函数值域求法导学案

第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[答案] (1)D (2)B 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3[答案] B考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[答案] D[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________. 解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2.答案：23．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________． 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( ) A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 解析：选B 9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案：(0,1]10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 答案：－211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。

备注
1-4题基础学生板演
5-6题优秀学生板演
3个例题学生板演学生点评教师总结
例4学有余力学生完成
课堂检测——三角函数的最值与值域姓名：
1.函数f(x)=tan x( ＞0)的图象的相邻的两支截直线y= 所得线段长
为 ,则f（ ）的值是.
2.已知函数f(x)=2sin x( ＞0)在区间 上的最小值是-2，
3、函数 的最大值为
4、函数y= 的最小值为
5、设 ，则函数 的最小值为．
6、 的值域为
变式 的值域为
7、已知 当 时，︱ ∣<2,求a的范围。
四：课堂研讨
例1：⑴已知 的定义域为 ，值域为 ，求 的值.
⑵求函数 的最小值.
例2：求函数的最值.（1） ；（2）
例3：已知 的最大值为 ，求实数a的值.
M
ABCD来自EFH
G
例4：（备选题）体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，ABCD是正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40m，矩形AGHM就是计划的健身室，G、M分别在AB、AD上，H在弧EF上，设矩形AGHM面积为S，∠HCF= ，将S表达为 的函数，并且指出H在弧EF上何处时，健身室面积最大，最大值是多少？
则 的最小值等于.
3.求下列函数的值域：
(1)y= ;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos +2cosx.
课外作业——三角函数的最值与值域姓名：
1.已知f(x)=sin ( ＞0),f =f ,且f(x)在区间
上有最小值，无最大值，则 =.
2.函数f(x)=sin2x+ sinxcosx在区间 上的最大值是.

函数的概念 一、学习目标通过丰富实例，使同学建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依靠关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言来刻画函数，培育同学的抽象概括力量，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三个要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解区间的概念，体会区间表示集合的意义与作用，会推断两个函数是否相等.重点：函数概念的理解，函数的三要素；难点：函数概念及符号)(x f y =的理解 二、学问回顾（你已做好学问预备了吗？你肯定还记得以下学问吧！） 1. 函数在学校是怎样定义的？ 2.填表函数一次函数二次函数反比例函数0>a0<a解析式 X 的范围 Y 的范围三、预习自学（自主学习课本15～19 页，了解本节学问点） 1．函数的概念：（结合课本实例，形成函数概念）设B A 、.是两个 的 ，假如依据某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 确定的数()x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作A x ∈.2．函数的三要素：在函数()x f y =中，其中x 叫 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 的值 叫做 ，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的 ，那么值域是集合B 的 .（留意：函数的定义域与函数的值域都是以集合的形式呈现的） 、 和 是函数的三个构成要素.3．区间的概念？如何用区间表示数集？（规定，符号）4．相等函数 ： 四、探究合作（师生互动，合作探究，分组呈现，点拨提升！） 问题：下面哪些能构成集合A 到集合B 的函数 （1）某位同学的几次考试状况如下：序号（数） 1 2 3 4 5 6 分数909390因病缺考9892集合{}{},92,98,93,90,6,5,4,3,2,1==B A 能否构成集合A 到集合B 的函数？ （2）高一（6）班的同学组成集合A ，教室里的座椅组成集合B ，每一位同学都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子．这能否算作一个集合A 到集合B 的函数的例子？ 思考：1.理解函数B A f →:的概念你认为应把握哪几个关键词？2.函数的构成要素有哪些？一个函数必需具备全部要素吗？这些要素之间有什么关系？3.你认为若要判定两个函数相等，至少要满足什么条件？4．符号()x f 是什么意思？()()x f a f 与有什么区分？5.函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。

§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。

显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。