现代数值分析

数值分析技术在当今数字化时代，数值分析技术已成为科学研究和工程实践中不可或缺的一部分。

它涉及使用数学模型和算法来近似解决实际问题，特别是在解析解难以获得或不存在时。

本文将简要介绍几种常见的数值分析技术及其应用。

插值法插值是一种估计未知数据点的方法，基于已知数据点的信息。

多项式插值是最常见的一种，其中拉格朗日插值和牛顿插值是两种基本形式。

插值方法广泛应用于信号处理、图像重建等领域。

数值积分与数值微分数值积分用于计算定积分的近似值，常见的方法包括梯形法则、辛普森法则等。

数值微分则是通过差分公式来估计函数导数的过程。

这些技术在物理、工程学及经济学中广泛应用，用以解决无法直接求解的实际问题。

常微分方程数值解法常微分方程在自然科学和工程中扮演着重要角色。

欧拉方法、龙格-库塔方法是求解常微分方程的常用数值技术。

这些方法允许我们模拟复杂系统的动态行为，如天气预测和电路分析。

线性代数中的数值技术线性代数是数值分析的基础，涉及矩阵运算、线性方程组的求解等。

高斯消元法、LU分解和奇异值分解是解决线性方程组的常用技术。

此外，特征值问题也经常通过数值方法来解决，如幂迭代法和QR算法。

优化算法优化算法用于在给定约束条件下寻找最优解。

梯度下降法、牛顿法和遗传算法是解决优化问题的常见数值技术。

这些方法在机器学习、金融分析和供应链管理等领域有着广泛应用。

误差分析在数值分析中，了解和控制误差至关重要。

误差来源包括舍入误差、截断误差和离散化误差。

通过误差分析，可以评估数值方法的可靠性和有效性，进而选择合适的算法。

总结而言，数值分析技术为解决复杂的科学和工程问题提供了强有力的工具。

通过上述技术的学习和实践，可以更好地理解和应对现实世界的挑战。

随着计算技术的发展，数值分析将继续在多个领域发挥其重要作用。

数值分析解决实际问题数值分析是一种利用数值计算方法解决实际问题的数学分支。

它通过数值计算和近似方法，对实际问题进行数值求解和模拟，从而得到问题的近似解或数值解。

数值分析广泛应用于科学、工程、经济等领域，为实际问题的求解提供了有效的工具和方法。

数值分析的基本思想是将实际问题转化为数学模型，然后利用数值计算方法对模型进行求解。

在实际问题中，往往存在复杂的数学模型，无法通过解析方法求得精确解。

而数值分析则通过离散化、近似和迭代等方法，将问题转化为数值计算问题，从而得到问题的近似解。

数值分析的方法包括数值逼近、数值积分、数值微分、数值代数方程求解、数值常微分方程求解等。

其中，数值逼近是数值分析的基础，它通过构造逼近多项式或插值函数，将函数的近似值与精确值进行比较。

数值积分和数值微分则是对函数的积分和微分进行数值计算，通过数值方法得到函数的近似积分值和导数值。

数值代数方程求解是对线性方程组或非线性方程进行数值求解，通过迭代方法得到方程的近似解。

数值常微分方程求解是对常微分方程进行数值求解，通过数值方法得到方程的近似解。

数值分析在实际问题中的应用非常广泛。

在科学研究中，数值分析可以用于模拟物理过程、求解微分方程、优化问题等。

在工程领域中，数值分析可以用于模拟结构力学、流体力学、电磁场等问题，优化设计和参数优化等。

在经济领域中，数值分析可以用于金融风险评估、投资组合优化、经济模型求解等。

数值分析还可以应用于医学图像处理、信号处理、数据挖掘等领域。

数值分析的发展离不开计算机技术的支持。

计算机的出现和发展，使得数值计算变得更加高效和精确。

计算机可以进行大规模的数值计算和复杂的迭代运算，大大提高了数值分析的计算能力和求解精度。

同时，计算机还可以进行可视化和图形化处理，将数值结果以图形的形式展示出来，使得问题的求解更加直观和易于理解。

总之，数值分析是一种重要的数学工具，可以解决实际问题中的数值计算和模拟。

它通过数值计算方法和近似方法，对实际问题进行数值求解和模拟，为科学、工程、经济等领域的问题求解提供了有效的工具和方法。

现代数值分析蔡光程课后习题答案1.取314，3.15，227’113355作为TT的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解:(1)绝对误差:e(x)=-314=314159265…-314=000159…≈00016。

相对误差:e,(x)=e(x)_0.0016≈0.51x10-3x3.14有效数字:因为TT=314159265=0314159265…x10314=0314x10,m=]。

而-314=314159265…-314=000159…所以|-3.14|=0.00159…≤0.005=0.5x10-°==x10-2 ==x10-所以，314作为TT的近似值有3个有效数字。

(2)绝对误差:e(x)=-315=314159265…-314=-0008407…≈-0.0085。

相对误差:-0.0085e,(x)=e(x)≈-0.27x10~23.15有效数字:因为TT=314159265…=0314159265…x10,315=0315x10，m=l。

而π-315=314159265…-315=-0.008407…所以|π-3.15| =0.008407…0.05=0.5x10=2x10=2x10所以，315作为T的近似值有2个有效数字。

(3)绝对误差:e()=n-22=314159265-3142857143=-0001264493…~-00013相对误差:e(x)= e(x) -0.001322~-0.41x10-3有效数字:因为T=314159265…=0314159265…x10,7 221428714303142857143x10,m=1。

研硕16《化工数值方法及Matlab应用》试题班级姓名成绩1．（15分）数值计算方法的主要研究对象有哪些？其常用基本算法主要包括哪三个方面？举例说明Matlab在解决化工数值计算问题方面有什么样实用价值？答：（1）数值计算方法的主要研究对象为非线性方程求根，插值法、曲线拟合、数值积分、常微分方程（组）、初值问题求解、线性和非线性方程组求解。

（2）基本算法包括①离散化方法：用差商代替导数、差分代替微分等，将连续的数学问题转化为离散问题。

②逼近方法：用简单函数的值近似代替求解困难或形式未知的复杂函数的值。

③迭代法：用一个固定公式反复计算，对较为粗糙的根的近似值进行加工直到满足精度要求的方法。

（3）Matlab在解决化工数值计算问题的实用价值有：数值计算和符号计算功能；图形功能；MATLAB语言；功能性和学科性工具箱。

2．（10分）数值计算中的“曲线拟合”，一般有哪些方法？请至少指出四种，并简述各自的基本特点。

答：（1）拉格朗日插值：，优点在于不要求数据点事等间隔的，缺点是数据点不易过多，当数据比较多时，差值函数有偏离原函数的风险；（2）牛顿插值法：它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。

同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。

（3）牛顿迭代法：牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

（4）区间二分法：优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的。

缺点：收敛速度太慢，浪费时间，二分法不能求复根跟偶数重根。

（5）最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

3. （15分）在298K 下，化学反应 2OF 2=O 2+2F 2 的平衡常数为0.410 atm ，如在298K 下将OF 2 通入容器，当t=0 时为1 atm ，问最后总压是多少？取计算精度为10-3。

第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 满足y 定义在得。

如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k<1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。

，（ii）k是一个正常数，。

如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

波理尔查. 诺二分法(二分法定)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。

复习题（一）一、填空题：1、求方程的根，要求结果至少具有6位有效数字o已知，则两个根为________________________ ，__________________ . _______________ （要有计算过程和结果）2、，则A的LU分解为。

3、，则_____ ，二4、已知，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得，用三点式求得5、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为______ ，拉格朗日插值多项式为____________ . _________二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（）•A・A的各阶顺序主子式不为零 B.C. D.2、设，均差=（）.B. -3C. 53、设，则为（）.A. 2B. 5C. 7D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为（）•A. 2B.5C. 3D.45、幕法的收敛速度与特征值的分布（)0A. 有矢B. 不一定C.无另三、计算题：1、用高斯•塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）•2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。

3、已知132 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）•4、取步长，用预估■校正法解常微分方程初值问题求的二次拟合曲线，并求的近似值。

6、证明方程=0在区间（0,1 ）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值五位小数稳定。

复习题（一）参考答案—、1,2、3 、，84、5求积公式为当时 > 公式显然精确成立；当时，左二，右二。

所以代数精度为3 2、差商表为4、解:即5、解:正规方程组为复习题（二）一、填空题：1近似值尖于真值有（）位有效数字；2、的相对误差为的相对误差的（）倍;设可微，求方程的牛顿迭代格式是（）4、对，差商(),()；5、计算方法主要研究()误差和()误差；6、用二分法求非线性方程f (x)二0在区间(a, b)内的根时，二分n次后的误差限为0 ；7、求解一阶常微分方程初值问题=f(X, y)，y(xo)=yo的改进的欧拉公式为0 ；8已知f⑴二2, f (2)二3, f(4)=，则二次Newton插值多项式中好系数为();9、两点式高斯型求积公式~ ( ) ，代数精度为0 ；10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为() 。

现代数值分析方法科学版教学设计简介现代数值分析方法科学版是一门高级课程，主要涉及数值分析中的一些重要理论和方法，在计算科学、数学、物理等领域有广泛的应用。

课程主要目的是让学生掌握现代数值方法的理论与实践，并能够运用数值分析方法解决实际问题。

教学内容课程主要包括以下内容：1.数值解线性系统：包括矩阵及其性质、直接和迭代法求解线性方程组、预处理和加速等方面；2.非线性方程组的求解：包括牛顿迭代法、拟牛顿法、全局最优化算法、不动点迭代法等；3.插值及其应用：包括拉格朗日插值法、分段线性插值法、Hermite插值法、样条插值等；4.最小二乘问题及其应用；5.数值微积分：包括求导数值方法、数值积分方法等；6.偏微分方程数值解法：含偏微分方程数值解基本理论、常微分方程数值解法、一步数值积分法与多步数值积分法、常行波数值解等。

教学方法1.讲授与课堂讨论相结合：老师通过讲授理论知识，重点讲解数值分析中的一些难点和重点，引导学生运用课上所学知识解决实际问题，同时鼓励学生参与课堂讨论，提高思维和理解水平；2.上机实验：实验是提高学生实践能力的有效方式，可以加深学生对理论知识的理解和掌握，提高学生数值计算的能力，并为学生提供实际问题的解决方案；3.实践案例：通过实践案例提高学生解决问题的能力和思维水平，例如对流扩散方程，非线性方程组的求解等实际问题。

## 教材《数值分析（第4版）》、《现代数值方法——算法与分析》评价方法1.平时成绩：包括课堂表现、作业、实验等；占比40%。

2.期中考试：占比30%。

3.期末考试：占比30%。

教学进度安排时间教学内容第1周数值解线性系统及直接法解线性方程组第2周迭代法解线性方程组第3周预处理和加速第4周非线性方程组的求解时间教学内容第5周插值及其应用第6周最小二乘问题及其应用第7周数值微积分第8周偏微分方程数值解法第9周课堂讨论、实验第10周课堂讨论、实验第11周期中考试第12周案例分析、课堂讨论第13周案例分析、课堂讨论第14周案例分析、课堂讨论第15周案例分析、课堂讨论第16周期末考试总结本课程主要涉及数值分析中的一些重要理论和方法，通过理论讲解和实践操作，使学生全面掌握现代数值方法的理论和方法，并能够应用数值分析方法解决实际问题。

中科院数值分析课件一、概述数值分析简单来说，就是研究数字世界的学问。

大家可能觉得数学都是高深莫测的，但数值分析其实与我们日常生活息息相关。

当我们用手机计算距离、用计算器解方程时，背后都有数值分析的影子。

那么今天我们就来聊聊《中科院数值分析课件》这个话题带大家走进数字的世界。

这个课件到底讲了些啥？其实它主要介绍了数值分析的基本概念、方法和应用。

别看它内容高大上，但其实都是实用又接地气的东西。

我们学习数值分析，就是为了解决实际问题，更好地服务于生活和工作。

所以大家在学习的时候，不要觉得它遥不可及，其实它就在我们身边。

让我们一起探索这个神奇的世界吧！1. 介绍数值分析的重要性和应用领域数值分析是现代科学研究的基础工具之一，在现实生活中，我们常常遇到各种问题，比如天气预报、工程建设、经济预测等。

这些问题的解决往往离不开数值分析技术，它可以模拟复杂现象的变化趋势，帮助我们更准确地预测未来可能出现的情况。

可以说没有数值分析，很多现代科技领域的发展都会受到极大的限制。

2. 简述中科院数值分析课件的背景和目的随着科技的飞速发展，数值分析在各个领域的应用越来越广泛。

为了更好地满足教学和科研的需求，中科院制作了一系列的数值分析课件。

这些课件不仅为我们提供了丰富的理论知识和实践方法，还帮助我们更深入地理解数值分析的重要性和应用场景。

通过学习和使用这些课件，我们可以更高效地掌握数值分析的方法和技巧，为未来的工作和学习打下坚实的基础。

同时这些课件也有助于我们更好地理解和应用各种数学模型，从而更好地解决实际问题。

因此中科院数值分析课件的出现，无疑为我们提供了一个宝贵的学习资源和工具。

二、数值分析的基本概念数值分析听起来好像很高大上，但其实它是数学的一个分支，专门研究如何解决问题的一种实用方法。

它就像是一把钥匙，能打开解决各种实际问题的大门。

今天我们就来聊聊数值分析的基本概念，先让大家有个简单的认识。

数值分析的核心思想是把复杂的问题转化为简单的数学问题，然后利用计算机进行计算。

数值分析期末总结论文一、课程概述数值分析是计算数学的重要分支，主要研究数值计算方法和算法，并通过计算机实现，解决实际问题中数字计算的相关难题。

本学期的数值分析课程主要介绍了数值计算中的数值误差、插值与逼近、数值积分与数值微分以及常微分方程的数值解法等内容。

二、知识点总结1. 数值误差在计算过程中，由于计算机系统的有限位数表示和处理能力的限制，导致数值计算结果与精确解之间存在误差。

数值误差主要包括截断误差和舍入误差。

我们学习了数值计算中的绝对误差和相对误差，并介绍了浮点数表示法和浮点数运算的原理。

另外，对于一些特殊函数，如指数函数和三角函数，我们还学习了它们的数值计算方法。

2. 插值与逼近在实际问题中，往往需要根据已知数据点，通过插值或逼近方法得到未知点的近似值。

我们学习了插值多项式的构造方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值。

在逼近方法中，我们学习了最小二乘逼近原理，介绍了线性最小二乘逼近和非线性最小二乘逼近的相关概念和方法。

3. 数值积分与数值微分数值积分是计算定积分的近似值的方法。

我们学习了数值积分的基本概念和方法，包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。

与数值积分相对应的是数值微分，它是计算导数的近似值的方法。

我们学习了差商公式和微分方程初值问题的数值解法。

4. 常微分方程的数值解法常微分方程是自然科学和工程技术领域中常见的数学模型。

我们学习了常微分方程数值解法的基本思想和方法，包括欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

三、学习收获1. 理论知识：通过本学期的学习，我对数值分析领域的基本概念和方法有了更深入的理解。

掌握了数值计算中的数值误差分析方法，为后续计算准确性估计提供了基础。

了解并熟悉了插值与逼近方法，为解决实际问题提供了有效途径。

学习了数值积分与数值微分的基本原理和计算方法，提高了数值计算的准确性和效率。

初步了解了常微分方程的数值解法，为解决实际科学问题提供帮助。

2. 实践能力：通过编程实践，我得到了锻炼和提高。

第一章绪论上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。

它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。

在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。

在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。

然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。

近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。

1 数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。

概括为由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。

如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。

因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。

它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。

有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。

因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。

数值分析在交通中的广泛应用随着交通工具科技的不断创新, 越来越多的数字化技术开始在交通领域中得到广泛应用。

其中, 数值分析技术是其中最为重要的一种技术, 在交通中的广泛应用, 不仅带来了更加高效、安全、便捷的出行体验, 同时也推动了整个交通领域的迅速发展。

一、数值分析在交通规划中的应用数值分析技术在交通规划中的应用是最为广泛的, 主要依托于地理信息系统（GIS）技术。

通过针对城市内交通需求和流量的分析和预测, 可以更为合理地进行道路和公共交通设施的规划和建设。

同时在交通领域的生态分析中, 数值分析技术也能够帮助进行空气质量、噪声污染等方面的评估, 预测污染影响范围, 并优化交通规划、道路设计和布局方案。

二、数值分析在车辆控制中的应用数值分析技术在车辆控制方面的应用也越来越广泛。

例如汽车防抱死系统（ABS）和电子车身稳定控制系统（ESP）等, 都是基于数值分析技术开发的, 通过精细的数据处理, 利用传感器实时采集车辆的行驶状态和环境信息, 实现车辆的自动控制, 提高了行驶的安全性和稳定性。

三、数值分析在交通管理中的应用数值分析技术在交通管理方面也发挥着重要作用。

例如交通灯控制、红绿波协调等, 都是利用数值分析技术进行优化设计和实现控制的。

同时还可以通过交通流量监测等手段, 精确预测交通拥堵状况, 实现智能交通管理, 提高城市出行效率。

四、数值分析在路径规划中的应用随着智能导航技术的迅速发展, 数值分析技术也逐渐成为其中不可或缺的一环。

更为智能的路径规划, 可以让用户根据时段、交通状况和实时路况等多种因素, 自动选择最优路径和交通工具, 最大程度地优化出行时间和成本, 提高了出行的舒适性和效率。

五、数值分析在智慧交通系统中的应用智慧交通系统是指通过先进的传感器技术、无线通信技术、云计算技术等, 对交通设施、交通工具、交通数据等进行精细化管理和智能化控制的系统。

数值分析技术正是在这样的系统中扮演着重要的角色, 通过对大量数据的高效处理和分析, 实现交通信息的可视化、可查询、可交互化, 为城市的智慧发展做出了重要的贡献。