现代数值计算方法第一章

大连理工大学运载工程与力学学部

第一章绪论

第二章代数插值法

第三章数据拟合与最小二乘法

第四章数值积分与数值微分

第五章非线性方程及方程组的解法

第六章线性方程组的解法

第七章矩阵特征值与特征向量的计算

第八章常微分方程数值解法计算方法

§1.1 计算方法的任务与特点第一章:绪论

实际问题数学问题提供计算方法

程序设计上机计算结果分析计算方法

求精确解(值)一般非常困难。例如：

1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度

1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;

好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性

问题。

2. 特征值定义

)0(xxAx

0xAx0)(xIA

0||IA

3. 形式复杂时求根和求积分很困难。

4.线性微分方程易解，如

非线性方程难解，如)(xf

12'"

yyy

1)0()0('

yy

1sin2"

yyyey

1)0()0('

yy

希望：求近似解，但方法简单可行，行之有效

（计算量小，误差小等）。以计算机为工

具，易在计算机上实现。

计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运

算和一些逻辑运算。

计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只

进行加，减，乘，除等基本运算——

数值方法。

§1.2 误差基础知识

, ......

!5!3sin53

xx

xx

......

!5)

!3(sin53

xx

xx一.误差来源（分类）

1. 模型误差。

2. 观测误差。

3. 截断误差，如

右端是截断误差。

4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确

存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进

制数限制下：

舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中

是否能有效控制。3333333333.031

）本应33333333333.031(

000004.1)000002.1(2



））本应（

122

104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1(

，。第一章 绪论（12）

1、设0x，x的相对误差为，求xln的误差。

[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*xr，绝对误差为**)(xx，从而xln的误差为*****1)()(ln)(lnxxxxx，

相对误差为****lnln)(ln)(lnxxxxr。

2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*xr，绝对误差为**%2)(xx，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln*，

相对误差为%2)()(ln)(ln***nxxxnr。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1x，031.0*2x，6.385*3x，430.56*4x，0.17*5x。

[解]1021.1*1x有5位有效数字；0031.0*2x有2位有效数字；6.385*3x有4位有效数字；430.56*4x有5位有效数字；0.17*5x有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,xxxx均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1xxx；

[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(xxxxxfxxxenkkk；

（2）*3*2*1xxx； [解]52130996425.01009964255.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*xxxxxxxxxxxfxxxenkkk；

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）

为 的相对误差，当较小时，令

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为： 即:

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例:设x==3。1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.

科学计数法：记有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为

由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字

令

1. x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和

2. x-y近似值为

3. xy近似值为

4.

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量

第二章

非线性方程求根

1。逐步搜索法

设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发， 按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk）=f（a+kh）的符号，若f（xk)〉0(而f（xk-1）<0)，则有根区间缩小为［xk-1，xk] （若f（xk）=0,xk即为所求根)， 然后从xk—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜xk—xk-1｜<为止，此时取x*≈(xk+xk-1）/2作为近似根.

2。二分法

设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0， f（b)〉0。将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。

3.比例法

一般地,设 [ak，bk］为有根区间，过（ak， f（ak）)、 (bk, f（bk）)作直线，与x轴交于一点xk，则:

数值计算方法

1 第一章作业

1.对一个数求和100000次。对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。

问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。

程序编写如下：

运行结果：

实验结果分析：

不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。双精度的情况下，该误差小得多。 数值计算方法

2 2.如果||1x，23111xxxx…

当x=0.1时，从111x开始，然后每次加入一项来分别计算1/0.9。在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。

问题分析：

本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：

256s(0.510)%510

近似百分比误差为：

-100%a当前近似值前一近似值当前近似值

真误差为：

-100%真值近似值真值

跳出循环的标准为：a|s

程序编写如下：

数值计算方法

3 运行结果如下：

实验结果分析：

实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。我们可以通过改变s的值来调节所需要的计算精度。