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《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法练习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）8. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有数数字。
13.计算取，利用式计算误差最小。
四个选项：习题二1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.717364. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知，求及的值。
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。
X 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921F (x) 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.340667. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
fuxiti例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。
一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有位， 位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定 ？1） 绝对误差 ， 相对误差 ， 有效数字 ， 截断误差 ， 舍入误差 。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722 = 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =14.3E = 14.30013.0 = 0.00041.3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=n < =21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 .4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x nx E n nn-=≈--)(11)()(1)()(*****11****x E nxx x nxx x x nxx E x E r nn nn n r =-=-≈=-5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(10421--⨯⨯=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47.6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，所以)(*x E < = 0.005 cm .7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-, 所以n x nE xx x nxx E x E r nnnr 01.0)()()(*==-≈=.8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-= tt E gtt t gt SS S S E r )(22/)()(2**=-≈-=由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形. 12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x -| < = δ=⨯-21021于是有|*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10 |*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210类推有 |*1010x x -| < =810102110⨯=δ即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习 题 二1、 解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1104101110112→ 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--24721250413→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1472250413→ 21=x , 12=x , 2/13=x .（3）适用于计算机编程计算.2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114-=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l 6/1/114141-==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l 10/1/)(2212414242=-=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u从而， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3101141101421126 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--137/910/16/1015/16/10013/10001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/955010/910/37003/13/23/1001126由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 31022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l3331=l 3632-=l 233=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-23633036332003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T .第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 123022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 331=l 632-=l 333=l因此， L ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-363036332003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66-，33）T.第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T .4、解： 对1=i , 2111==a d ； 对2=i , 121-=t , 2121-=l , 252-=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732-=l ,5273=d .所以数组A 的形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=527572102521002A求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T .求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10100000000010010015432l l l l⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡543210600000000600006006u u u u u计算各元素得： 51=u , 512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u ,65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51-，191，651-，211212）T . 求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395-，665212）T .（2）设A = LU = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100100132l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3211001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+--=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+--=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+--=+k k k x x x 14141)(3)1(1)1(2+--=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+--=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)(1)1(2++-=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+-=+k k k x x x525351)(3)1(1)1(2++-=++k k k x x x 5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
(2) 雅可比迭代法：写出雅可比迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1---=+k k k x x x 52141)(3)(1)1(2+-=+k k k x x x10310351)(2)(1)1(3++-=+k k k x x x取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到18次达到精度要求,)18(x= （－3.999，2.999，1.999）T .高斯－赛德尔迭代法：写出高斯－赛德尔迭代法公式：5125152)(3)(2)1(1---=+k k k x x x52141)(3)1(1)1(2+-=++k k k x x x10310351)1(2)1(1)1(3++-=+++k k k x x x取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到8次达到精度要求,)8(x= （－4.000，2.999，2.000）T .8、SOR 方法考试不考。
