥，所以AE ⊥平面ABC .因为AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面ABC ， 因为2AB BC ==，AC =AB BC ⊥，因为平面ABE ⋂平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面ABE ， 因为四边形EDFH 为平行四边形，所以三棱锥B DEF -的体积等于三棱锥B HEF -的体积， 等于三棱锥F HEB -的体积，所以三棱锥B DEF -的体积11111•••21334346EHB S FB AB AE FB ∆⎛⎫==⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭. A。

黑龙江省大庆实验中学高三11月月考（期中）数学（文）试题2021——2021学年度高三上学期数学〔文〕试题一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.〕1．集合{}2,1,0,1A =--，{}|1B x y x ==+那么A B =( )A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}0,1D ． {}1,0,1- 2．双数z 满足(34)12i z i -=+那么z 的共轭双数是〔 〕 A ．1255i -- B ．1255i -+ C ．1255i + D ． 1255i - 3. 设a ，b R ∈，假定a b >，那么〔 〕 A.11a b< B. 22a b > C. lg lg a b > D. sin sin a b > 4．等比数列{}n a 中，，，那么〔 〕A ． 2B ．C ．D ． 4 5．平面向量满足,假定，那么向量的夹角为( )A ．B ．C ．D ． 6．函数，那么的极大值为〔 〕A. 2B.C.D. 7．设，满足约束条件那么目的函数的取值范围是〔 〕 A ． B ． C ． D ． 8．设函数()2121x x f x e e x -=+-+，那么使得()211f x ->成立的x 的取值范围是〔 〕A ． 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()1,+∞D ． 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数的图象向右平移个单位长度后失掉的函数图象关于轴对称，那么函数在上的最大值与最小值之和为〔 〕A ．B ． -1C ． 0D ．10．圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，那么当ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =〔 〕A ． 1B ． 6C ． 1或7D ． 2或611．函数()f x = 3231ax x -+，假定()f x 存在独一的零点0x ，且00x >，那么a 的取值范围为〔 〕A. ,2-∞-（）B. ,1)-∞-（C. ()1,+∞D. ()2,+∞ 12．函数()2ln f x a x x =-,在区间(0,1)内任取两个实数,p q ,且p q >，假定不等式()()112f p f q p q+-+>-恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A. ()12,+∞B. [)12,+∞C. ()24,+∞D. [)24,+∞ 二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分.〕13．双曲线的方程为221925y x -=，那么其渐近线方程为 . 14．如图，与有一个公共顶点，且与的交点平分，假定，那么的最小值为 .15．观察以上等式3333235,37911,413151719,52123252729,...=+=++=+++=++++， 假定相似下面各式方法将3m 分拆失掉的等式左边最后一个数是109, 那么正整数m =_________.16．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点和右焦点，上顶点为A ，2AF 的中垂线交椭圆于点B ，假定左焦点在线段AB 上，那么椭圆离心率为_________.三、解答题〔此题共6小题，17题10分，其他每题12分，共70分.〕17．公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a = ,且126,,a a a 成等比数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式; 〔2〕记 11n n n b a a +=求数列{}n b 的前项和. 18．设曲线C ：22250x y ax +-+=． 〔1〕假定曲线C 表示圆，务实数a 的取值范围；〔2〕事先3a =，假定直线l 过点(2,2)，且l 与曲线C 交于两点，，求直线l 的方程．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边区分为,,a b c []cos()cos 23sin cos a B C A b C A -+=. 〔1〕求角；〔2〕假定的周长为8，外接圆半径为，求的面积.20. 〔本小题总分值12分〕函数ax x x x f +-=2ln 2)( (a 为常数)．〔1〕事先2=a ，求函数)(x f 的图像在1=x 处的切线的方程；〔2〕假定函数],1[0)(e em ax x f 在=+-上有两个不等的实数根，务实数m 的取值范围. 21．函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈ 〔1〕求函数的单调区间；〔2〕事先，函数的图象恒不在轴的上方，务实数的取值范围. 22.如图，椭圆E 的左右顶点区分为A B 、，左右焦点区分为12F F 、，12||4,23AB F F ==.〔1〕求椭圆E 的规范方程； 〔2〕直线(0)y kx mk =+>交椭圆于C D 、两点，与线段12F F 及椭圆短轴区分交于M N 、两点〔M N 、不重合〕且CN MD =．求k 的值；〔3〕在〔2〕的条件下，假定0m >，设直线,AD BC 的斜率区分为12,k k ，求2122k k 的取值范围．月考数学〔文〕试题答案 一选择题DABAC BADBC AB 二填空题〔13〕. 35xy =± 〔14〕. 3222+ 〔15〕10 〔16〕33三解答题 17．〔Ⅰ〕设等差数列{a n }的公差为d 〔d≠0〕， 首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列， a 22=a 1a 6，可得〔a 1+d 〕2=a 1〔a 1+5d 〕， 可得d 2=3a 1，即d=3〔0舍去〕， 可得a n =3n ﹣2； 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，18． (1)或.(2) 0,34140x x y =+-= 19． 〔1〕由， 得，即，所以即，由于，所以.由正弦定理得， 由于，所以，所以，得.〔2〕由于的外接圆半径为， 所以，所以，由余弦定理得所以，得，所以的面积. 20.．解：〔1〕事先2a =，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(1,1)， 切线的斜率(1)2k f '==，那么切线方程为12(1)y x -=-， 即21y x =-．………………….4分 〔2〕方程()0f x ax m -+= 即为22ln 0x x m -+=，令2ln 2)(x x x g -=， 那么22(1)(1)()2x x g x x x x-+-'=-=， 由于1[,e]e x ∈，故()0g x '=时，1x =．事先11ex <<，()0g x '>；事先1e x <<，()0g x '<．故函数()g x 在1x =处取得极大值1)1(-=g ，………..8分 又212)1(ee g --=，22)(e e g -=，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<， 那么1(e)()eg g <故函数()g x 在1[,e]e 上的最小值是(e)g ．……………………….10分方程()0f x ax m -+=在1[,e]e 上有两个不相等的实数根，那么有1122-<-≤--m e，故实数m 的取值范围是21(1,2]e +． ………………………12分 21〔1〕∵，∴．①事先，那么，所以在上单调递增；②事先，那么由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，事先，的单调递增区间为；事先，的单调递增区间为，单调递减区间为.〔2〕由题意得，∵事先，函数的图象恒不在轴的上方， ∴在上恒成立． 设，那么.令，那么，①假定，那么，故在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，从而，不契合题意．②假定，事先，，在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴,从而在上，不契合题意；③假定，那么在上恒成立，∴在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，从而恒成立．综上可得实数的取值范围是.22解：〔1〕由，可知，那么b=1，即椭圆方程为…..…..〔4分〕〔2〕设D〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕易知…．〔5分〕由消去y整理得：〔1+4k2〕x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…〔6分〕且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．〔8分〕〔3〕，由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2．即，那么…〔11分〕．所以…..〔12分〕．。

2021届黑龙江省大庆中学高三第一次仿真考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =＜＜，{}220B x x x =--＞，则A B =（ ）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()1,3-C ．()(),21,-∞-⋃+∞D ．()2,3-答案：A集合A 是已知的，只需将集合B 中x 的范围求解出来表示出集合B ，再求并集即可. 集合A={}|13x x <<,220x x -->，解得1x <-或2x >,即{}|12B x x x =-或,所以 {}|11A B x x x ⋃=-或，即(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：A【点睛】注意集合B 的解集、以及求交集的准确性，区别交集和补集. 2．若a 、b 、R c ∈，则“a b <”是“22ac bc <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可得出结论. 充分性：若a b <，0c ，则22ac bc =，充分性不成立；必要性：若22ac bc <，则20c >，由不等式的性质可得a b <，必要性成立. 因此，“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．−2 B ．2 C ．12 D ．−1答案：C根据复数的运算法则，化简复数为21255a ai -++，根据复数的概念，列出方程，即可求解. 根据复数的运算法则，可得()()()()2222a i i a i i i i +++=--+21255a ai -+=+， 因为复数2a i i +-是纯虚数，所以2105a -=且205a+≠，解得12a =.故选：C ．4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)SC W N=+，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：lg 20.3010≈) A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%答案：B 先计算1000SN=和4000S N =时的最大数据传输速率1C 和2C ，再计算增大的百分比211C C C -即可.当1000SN=时，122log 1001log 1000C W W =≈； 当4000SN=时，222log 4001log 4000C W W =≈. 所以增大的百分比为：2122112log 4000lg 4000lg 4lg10001111log 1000lg1000lg1000C C C W C C W -+=-=-=-=-lg 42lg 220.30100.220%lg100033⨯==≈≈=.故选：B.5．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称答案：C根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可； 解：由函数图象可知541264T πππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in 2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C6．已知向量a ，b 满足2a =，()2a b a +⋅=，23a b -=，向量a b -与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 答案：D由给定条件依次求出a b ⋅和||b ，再利用向量夹角公式求解即得. 向量a ，b 满足||2a =，()2a b a +⋅=，则22+⋅=aa b ，得2a b⋅=-，由222223()122124412a b a b a a b b b -=⇒-=⇒-⋅+=⇒++=，得2b =，向量a b -与b的夹角为θ，()2cos23a b b a b a b bθ-⋅⋅-====-[]0,θπ∈，所以56πθ=. 故选：D7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根.则S 5=（ ） A ．10 B ．5 C ．﹣5 D ．﹣10答案：C根据a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，得到24,a a 的关系,再由()24552a a S +=求解. ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2，a 4是方程x 2+2x ﹣3=0的两实根，∴24242,3a a a a +=-⋅=-， 所以()()1524555522a a a a S ++===- 故选：C.8．已知2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．19-B ．19C ．D 答案：A 由22()266πππθθ+-=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(2)2sin ()166ππθθ-=+-，即可求值. 由题意有：22()266πππθθ+-=+，∴2cos(2)sin(2)cos 2()12sin ()26666πππππθθθθ+-=--=+=-+，又2sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1sin 269πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.9．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：A首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A10．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若//l n αβαβ⊂⊂，，，则//l n B ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥ C ．若l n m n ⊥⊥，，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥答案：D利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.A. 若//l n αβαβ⊆⊆，，，则//l n 或异面，故A 不正确；B.缺少l 垂直于交线这个条件，不能推出l β⊥，故B 不正确；C.由垂直关系可知，//l m 或,l m 相交，或是异面，故C 不正确；D.因为l β//，所以平面β内存在直线//m l ，若l α⊥，则m α⊥，且m β⊂，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：D11．已知圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ C．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞答案：B由题意，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2OQ ，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于2，即可解出不等式.由题意可得，当直线 PQ 与圆相切时，PQO ∠最大，此时2sin 30OPOQ ==︒所以要使圆22: 1O x y +=上存在点P ，直线: 40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=成立则有221d k=≤+，解得(,3][3,)k ∈-∞+∞故选：B12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且2022f x为奇函数，则不等式20220x f x e 的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．,ln 2022C ．()0,∞+D ．()2022,+∞答案：C本题首先可设()()xf xg x e =，然后根据()()f x f x '>得出()g x 为定义在R 上的减函数，再然后根据2022f x 为奇函数得出02022g ，最后将20220xf x e 转化为()()0g x g <，即可解出不等式. 设()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，()g x 为定义在R 上的减函数， 因为2022f x 为奇函数， 所以020220f ，02022f ，0002022f g e ，20220xf x e ，即2022xf xe ，()()0g x g <，0x >，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数并利用函数性质解不等式，构造函数()()xf xg x e =是解决本题的关键，考查奇函数的性质的应用，考查利用函数单调性解不等式，是中档题. 二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最小值是___________.答案：1-.画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入，即可求解.画出约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数32z x y =+，可化为直线322zy x =-+，当直线322zy x =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由0340x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，所以目标函数32z x y =+的最小值为min 3(1)211z =⨯-+⨯=-. 故答案为：1-.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b=-+ ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.14．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =_____．答案：21nn + 由11a =，11n n a a n +-=+，利用叠加法，求得1(1)2n a n n =+，求得11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，结合裂项法求和，即可求解.由11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a n +-=+， 可得1213211()()()123(1)2n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++=+，则12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 故答案为：21nn +．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为________．答案：643π先根据面面垂直，取平面PAD 的外接圆圆心G ，平面ABCD 的外接圆圆心H ，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O ，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果. 如图，取AD 的中点E ，BC 的中点F ，连EF ，PE ，在PE 上取点G ，使得2PG GE =，取EF 的中点H ，分别过点G 、H 作平面PAD 、平面ABCD 的垂线，两垂线相交于点O ，显然点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，由2AD =，4AB =，可得3PE =3GE OH ==2222125AH AE EH =++= 则半径22343(5)3r OA ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 故四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2436443ππ⨯=⎝⎭． 故答案为：643π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________． 答案：3设PF 的中点为M ，连接OM ，分析可知//OM FQ 且12OM FQ =，进而可得出12OA AF =，可得出关于a 、c 所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率. 设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法： （1）若可求得a 、c ，直接利用ce a=求解； （2）若已知a 、b ，可直接利用21b e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若得到的是关于a 、c 的齐次方程220pc qac ra ++=（p 、q 、r 为常数，且0p ≠），则转化为关于e 的方程20pe qe r ++=求解. 三、解答题17．为了宣传今年10月在某市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组 [15,25) 50.5第2组 [25,35) a0.9第3组 [35,45) 27 x第4组 [45,55)9 0.36 第5组[55,65)30.2（1）分别求出,a x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.答案：（1）18；0.9（2）35（1）根据频率表可得第1组人数为5100.5=，再结合频率分布直方图101000.0110n ==⨯，进而可求出,a x 的值（2）根据分层抽样算出各组抽取的人数，列举出所有的基本事件，再求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求解. （1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5=， 再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，270.91000.0310x ==⨯⨯.（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人. ∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：618254⨯=人， 第3组：627354⨯=人， 第4组：69154⨯=人. 设第2组的2人为12A A 、，第3组的3人为123B B B 、、， 第4组的1人为C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ， ()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15个基本事件，其中第2组至少有1人被抽中的有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C 这9个基本事件.∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为93155=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，解题的关键是列举出基本事件个数，属于基础题.18．如图，四边形ABCD 中，满足//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，3BC =，2CD =，将BAC 沿AC 翻折至PAC △，使得2PD =.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值. 答案：（Ⅰ）证明见解析；15（Ⅰ）过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE AC ⊥，垂足为E ，易得PO AC ⊥，通过勾股定理可得PO OD ⊥，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果. （Ⅰ）过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO AC ⊥， 作DE AC ⊥，垂足为E ，则3DE =，12OE =，132DO = 所以222PO DO PD +=，即PO OD ⊥ 又AC DO O ⋂=，所以PO ⊥平面ACD ， 又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则1,0,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()1,3,0AD =，13,0,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，则1302230AP n a c AD n a b ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩取法向量()3,1,1n =--，()1,3,0CD =-设直线CD 与平面PAD 所成角为θ， 则15sin cos ,5CD n θ=<>=.19．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c 且满足()cos25cos 20A B C -+-=.（1）求角A 的大小.（2）已知a =⋅b c 的取值范围. 答案：（1）3π；（2）(]2,3. （1）根据A B C π++=以及二倍角的余弦公式化简原式得到关于cos A 的方程，由此求解出cos A 的值，从而A 的大小可求；（2）先根据正弦定理求解出,b c 关于sin ,sin B C 的表示，然后根据23B C π+=以及三角恒等变换的公式化简bc 的表达式，结合B 的范围可求解出bc 的取值范围. （1）因为()cos25cos 20A B C -+-=，所cos25cos 20A A +-=， 所以22cos 5cos 30A A +-=，所以()()2cos 1cos 30A A -+=， 且A 为锐角，()cos 0,1A ∈，所以1cos 2A =，所以3A π=； （2）因为2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，所以2sin ,2sin b B c C ==，所以214sin sin 4sin sin 4sin sin 32bc B C B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos 2sin 21cos 2bc B B B B B =++-，所以2sin 216bc B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,666B πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又sin y x =在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]2,3bc ∈.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用正弦定理将边化为角的形式，结合三角恒等变换的公式进行化简求解，同时本例中角的范围确定也很重要；若题设未对三角形的形状作规定，第二问还可以采用余弦定理结合基本不等式进行求解.20．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点，且离心率为2，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且22OA OB b k k a ⋅=-.问：AOB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.答案：（1）2212x y +=；（2（1）由离心率为2，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆上，结合椭圆,,a b c 的关系，列方程组，解得22,a b ，进而可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，由22OA OB b k k a⋅=-得2212k m =-，由弦长公式可得AB ，由点到直线的距离公式可得点O 到直线AB的距离d ，再计算12AOB S d AB =⋅⋅△即可得出答案.（1）根据题意可得：2222213124c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由题意知：0m ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244212216880km k m k m ∴∆=-+-=-+>，即2221m k <+，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+，()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 22212221221222OA OBy y m k b k k x x m a -⋅===-=--，2212k m ∴=-，满足2221m k <+，AB ∴=，又点O 到直线AB的距离d =1122AOBSd AB ∴=⋅⋅=2m =把2212k m =-代入上式得：2AOB m S ==△∴AOB 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用已知等量关系得到变量之间的关系，结合韦达定理可表示出所求的三角形面积； ④化简三角形面积的表达式，消元可得定值. 21．已知0x =为函数()x f x e kx =-的极值点 （1）求k 的值；（2）若∀(0,)x ∈+∞，2()(1)1f x x a x >-+-+，求实数a 的取值范围. 答案：（1）1；（2）1a ≤.（1）由题意可知(0)0f '=，代入可求k ；（2）设2()1x g x e x ax =+--，对函数两次求导，利用导数求函数的单调性，分类讨论，根据单调性求函数值的范围，进而求得满足条件的a 的取值范围． （1）()x f x e k '=-，0(0)0f e k '=-=，解得1k =，经检验，()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，0x =为()f x 的极小值点，符合题意，因此，1k =． （2）(0,)x ∀∈+∞，210x e x ax +-->，设2()1x g x e x ax =+--，其中(0)0g = ()2x g x e x a '=+-，令()()2x h x g x e x a '==+-，则()20x h x e '=+>， ()h x ∴在(0,)+∞递增 ()(0)1h x h a >=-①当10a -≥时，即1a ≤，()0g x '≥，()g x 在(0,)+∞递增，()(0)0g x g >=符合题意， 所以1a ≤②当10a -<时，即1a >，0(0,)x ∃∈+∞，00()g x '=，在0(0,)x 上，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 递减，所以0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=不符合题意, 综上，实数a 的取值范围为1a ≤【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线π3θ=与曲线C 2交于点π2,3D ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点10(,)A ρθ，20π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，若A ，B 都在曲线C 1上，求221211ρρ+的值.答案：（1）2214x y +=；22(2)4x y -+=；（2）54（1）设圆C 2的半径为a ，可求得C 2的极坐标方程，结合点π2,3D ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线上，可求出a 的值，进而求得C 2的直角坐标方程；由曲线C 1的参数方程可求出C 1的普通方程；（2）先求得C 1的极坐标方程，结合A ，B 都在曲线C 1上，将合A ，B 的极坐标代入方程中，可得到12,ρρ的关系式，进而可求得211ρ+221ρ的值.（1）因为C 1的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)，所以C 1的普通方程为2214x y +=.曲线C 2的极坐标方程为2cos a ρθ=(a 为半径)，将D π2,3⎛⎫⎪⎝⎭代入，得1222a =⨯，解得2a =，所以圆C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，所以C 2的直角坐标方程为22(2)4x y -+=. （2）曲线C 1的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，即22244sin cos ρθθ=+，所以21220044sin cos ρθθ=+，222222000044ππsin 4cos 4sin cos 22ρθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2222000220214sin cos sin 4cos 541414θθρθρθ+=+++=.【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程间的转化，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.。

期中考试跟踪检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．集合{}2,1,0,1,2A =--，{B y R y =∈=∣，那么A B =〔〕A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}12．设复数23i 1i z =+-，那么z 在复平面中对应的点为〔〕A ．()1,4B ．()2,5C ．()4,1D ．()5,23．,,a b c ∈R ,给出以下条件：①22a b >；②11a b <；③22ac bc >，那么使得a b >成立的充分而不必要条件是〔〕A ．①B ．②C ．③D ．①②③4．函数()3311f x x x =++-，那么函数()f x 图象〔〕A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ()．A ．B ．C ．D ．6．向量()2,3a =，(),5b x =，假设()a a b ⊥-，那么x =〔〕A ．38B ．1-C ．12D ．27．()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么()y f x =的图象可由cos2y x =的图象向〔〕个单位A ．右平移3πB ．左平移3πC ．右平移6πD ．左平移6π 8．设α，β是两平面，a ，b 是两直线．以下说法正确的选项是〔〕 ①假设//,//a b a c ，那么//b c②假设a α⊥，b α⊥，那么//a b③假设a α⊥，a β⊥，那么//αβ④假设a β⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，那么a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④9．1tan 22πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么2sin cos cos sin αααα+=-〔〕 A ．-4B ．4C ．5D ．-510．0x >，0y >，且3622x y+=.假设247x y m m +>-恒成立，那么m 的取值范围为〔 〕 A ．(3,4)B ．(4,3)-C ．(,3)(4,)-∞⋃+∞D ．(,4)(3,)-∞--+∞11．在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，假设(),BF AB AD R λμλμ=+∈，那么λμ+的值是〔 〕A ．23B ．43C ．43-D ．0 12．函数2()ln(1)1f x x x =+++，假设正实数 a b ,满足(4)(1)2f a f b +-=，那么11a b+的最小值为〔〕 A ．4B ．8C ．9D ．1313．等差数列{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，假设24,a a 是方程210210x x -+=的两个实根．〔1〕求n a 及n S ； 〔2〕设()*112n a n n n b n a a +=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 〔1〕求A 的大小； 〔2〕假设a =π3B =，求ABC ∆的面积.。

黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试试题 文科数学【含答案】一、单选题1．已知集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =>．则()A B =R（）A ．[0，1]B ．（1．2]C ．(],2-∞D ．[)0,+∞ 2．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,3 3．设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）.A ．23B ．6C ．13D ．124．已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D ．56．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ） A ．44π-B ．4πC ．34π-D ．24π-7．下列说法正确的个数有（ ）①用22121()1()niii nii y y R y y ∧==-=--∑∑刻画回归效果，当2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“x R ∃∈，210x x +-<”的否定是“x R ∀∈，210x x +-≥”；③若回归直线的斜率估计值是2.25，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 2.254y x ∧=-； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是（） A ．a b c c >B ．ac bc < C ．log log c b a c > D ．cc ba ab <9．函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立,则实数a 的取值范围为 （ ） A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()xf x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，(5c f=的大小关系为（）A ．a b c >> B ．a cb >>C ． b a c >>D ．b c a >> 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()2g x x =,a b 满足3b a >>.若[]12,,2,0x a b x ⎡⎤∀∈∃∈-⎣⎦,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1C 2．2 二、填空题13．若复数z 满足()14z i -=（i 是虚数单位），则z 的虚部是______. 14．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________．15．通过市场调查知某商品每件的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下: 上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据,当0a ≠时,下列函数:①y ax k =+;②2y ax bx c =++;③log m y a x =中能恰当的描述该商品的市场价y 与上市时间x 的变化关系的是(只需写出序号即可)______.16．已知定义域为R 的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对任意[0,)x ∈+∞，均满足：()2()0xf x f x '+>.若2()()g x x f x =，则不等式g(2)g(1)x x <-的解集是__________．三、解答题（17—22为解答题，请写出必要的语言叙述；17题10分，18—22每题12分)17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 18．设()13ln 122f x a x x x =+-+曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组频数 频率 第1组[50,60) 80.16第2组[60,70) a▆第3组 [70,80) 200.40第4组 [80,90)▆ 0.08第5组[90,100]2b合计▆▆（1）求,,,a b x y的值；（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.20．为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：女生：睡眠时间（小时）[4,5）[5,6）[6,7）[7,8）[8,9]人数 2 4 8 4 2 男生：睡眠时间（小时）[4,5）[5,6）[6,7）[7,8）[8,9]人数 1 5 6 5 3（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；（2）完成下面2x2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠时间少于7小时睡眠时间不少于7小时合计男生女生合计P （2K k ≥） 0．150．100．050．0250．0100．0050．001k2．0722．7063．8415．024 6．6357．887910．828（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n=a+b+c+d ）21．如图，设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，2AF =，离心率12e =，过点()8,0P -作直线l 与椭圆相交于不同的两点,M N .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求MNF 面积的最大值.22．已知函数()()ln f x x x a =-，()1e 22xg x =-（e 为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值； （2）当1a =时， （i ）求证：当10e x <<时，()273f x x x <-； （ii ）若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.答案一、选填每题5分，满分80分 1-5．CCABC 6-10．ACDBD 11-12．DB 13．2 14．-6. 15．②16．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭17．满分10分试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，--------2分,sin cos ⎩⎨⎧==x y x x ρρ因为---------1分所以2C 的直角坐标方程为40x y +-=.------2分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos ,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，-------1分3π()2sin()2|32d αα==+-.--------2分当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2------1分 此时P 的直角坐标为31(,)22.-----1分18．满分12分解（1）因为()13ln 122f x a x x x =+-+，故可得()21322a f x x x '=--，------1分 又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =.---------2分 经检验，a =2符合题意。

黑龙江省2021年上学期大庆实验中学高三数学文开学考试试题答案一、选填每题5分，满分80分 1-5．CCABC 6-10．ACDBD 11-12．DB 13．2 14． 6. 15．②16．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭17．满分10分试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，--------2分,sin cos ⎩⎨⎧==xy x x ρρ因为---------1分所以2C 的直角坐标方程为40x y +-=.------2分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，-------1分π()sin()2|3d αα==+-.--------2分当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α------1分此时P 的直角坐标为31(,)22.-----1分18．满分12分解（1）因为()13ln 122f x a x x x =+-+，故可得()21322a f x x x '=--，------1分 又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =.---------2分 经检验，a =2符合题意。

---------2分 （2）由（1）可知，()()()()23111321,222x x f x lnx x f x x x --=+-+-'=， 令()0f x '=，解得121,13x x ==，-------1分 又因为函数定义域为()0,+∞，分或得由-1-------131000)(><<⎩⎨⎧>>'x x x x f分或得由-1-------131000)(><<⎩⎨⎧><'x x x x f故可得()f x 的单调递减区间为10,?3⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞，单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.-------2分故()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.------2分19．满分12分解：（1）由频率分布表可得20.0450b ==-------1分 [80,90)内的频数为500.084⨯=,∴508204216a =----=----------1分∴[60,70)内的频率为160.3250= ∴0.320.03210x ==----------------------2分 ∵[90,100]内的频率为0.20XX∴0.040.00410y ==---------------------2分 （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b ------------1分 从中任取2人的所有基本事件为：()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.-------------2分至少一人来自第5组的基本事件有：()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.------------1分 所以93155P ==.---------1分∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35.---------1分 20．满分12分解：（1）选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为A ，B ，睡眠时间在[5,6）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，-------1分从中选取3人的情况有ABa ， ABb ， ABc ， ABd ， Aab ，Aac,Aad, Abc, Abd,Acd,Bab, Bac, Bad, Bbc, Bbd, Bcd, abc, abd, acd, bcd,,共20种，---------2分 其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，---------1分因此有3人中且有一个为“严重睡眠不足”的概率为123205=---------2分 （2）-----------------2分()2220126-14840=0.440 2.7062026142091K ⨯⨯=≈<⨯⨯⨯,----------3分 所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．--------1分 21．满分12分解（1）因为2AF a c =-=，12c e a ==， 所以2c =，4a =，所以b ==，故C 的标准方程为2211612x y +=.-------------4分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为8x my =-，联立228,1,1612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，由()()()2224843414457640m m m =--+⨯=->△，解得2m >或2m <-， 且1224834m y y m +=+，12214434y y m =+，-----------2分21MN y =-=.------1分 又点F 到直线l的距离d ==--------1分所以2211223434MNFS MN d m m =⋅=⨯=++△7216=≤=------------2分当且仅当=，即m=时取等号，--------1分所以MNF面积的最大值为分22．满分12分解：（1）依题()ln1f x x a'=-+，()10e af x x-'=⇒=，--------------1分------------2分列表分析可知，()11e a af f e--==-极小值，()f x无极大值.----------1分（2）（i）证明：当10xe<<，欲证()273f x x x<-，即证()27ln13x x x x-<-，即证7ln13x x-<-，即证4ln03x x-->.-------------------------------------------2分构造函数：()4ln3h x x x=--，则有()1110xh xx x-'=-=<，说明()h x 在ex 10<<单调递减，于是得到()111411ln 033h x h e e e e ⎛⎫>=--=-> ⎪⎝⎭.-------2分 （ii ）解：对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=. 因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增.（1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()()2101mm e m m ϕ=--<≤，则有()2mm e ϕ'=-.由此可得：当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<； 当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>，即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时，单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()10ϕ=，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-.依据题意可知()()101031ln 322m m e f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.--------------4分。