三角函数值域的求法(教案)

求三角函数的值域(或最值)的方法三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下．1 配方分析法如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法．例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．解原函数可化为当sinx＝1时，y max＝1；当sinx＝－1时，y min＝－9，∴原函数的值域是y∈[－9，1]．注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意．“cosx”，再求已知函数的最值例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝3 求反函数法如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．∴原函数的值域是4 应用函数的有界性上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下．解由原式可得(3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y，则上式即为利用函数的有界性有∴原函数的值域是5 部分分式分析法例5求下列函数的值域：当sinx＝－1时，y有极小值，y极小＝2；∴原函数的值域是(2)原函数化为部分分式为：∴原函数的值域是6 应用平均值定理求最值例6求函数y＝(1＋cosx)sinx，x∈[0，π]的最大值．7 换元法例7求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解原函数即为y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，∴原函数即为8 应用二次函数的判别式求最值9 几何法求函数的最值两点的直线的斜率，在平面直角坐标系中作出点(2，2)和单位圆，则很容易确定y的取值范围．得(k2＋1)x2－(4k2－4k)x＋4k2－8k＋3＝0，Δ＝(4k2－4k)2－4(k2＋1)(4k2－8k＋3)＝－12k2＋32k－12．10 应用函数的单调性。

所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。

三角函数教案三角函数教案（精选4篇）三角函数教案篇11、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:即:一角的正弦大于另一个角的余弦。

2、若 ,则 ,3、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。

4、的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为。

5、及的图象的对称中心为 ( )。

6、常用三角公式:有理公式: ;降次公式: , ;万能公式: , , (其中 )。

7、辅助角公式: ,其中。

辅助角的位置由坐标决定,即角的终边过点。

8、时, 。

9、。

其中为内切圆半径, 为外接圆半径。

特别地:直角中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径。

10、的图象的图象( 时,向左平移个单位, 时,向右平移个单位)。

11、解题时,条件中若有出现,则可设 ,则。

12、等腰三角形中,若且 ,则。

13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为。

14、 ;三角函数教案篇2二、复习要求1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。

为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|r,扇形面积公式 ,其中α为弧所对圆心角的弧度数。

初中数学教案三角函数的概念与计算方法在解决初中数学教学中，三角函数的教学难点上，教师需要运用准确的概念与计算方法，使学生对三角函数有深入的理解。

本教案将重点介绍三角函数的概念以及相关计算方法，并通过不同形式的练习来巩固学生的掌握程度。

一、三角函数的概念1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的一组函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

其中，正弦函数(记作sin)表示一个角的对边与斜边的比值；余弦函数(记作cos)表示一个角的邻边与斜边的比值；正切函数(记作tan)表示一个角的对边与邻边的比值。

2. 三角函数的值域正弦函数和余弦函数的值域均为闭区间[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。

二、三角函数的计算方法1. 弧度制与角度制的转换角度制是一种常用的角度计量单位，而弧度制是以弧长为单位的角度计量方法。

弧度制与角度制的转换公式为：弧度数 = 角度数× π/180；角度数 = 弧度数× 180/π。

2. 三角函数的计算方法(1) 根据已知边长求三角函数值：- 已知对边和斜边，可使用正弦函数求解：sinA = 对边/斜边。

- 已知邻边和斜边，可使用余弦函数求解：cosA = 邻边/斜边。

- 已知对边和邻边，可使用正切函数求解：tanA = 对边/邻边。

(2) 根据已知三角函数值求边长：- 已知正弦值和斜边，可求得对边：对边 = 正弦值 ×斜边。

- 已知余弦值和斜边，可求得邻边：邻边 = 余弦值 ×斜边。

- 已知正切值和邻边，可求得对边：对边 = 正切值 ×邻边。

三、教学实施1. 导入通过问题引入，如："当一个人站在阳台上，从眼睛到楼底的距离为1.8米，他的视线与楼底的水平线的夹角是多少？"2. 概念讲解简要介绍三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数与角度以及边长之间的关系。

3. 计算方法演示通过示例演示，按照已知条件求解未知边长或已知边长求解三角函数值的计算方法。

分式三角函数值域问题的难度一般较大.解答此类问题，不仅要将函数式进行合理的变形，还需关注分母不为０的隐含条件，由此根据函数的定义域来求解.本文主要探讨两类分式三角函数值域问题及其解法，以期帮助同学们更加透彻地了解这两类问题的解法.类型一：y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2型分式三角函数形如y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2的分式三角函数值域问题比较常见，解答此类问题，通常有两种思路：（1）先根据函数式明确分母不为０时函数的定义域，然后将函数式变形为sin x =f ()y ,cos x =f ()y ,tan x =f ()y 的形式，再利用三角函数的有界性求得函数的值域；（2）将y 视为参数，把函数式变形为关于y 的方程，利用一次方程的性质或者二次方程的判别式来建立关于y 的不等式，解不等式即可求得值域.例1.求函数y =sin x +1sin x +2的值域.解：由y =sin x +1sin x +2可得sin x =2y -11-y ，因为||sin x ≤1，所以||||||2y -11-y ≤1，即()2y -12≤()1-y 2，解得0≤y ≤23，所以函数y =sin x +1sin x +2的值域为éëùû0，23.解答本题，要先通过恒等变换将函数式变形，再利用三角函数的有界性||sin x ≤1建立关于y 的不等式，解该不等式求就能求出函数的值域.例2.求函数f ()x =sin x +1cos x +2的值域.解：令t =tan x2，由万能公式可得sin x =2t 1+t 2，cos x =1-t 21+t 2，将其代入y =sin x +1cos x +2可得：y =t 2+2t +1t 2+3，整理得：()y -1t 2-2t +()3y -1=0，因为tan x2∈R ，所以t ∈R ，当y -1=0时，t =1；当y -1≠0时，根据∆≥0得0≤y ≤43，且y ≠1，因此函数f ()x 的值域为éëùû0，43.我们根据万能公式将tan x2用t 替换，通过换元将问题转化为关于t 的一元二次方程()y -1t 2-2t +()3y -1=0有解的问题，由一元二次方程的根的判别式建立不等式，进而求得函数的值域.类型二：y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3型分式三角函数解答形如y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3的分式三角函数值域问题，要先根据同角的三角函数关系式sin 2x +cos 2x =1以及完全平方公式，将sin x cos x 用sin x +cos x 表示出来，以便把函数式转化为只含有sin x +cos x 的式子，这样根据辅助角公式和正余弦函数的性质就能顺利求得函数的值域.例3.已知θ∈æèöø0，π2，则2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为_____.解：令t =sin θ+cos θ，∴t =2sin æèöøθ+π4，∵θ∈æèöø0，π2，θ+π4∈æèöøπ4，3π4，∴t ∈(]1，2，∴t 2=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=t 2-12，∴2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1=2()t -1t +1=2-4t +1，而在(]1，2上g ()t =2-4t +1单调递增，∴0<2-4t +1≤6-42，∴函数2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为(]0,6-42.本题较为复杂，解答时需先根据重要三角函数不等式将函数式进行变形，然后设t =sin θ+cos θ，通过换元将问题转化为求g ()t 在(]1，2上的最值，根据反比例函数的性质即可解出.在求值域的过程中，需注意自变量的取值范围，若自变量的取值范围错误，则所求的值域也必定是错误的.总的来说，求解分式三角函数值域问题的关键是要明确函数式的特征，据此将函数式进行适当的变形，如变形为sin x =f ()y 、cos x =f ()y 、tan x =f ()y 的形式、一元二次方程、反比例函数等，再根据三角函数的有界性和方程的性质就能求得最值.（作者单位：安徽省蚌埠市怀远县包集中学）方法集锦45。

三角函数求值域的方法三角函数的值域表示函数的取值范围，常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面分别介绍这三个函数的求值域的方法，并给出具体的例子。

1.正弦函数的值域正弦函数的定义域为实数集，其表达式为：y = sin x，其中x 为自变量，y 为因变量。

因为正弦函数的最小值为-1，最大值为1，所以其值域为[-1, 1]。

例如，对于正弦函数y = sin x，当自变量x = π/2 时，函数的取值为y = sin (π/2) = 1；当自变量x = 3π/2 时，函数的取值为y = sin (3π/2) = -1。

因此，正弦函数的值域为[-1, 1]。

2.余弦函数的值域余弦函数的定义域为实数集，其表达式为：y = cos x，其中x 为自变量，y 为因变量。

因为余弦函数的最小值为-1，最大值为1，所以其值域为[-1, 1]。

例如，对于余弦函数y = cos x，当自变量x = π时，函数的取值为y = cos π= -1；当自变量x = 0 时，函数的取值为y = cos 0 = 1。

因此，余弦函数的值域为[-1, 1]。

3.正切函数的值域正切函数的定义域为实数集，其表达式为：y = tan x，其中x 为自变量，y 为因变量。

由于正切函数是奇函数，其值域为实数集。

例如，对于正切函数y = tan x，当自变量x = π/4 时，函数的取值为y = tan (π/4) = 1；当自变量x = -π/4 时，函数的取值为y = tan (-π/4) = -1。

因此，正切函数的值域为实数集。

总之，要确定一个三角函数的值域，需要先确定其定义域，然后找到函数的最大值和最小值。

根据这些信息，我们就可以得出三角函数的值域。

课 题 三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念不很清楚，理解也不够透彻,需要及时加强巩固。

教学目标与 考点分析1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。

教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程基础梳理1．“五点法”描图(1）y ＝sin x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为(0，0)，)1,2(π，(π，0),)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为（0,1），)0,2(π，（π，－1）,)0,23(π，（2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R｛x |x ≠k π＋错误!，k ∈Z ｝图象值域 ［－1，1] ［－1，1] R1、已知函数)33sin()(π+=x x f（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，则=ϕ______．学生对本次课的小结及评价1、本次课你学到了什么知识2、你对老师下次上课的建议⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字：课后练习：（具体见附件）课后小结教师签字：审阅签字： 时 间：教务主任签字: 时 间：龙文教育教务处。