三角函数值域的求法(教案)

求三角函数的值域(或最值)的方法三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下．1 配方分析法如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法．例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．解原函数可化为当sinx＝1时，y max＝1；当sinx＝－1时，y min＝－9，∴原函数的值域是y∈[－9，1]．注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意．“cosx”，再求已知函数的最值例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝3 求反函数法如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．∴原函数的值域是4 应用函数的有界性上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下．解由原式可得(3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y，则上式即为利用函数的有界性有∴原函数的值域是5 部分分式分析法例5求下列函数的值域：当sinx＝－1时，y有极小值，y极小＝2；∴原函数的值域是(2)原函数化为部分分式为：∴原函数的值域是6 应用平均值定理求最值例6求函数y＝(1＋cosx)sinx，x∈[0，π]的最大值．7 换元法例7求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解原函数即为y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，∴原函数即为8 应用二次函数的判别式求最值9 几何法求函数的最值两点的直线的斜率，在平面直角坐标系中作出点(2，2)和单位圆，则很容易确定y的取值范围．得(k2＋1)x2－(4k2－4k)x＋4k2－8k＋3＝0，Δ＝(4k2－4k)2－4(k2＋1)(4k2－8k＋3)＝－12k2＋32k－12．10 应用函数的单调性。

所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。

三角函数教案三角函数教案（精选4篇）三角函数教案篇11、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:即:一角的正弦大于另一个角的余弦。

2、若 ,则 ,3、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。

4、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。

5、及的图象的对称中心为 ( )。

6、常用三角公式:有理公式: ;降次公式: , ;万能公式: , , (其中 )。

7、辅助角公式: ,其中。

辅助角的位置由坐标决定,即角的终边过点。

8、时, 。

9、。

其中为内切圆半径, 为外接圆半径。

特别地:直角中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径。

10、的图象的图象( 时,向左平移个单位, 时,向右平移个单位)。

11、解题时,条件中若有出现,则可设 ,则。

12、等腰三角形中,若且 ,则。

13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为。

14、 ;三角函数教案篇2二、复习要求1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。

为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。

反表示法
两边平方
四）二合一
五） 其他形式：
y
1
2
0
2x
六：应用题求最值
D
C
A
B
值域
最值 周期
[1,1]
T2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
直接代入法
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
最小值是
二)二次型
二次函数法
点拨:1.换元(注明新元取值)
2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
2.
y
写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
y= sinx和 y= cosx， x [0, 2 ]的简图：
最小值是
2.
根据图象写出不等式的解集
y=cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 三角函数定义域值域的求法
-1
0
1 2
1
t
练习：口答下列函数的值域
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
点拨:统一函数名
三） 分式型 点拨: 1.反表示
三角函数定义域值域的求法

小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没

初中数学教案三角函数的概念与计算方法在解决初中数学教学中，三角函数的教学难点上，教师需要运用准确的概念与计算方法，使学生对三角函数有深入的理解。

本教案将重点介绍三角函数的概念以及相关计算方法，并通过不同形式的练习来巩固学生的掌握程度。

一、三角函数的概念1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的一组函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

其中，正弦函数(记作sin)表示一个角的对边与斜边的比值；余弦函数(记作cos)表示一个角的邻边与斜边的比值；正切函数(记作tan)表示一个角的对边与邻边的比值。

2. 三角函数的值域正弦函数和余弦函数的值域均为闭区间[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。

二、三角函数的计算方法1. 弧度制与角度制的转换角度制是一种常用的角度计量单位，而弧度制是以弧长为单位的角度计量方法。

弧度制与角度制的转换公式为：弧度数 = 角度数× π/180；角度数 = 弧度数× 180/π。

2. 三角函数的计算方法(1) 根据已知边长求三角函数值：- 已知对边和斜边，可使用正弦函数求解：sinA = 对边/斜边。

- 已知邻边和斜边，可使用余弦函数求解：cosA = 邻边/斜边。

- 已知对边和邻边，可使用正切函数求解：tanA = 对边/邻边。

(2) 根据已知三角函数值求边长：- 已知正弦值和斜边，可求得对边：对边 = 正弦值 ×斜边。

- 已知余弦值和斜边，可求得邻边：邻边 = 余弦值 ×斜边。

- 已知正切值和邻边，可求得对边：对边 = 正切值 ×邻边。

三、教学实施1. 导入通过问题引入，如："当一个人站在阳台上，从眼睛到楼底的距离为1.8米，他的视线与楼底的水平线的夹角是多少？"2. 概念讲解简要介绍三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数与角度以及边长之间的关系。

3. 计算方法演示通过示例演示，按照已知条件求解未知边长或已知边长求解三角函数值的计算方法。

分式三角函数值域问题的难度一般较大.解答此类问题，不仅要将函数式进行合理的变形，还需关注分母不为０的隐含条件，由此根据函数的定义域来求解.本文主要探讨两类分式三角函数值域问题及其解法，以期帮助同学们更加透彻地了解这两类问题的解法.类型一：y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2型分式三角函数形如y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2的分式三角函数值域问题比较常见，解答此类问题，通常有两种思路：（1）先根据函数式明确分母不为０时函数的定义域，然后将函数式变形为sin x =f ()y ,cos x =f ()y ,tan x =f ()y 的形式，再利用三角函数的有界性求得函数的值域；（2）将y 视为参数，把函数式变形为关于y 的方程，利用一次方程的性质或者二次方程的判别式来建立关于y 的不等式，解不等式即可求得值域.例1.求函数y =sin x +1sin x +2的值域.解：由y =sin x +1sin x +2可得sin x =2y -11-y ，因为||sin x ≤1，所以||||||2y -11-y ≤1，即()2y -12≤()1-y 2，解得0≤y ≤23，所以函数y =sin x +1sin x +2的值域为éëùû0，23.解答本题，要先通过恒等变换将函数式变形，再利用三角函数的有界性||sin x ≤1建立关于y 的不等式，解该不等式求就能求出函数的值域.例2.求函数f ()x =sin x +1cos x +2的值域.解：令t =tan x2，由万能公式可得sin x =2t 1+t 2，cos x =1-t 21+t 2，将其代入y =sin x +1cos x +2可得：y =t 2+2t +1t 2+3，整理得：()y -1t 2-2t +()3y -1=0，因为tan x2∈R ，所以t ∈R ，当y -1=0时，t =1；当y -1≠0时，根据∆≥0得0≤y ≤43，且y ≠1，因此函数f ()x 的值域为éëùû0，43.我们根据万能公式将tan x2用t 替换，通过换元将问题转化为关于t 的一元二次方程()y -1t 2-2t +()3y -1=0有解的问题，由一元二次方程的根的判别式建立不等式，进而求得函数的值域.类型二：y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3型分式三角函数解答形如y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3的分式三角函数值域问题，要先根据同角的三角函数关系式sin 2x +cos 2x =1以及完全平方公式，将sin x cos x 用sin x +cos x 表示出来，以便把函数式转化为只含有sin x +cos x 的式子，这样根据辅助角公式和正余弦函数的性质就能顺利求得函数的值域.例3.已知θ∈æèöø0，π2，则2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为_____.解：令t =sin θ+cos θ，∴t =2sin æèöøθ+π4，∵θ∈æèöø0，π2，θ+π4∈æèöøπ4，3π4，∴t ∈(]1，2，∴t 2=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=t 2-12，∴2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1=2()t -1t +1=2-4t +1，而在(]1，2上g ()t =2-4t +1单调递增，∴0<2-4t +1≤6-42，∴函数2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为(]0,6-42.本题较为复杂，解答时需先根据重要三角函数不等式将函数式进行变形，然后设t =sin θ+cos θ，通过换元将问题转化为求g ()t 在(]1，2上的最值，根据反比例函数的性质即可解出.在求值域的过程中，需注意自变量的取值范围，若自变量的取值范围错误，则所求的值域也必定是错误的.总的来说，求解分式三角函数值域问题的关键是要明确函数式的特征，据此将函数式进行适当的变形，如变形为sin x =f ()y 、cos x =f ()y 、tan x =f ()y 的形式、一元二次方程、反比例函数等，再根据三角函数的有界性和方程的性质就能求得最值.（作者单位：安徽省蚌埠市怀远县包集中学）方法集锦45。

三角函数求值域的方法三角函数的值域表示函数的取值范围，常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面分别介绍这三个函数的求值域的方法，并给出具体的例子。

1.正弦函数的值域正弦函数的定义域为实数集，其表达式为：y = sin x，其中x 为自变量，y 为因变量。

因为正弦函数的最小值为-1，最大值为1，所以其值域为[-1, 1]。

例如，对于正弦函数y = sin x，当自变量x = π/2 时，函数的取值为y = sin (π/2) = 1；当自变量x = 3π/2 时，函数的取值为y = sin (3π/2) = -1。

因此，正弦函数的值域为[-1, 1]。

2.余弦函数的值域余弦函数的定义域为实数集，其表达式为：y = cos x，其中x 为自变量，y 为因变量。

因为余弦函数的最小值为-1，最大值为1，所以其值域为[-1, 1]。

例如，对于余弦函数y = cos x，当自变量x = π时，函数的取值为y = cos π= -1；当自变量x = 0 时，函数的取值为y = cos 0 = 1。

因此，余弦函数的值域为[-1, 1]。

3.正切函数的值域正切函数的定义域为实数集，其表达式为：y = tan x，其中x 为自变量，y 为因变量。

由于正切函数是奇函数，其值域为实数集。

例如，对于正切函数y = tan x，当自变量x = π/4 时，函数的取值为y = tan (π/4) = 1；当自变量x = -π/4 时，函数的取值为y = tan (-π/4) = -1。

因此，正切函数的值域为实数集。

总之，要确定一个三角函数的值域，需要先确定其定义域，然后找到函数的最大值和最小值。

根据这些信息，我们就可以得出三角函数的值域。

＝ － ３ａ. 评注 形如 ｙ ＝ ａｓｉｎ２ ｘ ＋ ｂｓｉｎｘ ＋ ｃ 的三角函数ꎬ可先设
ｓｉｎｘ ＝ ｔꎬ化为关于 ｔ 的二次函数求值域.
三、ｙ ＝ ａｓｉｎｘｃｏｓｘ ＋ ｂ( ｓｉｎｘ ± ｃｏｓｘ) ＋ ｃ 型的三 角函数值域的求法
例 ３ 求函数 ｙ ＝ ｓｉｎｘ － ｃｏｓｘ ＋ ｓｉｎｘｃｏｓｘ 的值域.
Ａ
＋
Ｃ
＝
３ ４
π.
∴
２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ ＝
２ ｃｏｓＡ
＋(
－
２ ２
ｃｏｓＡ)
＋
２ ２
ｓｉｎＡ
＝
２ ２
ｃｏｓＡ
＋
２ ２
ｓｉｎＡ
＝
ｓｉｎ(
Ａ
＋
π ４
)
.
∵
Ａ
＋
Ｃ
＝
３ ４
πꎬ∴
Ａ∈(０ꎬ
３ ４
π) ꎬ∴
Ａ
＋
π ４
∈(
π ４
ꎬπ) .
∴
ｓｉｎ( Ａ ＋
π ４
)
最大值为
１.
评注 在本题的第二问中求 ２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ 的最值时 就是将其化简成了 ｙ ＝ Ａｓｉｎ( ωｘ ＋ φ) ＋ ｋ 的形式再去求解 的ꎻ对于一般的形如 ｙ ＝ ａｓｉｎｘ ＋ ｂｃｏｓｘ ＋ ｃ 的三角函数都将 其化为 ｙ ＝ Ａｓｉｎ( ωｘ ＋ φ) ＋ ｋ 的形式ꎬ再求值域.
２ ａｃ. (１)求∠Ｂ 的大小ꎻ
(２) 求 ２ ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＣ 的最大值.
解析 (１)∵ ａ２ ＋ ｃ２ ＝ ｂ２ ＋ ２ ａｃꎬ∴ ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ＝ ２ ａｃꎬ
∴
ｃｏｓＢ ＝ ａ２

课 题 三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念不很清楚，理解也不够透彻,需要及时加强巩固。

教学目标与 考点分析1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程基础梳理1．“五点法”描图(1）y ＝sin x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为(0，0)，)1,2(π，(π，0),)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为（0,1），)0,2(π，（π，－1）,)0,23(π，（2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R｛x |x ≠k π＋错误!，k ∈Z ｝图象值域 ［－1，1] ［－1，1] R1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．学生对本次课的小结及评价1、本次课你学到了什么知识2、你对老师下次上课的建议⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：课后练习：（具体见附件）课后小结教师签字：审阅签字： 时 间：教务主任签字: 时 间：龙文教育教务处。

三角函数值域的求法三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要掌握它们的值域。

本文将围绕三角函数值域的求法展开讨论。

我们来回顾一下三角函数的定义。

在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

对于一个给定的角度θ，这些函数的值可以通过三角形的边长比例来计算。

接下来，我们将重点讨论三角函数的值域。

值域是函数在定义域上所有可能的输出值的集合。

对于正弦函数和余弦函数来说，它们的值域是[-1, 1]。

换句话说，对于任意的θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1，-1 ≤ cosθ ≤ 1。

这是因为在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围都在-1到1之间。

而正切函数的值域则是整个实数集。

也就是说，对于任意的θ，tanθ可以取到任意的实数值。

这是因为正切函数是通过sinθ除以cosθ得到的，而在某些角度上，cosθ可能等于0，导致无法除以0。

因此，我们可以得到tanθ的值域是整个实数集。

除了这三个基本的三角函数，还存在其它的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

这些函数的值域与它们的定义有关，但可以通过基本的三角函数进行推导和计算。

在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来求解三角函数的值域。

这时，我们可以利用三角函数的性质和定义来推导。

例如，当给定θ的范围时，我们可以确定sinθ和cosθ的取值范围。

然后，根据这些取值范围来确定三角函数的值域。

我们还可以利用三角函数的周期性来求解值域。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。

因此，我们可以利用周期性来确定三角函数的值域。

总结起来，三角函数的值域是根据其定义和性质来确定的。

正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数的值域是整个实数集。

例谈三角函数值域（最值）的几种求法南县一中 肖胜军有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。

掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、 合理转化，利用有界性求值域例1、求下列函数的值域：（1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3cos 3x y x -=+（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44y x x ππ=+++解析：（1）根据11sin cos sin 222x x x ≤≤可知：1322y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y +=-，由cos 1x ≤可得：122y -≤≤-(3) 原函数解析式可化为：21sin 22cos 2sin 2cos 22)4y x x x x x π=++=++=+可得：22y -≤≤+（4）根据sin cos )a x b x x φ⎡+=+∈⎣可得：55y -≤≤二、单调性开路，定义回归例2、求下列函数的值域：（1）y =（2）y =（3）2cos ,63y x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（4）y =1sin 022x ≤≤≤≤解析：（1）由-1知：1sin 1,cos1cos sin 122x x ππ≤-≤≤≤≤≤≤≤（2）由-有（）125sin()663366x x x ππππππ+≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2[](4)0,2y ==三、 抓住结构特征，巧用均值不等式2222min 9sin 430,()sin 0sin 0,4()9sin 12sin 449sin sin ()12sin 9x x x f x x xx x x f x x x x x x x x x f x x x ππ+<<=<<>=+≥====例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：当即时， 例4、sin cos(),sin βαβαββα=+已知其中、为锐角，求tan 的最大值 [][]22sin sin ()sin()cos cos()sin sin cos()sin()cos 2sin cos(),tan()2tan tan()tan tan 1tan tan ()11tan tan()12tan 42tan tan 112tan tan tan 2βαβααβααβαααβαβαααβαβααβααβαβαααβαααααα=+-=+-+=++=++=+-=+-===≤++++==解析：由即有于是：当即时，有maxtan 4β=（）四、易元变换，整体思想求解5sin cos sin cos y x x x x =++例、求函数的值域22211)sin 2)12sin ()424241sin ())442sin()142y x x x x x x x ππππππ⎡⎤=++=+--+⎢⎥⎣⎦=+++-⎡=++-⎢⎣⎦解法一：max 1sin()142x y π+==当时，222max 1sin cos ),sin cos 4211(1)1221,2t x x t t x x x t y t t t y π-⎡+==+∈=⎣-⎡∴=+=+-∈⎣==解法二：设，则，t 故当有222222222max sin ,cos ,sin cos 2,sin cos 1sin cos 1,2221sin cos sin cos 222,,222122x m n x m n x x m x x m n x m n m y x x x x m m n m m m m y =+=-+==-⎡+=+=∈-⎢⎣⎦⎡∴=++=+-=+-∈-⎢⎣⎦==解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当五、方程架桥，问题转化()()[]221sin 3sin 62sin sin (4)sin 320sin ,132011x x y xx y x y t x t t y ++=++-+-==≤∴++-=-例：求函数的最大值、最小值。

求三角函数的值域的方法三角函数是数学中的重要概念，其值域（或最值）在数学中起到了重要的作用。

在解决三角函数的值域问题时，我们需要了解三角函数及其基本特性，并运用一些基本的数学方法来求解。

首先，我们需要了解一些关于三角函数的基本知识。

在直角三角形中，正弦函数（sin）表示的是对边与斜边的比值，余弦函数（cos）表示的是邻边与斜边的比值，正切函数（tan）表示的是对边与邻边的比值。

1. 正弦函数（sin）的值域：正弦函数的值域在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \sin(x) \leq 1$。

最小值为$-1$，当$x$为$\frac{\pi}{2} +2k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k$为整数）时取到。

2. 余弦函数（cos）的值域：余弦函数的值域也在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \cos(x) \leq 1$。

最小值为$-1$，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$(2k+1)\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）时取到。

3. 正切函数（tan）的值域：正切函数是一个无界函数，其值域为$(-\infty,\infty)$，即$\tan(x) \in (-\infty,\infty)$。

正切函数的最小值和最大值是在其不连续点出现，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时，$\tan(x)$不存在。

除了上述基本的三角函数外，还存在一些其他的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等，它们也具有类似的值域。

在求解三角函数的最大值和最小值时，我们可以运用一些基本的数学方法：1.寻找定义域：首先，我们需要确定三角函数的定义域，即取哪些值作为变量。

对于一般情况下的三角函数，其变量可以是实数，因此我们只需要考虑定义域。

2. 寻找连续区间：在定义域中，我们需要确定三角函数的连续区间。

三角函数最值或值域的求法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-类型二：x b x a y cos sin +=型。

此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

例2：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。

解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β解法2：x x y cos 213sin 213-++= ∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π-x 看成基本量，将函数化归为同一角)6(π-x 的函数式。

解法3： （运用和差化积公式 ）)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。

类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。

此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。

任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。

2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。

3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。

4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。

二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。

难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。

三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。

四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。

三角函数的教案设计三角函数一. 教学内容：三角函数（结构）二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意义。

三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的’问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。

1、三角函数的值域与最值一、基础知识1、形如()sin y A x ωϕ=+解析式的求解：本节只列出所需用到的三角公式（1）降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-== （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ;()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ;()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b a ϕ= 2、常见三角函数的值域类型：（1）形如()sin y A x ωϕ=+的值域：使用换元法，设t x ωϕ=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ωϕ+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域 解：设24t x π=- 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦sin 22t ⎡∴∈-⎢⎣⎦()f x ⎡∴∈⎣ （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可例：求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域 解：()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++ 设sin t x = 2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦, 2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理二、典型例题例1：已知向量()()()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=⋅（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域例3：函数27cos sin cos24y x x x =--+的最大值为___________例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______例5：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域例6：函数()3sin 2sin x f x x -=+的值域为___________例7：函数()2sin cos x f x x-=的值域为____________例8：当02x π<<时，函数()21cos28sin sin 2x x f x x ++=的最小值为__________例9：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________例10：已知函数()2cos sin cos 2a f x a x b x x =--的最大值为12，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.12 B. 4- C. 12-或4 D. 12-或4。