2014北京市各区一模第8题教师版

2014年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，设集合P＝{1, 2, 3, 4}，Q＝{3, 4, 5}，则P∩(∁U Q)＝（）A {1, 2, 3, 4, 6}B {1, 2, 3, 4, 5}C {1, 2, 5}D {1, 2}2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55．若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A 众数B 平均数C 中位数D 标准差3. 已知i是虚数单位，若3+iz=1−i，则z的共轭复数为（）A 1−2iB 2−4iC √2−2√2iD 1+2i4. 设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A 若l // α，l // β，则α // βB 若l // α，l⊥β，则α⊥βC 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD 若α⊥β，l // α，则l⊥β5. 函数y＝2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为（）A 2+√3B 4C 3D 2−√36. “a≤0”是函数f(x)=|x(2−ax)|在区间(0, +∞)内单调递增”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0， b>0)的离心率为2，若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A x2=8√33y B x2=16√33y C x2=8y D x2=16y8. 已知f(x)=x3−6x2+9x−abc，a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)=0．现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0．其中正确结论的序号是（）A ①③B ①④C ②③D ②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x、y满足条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0则z=x+y的最大值是________．10. 经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是________．11. 曲线y=xe x+2x+1在点(0, 1)处的切线方程为________．12. 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln(1+1n)，则a5=________．13. 已知平面向量a →=(2, 4)，b →=(1, −2)，若c →=a →−(a →⋅b →)b →，则|c →|=________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1:y ＝x 2+a 到直线l:y ＝x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y +4)2＝2到直线l:y ＝x 的距离，则实数a ＝________94 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ．(1)求角B 的大小；(2)若b =3，sinC =2sinA ，求△ABC 的面积． 16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90∘．（1）证明：AC =BC ；（2）证明：AB ⊥PC ；（3）若PC =4，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P −ABC 体积．17. 汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．18. 设函数f n (x)＝x n +bx +c(n ∈N ∗, b, c ∈R)(Ⅰ)设n ≥2，b ＝1，c ＝−1，证明：f n (x)在区间(12,1)内存在唯一的零点；(Ⅱ)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[−1, 1]，均有|f 2(x 1)−f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围．19. 已知椭圆C 1:x 24+y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．（1）求椭圆C 2的方程；（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →=2OA →，求直线AB 的方程．20. 对于项数为m 的有穷数列数集{a n }，记b k =max{a 1, a 2, ..., a k }(k =1, 2,…,m)，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}；（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m−k+1=C(C为常数，k=1，2，…，m)．求证：b k=a k(k=1, 2,…,m)．2014年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. D3. A4. B5. A6. C7. D8. C9. 610. x−y+1=011. y=3x+112. ln5+213. 8√214. 9415. 解：(1)在△ABC中，∵ bsinA=√3acosB，∴ 由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．∵ sinA≠0，∴ sinB=√3cosB，∴ tanB=√3，∴ B=π3．(2)∵ sinC=2sinA，∴ c=2a，由余弦定理b2=a2+c2−2ac⋅cosB，即9=a2+4a2−2a⋅2a⋅cosπ3，解得a=√3，c=2a=2√3．故△ABC的面积为12ac⋅sinB=3√32．16. 解：（1）证明：∵ △PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90∘，∴ Rt△PBC≅Rt△PAC，可得AC=BC；（2）如图，取AB的中点D，连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，∴ AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，∴ AB⊥PC；（3）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．∵ △PAB是等边三角形，∴ AE⊥PC，同理BE⊥PC，∠AEB为二面角B−PC−A的平面角，且AE=BE．∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，∴ ∠AEB =90∘．∴ △AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形．又PC =4，得AE =BE =2，∴ △AEB 的面积S =2．∵ PC ⊥平面AEB ，∴ V P−ABC =13×2×4=83．17. 解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n =10100+300，∴ n =2000，∴ z =2000−(100+300)−150−450−600=400．(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意，得a =2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1, A 2)，(A 1B 1)，(A 1B 2)，（A 1, B 3,），(A 2, B 1)，(A 2, B 2)(A 2, B 3)，(B 1B 2)，（B 1, B 3,），(B 2, B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1A 2)，（A 1, B 1,），(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 2, B 3)，共7个，故 P(E)=710，即所求概率为710． (3)样本平均数x ¯=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9．设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个， ∴ P(D)=68=34，即所求概率为34． 18. （1）n ≥2，b ＝1，c ＝−1时，f n (x)＝x n +x −1，∵ f n (12)⋅f n (1)=(12n −12)×1<0，∴ f n (x)在区间(12,1)内存在零点，又f ′n (x)=nx n−1+1>0，∴ f n (x)在区间(12, 1)上是单调递增函数，故f n (x)在区间(12,1)内存在唯一的零点； （2）当n ＝2时，f 2(x)=x 2+bx +c ，对任意的x 1，x 2∈[−1, 1]，均有|f 2(x 1)−f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x)在[−1, 1]上的最大值与最小值之差M ＝f(x)max −f(x)min ≤4，据此分类讨论如下：（1）当|b 2|>1，即|b|>2时，M ＝|f 2(1)−f 2(−1)|＝2|b|>4，与题设矛盾；（2）当−1≤−b 2<0，即0<b ≤2时，M =f 2(1)−f 2(−b 2)=(b 2+1)2≤4恒成立； （3）当0<−b 2≤1，即−2≤b ≤0时，M =f 2(−1)−f 2(−b 2)=(b 2−1)2≤4恒成立； 综上知−2≤b ≤2．19. 椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4，离心率为e =c a =√32∵ 椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率∴ 椭圆C 2的焦点在y 轴上，2b ＝4，为e =c a =√32 ∴ b ＝2，a ＝4∴ 椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1；设A ，B 的坐标分别为(x A , y A )，(x B , y B )，∵ OB →=2OA →∴ O ，A ，B 三点共线，当斜率不存在时，OB →=2OA →不成立，∴ 点A ，B 不在y 轴上 当斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx将y ＝kx 代入x 24+y 2=1，消元可得(1+4k 2)x 2＝4，∴ x A 2=41+4k 2 将y ＝kx 代入y 216+x 24=1，消元可得(4+k 2)x 2＝16，∴ x B 2=164+k 2 ∵ OB →=2OA →，∴ x B 2=4x A 2，∴ 164+k 2=161+4k 2，解得k ＝±1，∴ AB 的方程为y ＝±x20. （1）解：数列{a n }为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．（2）证明：因为b k =max{a 1, a 2, ..., a k }，b k+1=max{a 1, a 2, ..., a k , a k+1}，所以b k+1≥b k ．因为a k +b m−k+1=C ，a k+1+b m−k =C ，所以a k+1−a k =b m−k+1−b m−k ≥0，即a k+1≥a k ．因此，b k =a k ．。

2014北京市朝阳区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}2．（5分）已知i是虚数单位，则复数=（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）若x，y满足约束条件，则函数z=2x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．3 D．64．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．10 B．17 C．26 D．286．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则与的夹角是（）A．30° B．60° C．90° D．120°8．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是．10．（5分）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高分．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知b=4，c=2，∠A=60°，则a= ；∠C= ．12．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为；表面积为．13．（5分）已知直线y=x+m与曲线x2+y2=4交于不同的两点A，B，若|AB|≥2，则实数m的取值范围是．14．（5分）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 逻辑思维能力运动协调能力一般 良好 优秀一般2 2 1 良好4 b 1 优秀 1 3 a 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（Ⅰ）求a，b 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．17．（14分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为A 1C 1与B 1D 1交点，已知AA 1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A 1C 1⊥平面B 1BDD 1；（Ⅱ）求证：AO ∥平面BC 1D ；（Ⅲ）设点M 在△BC 1D 内（含边界），且OM ⊥B 1D 1，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值．18．（13分）设函数f （x ）=lnx ，g （x ）=ax+1，a ∈R ，记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；（Ⅱ）求函数F（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数F（x）没有零点，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．20．（13分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，{b n}是等比数列（n∈N+），且a1=b1＞0．（Ⅰ）若a3=b3，比较a2与b2的大小关系；（Ⅱ）若a2=b2，a4=b4．（ⅰ）判断b10是否为数列{a n}中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若b m是数列{a n}中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，B={x|2x﹣1＞1}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则A∩B={2}，故选：C．2．【解答】．故选B．3．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，0），此时z=2x﹣y=2×3﹣0=6，故选：D．4．【解答】设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D5．【解答】根据题意，模拟程序框图的执行过程是求S=1+1+（1+2）+（1+2+2）+（1+2+2+2）+…的值，当i=1+2+2+2+2＞7时，输出S=1+1+（1+2）+（1+2+2）+（1+2+2+2）=17．故选：B．6．【解答】此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．7．【解答】∵和是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，∴=．∴（）•===0，∴与的夹角是90°．故选：C．8．【解答】①∵∠BAD=90°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°，∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∵A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故①错误；②三棱锥A′﹣BCD的体积为=，故②不成立；③由①知CD⊥平面A′BD，故③成立；④折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD．又∵A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B．又A′B⊥A′D，A′D∩CD=D，∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′DC．故④正确．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．【解答】∵抛物线的方程为y2=8x∴抛物线以原点为顶点，开口向右．由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2故答案为：x=﹣210．【解答】设最高分为a，最低分为b，则总分为b+4×90=a+4×86，即a﹣b=4×（90﹣86）=4×4=16，故答案为：1611．【解答】∵b=4，c=2，∠A=60°，∴a2=b2+c2﹣2abcosA=16+4﹣8=12，∴a=2，∵sinA=，c=2，∴由正弦定理=得：sinC===，∵c＜a，∴C＜A，∴∠C=30°．故答案为：2；30°12．【解答】由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴几何体的体积V=×1×1×1=；表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=．故答案为：；3+．13．【解答】由于圆x2+y2=4的半径r=2，弦长|AB|≥2，故弦心距d=≤1，即≤1，求得﹣≤m≤，故答案为：．14．【解答】由题意，∵要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，∴4、9写在第三张卡片上，6、7在第二张卡片上，故答案为：二；{3，4，9}．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】（Ⅰ）∵∴．由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵，∴．∴当，即x=0时，f（x）取得最小值；当即时，f（x）取得最大值2．16．【解答】（I）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有（2+a）人．设事件A：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则．解得 a=2．∴b=4．（Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为M1，M2，M3，M4，M5，M6．其中M5和M6为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为：M1M2，M1M3，M1M4，M1M5，M1M6，M2M3，M2M4，M2M5，M2M6，M3M4，M3M5，M3M6，M4M5，M4M6，M5M6，共15种可能．设事件B：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．则事件B包括：M1M5，M1M6，M2M5，M2M6，M3M5，M3M6，M4M5，M4M6，M5M6，共9种可能．∴．∴至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为．17．【解答】（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．18．【解答】（ I）f′（x）=，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=．又f（e）=1，所以函数f（x）在x=e处的切线方程为，即y=x．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣1，F′（x）=，（x＞0）．①当a≤0时，F′（x）＞0，F（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令F′（x）＜0，解得；令F′（x）＞0，解得．综上所述，当a≤0时，函数F（x）的增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数F（x ）的增区间是，减区间是．（Ⅲ）依题意，函数F（x）没有零点，即F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣1=0无解．由（Ⅱ）知，当a＞0时，函数F（x ）在区间上为增函数，区间上为减函数，由于F（1）=﹣a﹣1＜0，只需F （）=ln﹣a=﹣lna﹣2＜0，解得a＞e﹣2．所以实数a 的取值范围为（）．19．【解答】（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C 的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB 的中点坐标为，∴线段AB 的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．11 / 13又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．20．【解答】记{a n}的a1=b1=a，{a n}公差为d，{b n}公比为q，由d≠0，得q≠1 （Ⅰ）∵a1=b1＞0，a3=b3，∴，∵，，∴，当时，显然a2＞b2；当时，由平均值不等式，当且仅当b1=b3时取等号，而b1≠b3，所以即a2＞b2．综上所述，a2＞b2．…（5分）（Ⅱ）（ⅰ）因为a2=b2，a4=b4，所以a+d=aq，a+3d=aq3，得q3﹣1=3（q﹣1），所以q2+q+1=3，q=1或q=﹣2．因为q≠1，所以q=﹣2，d=a（q﹣1）=﹣3a．令a k=b10，即，所以a﹣3（k﹣1）a=a（﹣2）9，所以k=172，所以b10是{a n}中的一项．（ⅱ）假设b m=a k ，则，∴a﹣3（k﹣1）a=a（﹣2）m﹣1，∴4﹣3k=（﹣2）m﹣1，当m=1或m=2n，（n∈N*）时，k∈N*．∴正整数m的集合是{m|m=1或m=2n，n∈N*}．…（13分）12 / 1313 / 13。

北京市大兴区2014年高三统一练习数学（理科）本试卷分两部分，第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）共4页，共150分，考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}10B x x =+>，那么AB 等于A. {}1,0,1-B. {}0,1C. (1,)-+∞D. [)1,-+∞ （2）复数1i1i+=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i （3）在极坐标系中，点(1,0)到直线π()4θρ=∈R 的距离是 A. 12 B. 22C. 1D.2（4）将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位后，所得图像的解析式是 A. πsin(2)3y x =+ B.πsin(2)3y x =- C. πsin(2)6y x =+ D.πsin(2)6y x =- （5）“0x >”是“12x x+≥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）不等式组06,023x y x y +⎧⎨-⎩≤2≤≤≤在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. 95 B. 185 C. 365D.1855（7）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（8）给出下列函数：①12()f x x =；②()2x f x =；③2()log f x x =；④()sin f x x =．则满足关系式1313()()()()2222f f f f ''>->的函数的序号是A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）椭圆2214x y +=的离心率等于 . （10）11x dx -=⎰ . （11）在锐角ABC 中,3a =，4b =，33ABC S =，则角C =__.（12）当圆224xy 的圆心到直线1y kx =+的距离最大时，k = ．（13）已知数列{}n a 满足121a a ==，22,1,,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则56a a += ； 前2n 项和2n S = ．（14）如图所示，点,A B 是圆O 上的两点，120AOB ∠=，点D 是圆周上异于A ，B 的任意一点，线段OD 与线段AB 交于点C .若OC mOA nOB =+，则m n += ；若OD OA OB μλ=+，则μλ+的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分。

北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （文科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2、复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i - 3、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度 4、若双曲线2214x y m -=，则m = （A（B ）3 （C（D）5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2311a a +=，则63S S -=（A ）27（B ）39 （C ）45 （D ）636、已知132.1a =，4log 2b =，3log 1.6c =，则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >> 7、若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为俯视图（A）4+ （B ）4 （C）4+ （D ）88、已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么11b a ++的取值范围是 （A ）1(,3)5 （B ）1(,2)3（C ）1(,2)5（D ）1(,3)3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9、cos()45π-= ． 10、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =，则抛物线方程为 ．11、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 ．12、在△ABC 中，,D E 分别为,BC AC 的中点，F 为AB 上的点，且1||||4AF AB =．若AD AF AE λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+= ． 13、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，2()4f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为 ；不等式()0f x <的解集为 ．14、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为__________个．三、解答题共6小题，共80分。