2014年北京市高考数学试卷(理科)

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5.设n 是公比为的等比数列，则是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.参考答案一、选择题（8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1.C 【命题意图】本小题主要考查了一元二次方程的求解和集合的交集运算.【解析】∵2{|2}={0,2}A x x -x =，{0,1,2}B =，∴{0,2}A B =，故选C. 2.A 【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.【解析】对于选项A ，在[0,)+∞上为增函数，显然在(0,)+∞为增函数；对于选项B ，只在[1,)+∞上为增函数；对于选项C ，在R 上为减函数；对于选项D ，在(1,)-+∞上为减函数.故选A.3. B 【命题意图】本小题主要考查了图像的对称性、参数方程与普通方程相互转化及直线与曲线相交问题.【解析】由1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）可得22(1)(2)1x y ++-=，则表示圆心为(1,2)-，半径为1的圆，所以对称中心为(1,2)-，易知它在直线2y x =-上，故选B.4. C 【命题意图】本小题主要考查了算法程序框图的读取及其相关的运算.【解析】当输入7m =，3n =时，判断框内的判断条件是5k <，故能进入循环的k 值依次为7,6,5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⨯⨯=，故选C.5. D 【命题意图】本小题主要考查了等比数列的单调性的判定以及充分、必要条件的理解. 【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，且0n a <时，有{}n a 为递减数列，∴1q >⇒/ {}n a 为递增数列；若等比数列{}n a 为递增数列，则{}n a 中，满足10a <且01q <<，或者10a >且1q >.综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6. D 【命题意图】本小题主要考查了二元不等式组的求解及性规划问题.z y x =-在点2(,0)k-处取最小值， ，故选D.. 平面上的正投影为OBC∆，则12S =，设D 在yoz 平面平面上的正投影图形2D AC ∆，设D 在xoz 平面上的正投影为xoz 平面上的正投影图形3D AE ∆，显然23S S == D8. B 【命题意图】本小题主要考查了计数原理中的新定义，重在考查创新能力和逻辑应用能力. 【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩的A 的学生最多只有1个，语文成绩的B 的学生最多只有1个，语文成绩的C 的学生最多只有1个，因此学生最多只有3个.如（AC ），（BB ），（CA ）满足条件，故学生最多3个.故选B.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.-1【命题意图】本小题主要考查了复数的四则运算. 【解析】212()112i ii i+==---..【解析】∵0a b λ+=,∴b a λ=-,于是||||||b a λ=，又∵(2,1)b =，可得||5b =，又∵||1a =，则||λ=11.221312x y -=,2y x =±【命题意图】本小题主要考查了双曲线方程的求解及其几何性质.【解析】双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，故曲线C 的渐近线方程为2y x =±，设曲线C 的方程为224y x m -=，又因双曲线C 经过点(2,2)，∴22224m =-=3-，∴2234y x -=-，故双曲线C 的方程为221312x y -=. 12.8 【命题意图】本小题主要考查了等差数列的性质及其前n 项和最大的求解.【解析】由等差数列的性质得：789830a a a a ++=>，∴80a >，710890a a a a +=+<，∴90a <，∴87S S >，89S S >，故8S 为数列{}n a 前n 项和n S 的最大值. 13.36【命题意图】本小题主要考查了排列组合的应用.【解析】由题意得：42324232A A A A -=4812-=36.14.π 【命题意图】本小题主要考查了三角函数的单调性以及最小正周期的求解. 【解析】由()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且()()26f f ππ=-，知()f x 有对称中心(,0)3π，由2()()23f f ππ=知()f x 有对称轴127()22312x πππ=+=，设T 为最小正周期，则1226T ππ≥-，∴23T π≥，从而71234T ππ-=，故T π=. 三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）【命题意图】本题主要考查了同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦公式以及正弦定理和余弦定理.解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A ＝{x|x 2﹣2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ). A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 答案：C解析：解x 2﹣2x ＝0，得x ＝0，x ＝2，故A ＝{0，2}，所以A ∩B ＝{0，2}，故选C ． 2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ). A ．y ＝√x ＋1 B ．y ＝(x ﹣1)2 C ．y ＝2﹣x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案：A解析：A 项，y ＝√x ＋1为(﹣1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增;B 项，y ＝(x ﹣1)2在(﹣∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增;C 项，y ＝2﹣x ＝(12)x为R 上的减函数;D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(﹣1，＋∞)上的减函数. 故选A ．3.曲线{x ＝﹣1＋cosθ，y ＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝﹣2x 上C ．在直线y ＝x ﹣1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案：B解析：由已知得{cosθ＝x ＋1，sinθ＝y ﹣2，消参得(x ＋1)2＋(y ﹣2)2＝1. 所以其对称中心为(﹣1，2).显然该点在直线y ＝﹣2x 上.故选B ．4.当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A ．7B ．42C ．210D ．840 答案：C解析：开始：m ＝7，n ＝3.计算：k ＝7，S ＝1.第一次循环，此时m ﹣n ＋1＝7﹣3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S ＝1×7＝7，k ＝7﹣1＝6. 第二次循环，6<5不成立，所以S ＝7×6＝42，k ＝6﹣1＝5. 第三次循环，5<5不成立，所以S ＝42×5＝210，k ＝5﹣1＝4. 显然4<5成立，输出S 的值，即输出210，故选C ．5.设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ). A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为{a 1>0，q >1或{a 1<0，0<q <1.故“q>1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D ．6.若x ，y 满足{x ＋y ﹣2≥0，kx ﹣y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为( ).A ．2B ．﹣2C ．12D ．﹣12答案：D 解析：如图，作出{x ＋y ﹣2≥0，y ≥0所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值﹣4时对应的直线y ﹣x ＝﹣4，即x ﹣y ﹣4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x ﹣y ＋z ＝0在x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4，0)必为可行域的顶点，又kx ﹣y ＋2＝0恒过点(0，2)，故k ＝2﹣00﹣4＝﹣12.故选D ．7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，√2).若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D ﹣ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ). A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3 C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1 答案：D解析：三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2，0，0)，B 1(2，2，0)，C 1(0，2，0)，D 1(1，1，0).显然D 1点为A 1C 1的中点，如图(1)，正投影为Rt △A 1B 1C 1，其面积S 1＝12×2×2＝2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0，0，0)，B 2(0，2，0)，C 2(0，2，0)，D 2(0，1，√2).显然B 2，C 2重合，如图(2)，正投影为△A 2B 2D 2，其面积S 2＝12×2×√2＝√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2，0，0)，B 3(2，0，0)，C 3(0，0，0)，D 3(1，0，√2)，由图(3)可知，正投影为△A 3D 3C 3，其面积S 3＝12×2×√2＝√2.综上，S 2＝S 3，S 3≠S 1.故选D ．图(1) 图(2) 图(3)8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ). A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 答案：B解析：用A ，B ，C 分别表示优秀、及格和不及格.显然，语文成绩得A 的学生最多只有一人，语文成绩得B 的也最多只有1人，得C 的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9.复数(1＋i 1﹣i)2＝__________.答案：﹣1 解析：1＋i 1﹣i＝(1＋i )2(1﹣i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以(1＋i 1﹣i)2＝i 2＝﹣1.10.已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝__________. 答案：√5解析：|b|＝√22＋12＝√5，由λa ＋b ＝0，得b ＝﹣λa ，故|b|＝|﹣λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b ||a |＝√51＝√5. 11.设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24﹣x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________;渐近线方程为__________. 答案：x 23−y 212＝1 y ＝±2x解析：双曲线y 24﹣x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24﹣x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24﹣x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224﹣22＝λ，解得λ＝﹣3. 故所求双曲线方程为y 24﹣x 2＝﹣3，即x 23−y 212＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x.12.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝__________时，{a n }的前n 项和最大. 答案：8解析：由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0;而a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种. 答案：36解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有A 22A 44＝48种.而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有A 22A 33＝12(种).故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48﹣12＝36(种). 14.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝﹣f (π6)，则f (x )的最小正周期为__________. 答案：π解析：由f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝﹣f (π6)知，f (x )有对称中心(π3，0)，由f (π2)＝f (23π)知f (x )有对称轴x ＝12(π2＋23π)＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2−π6，即T ≥23π.故712π﹣π3＝π4＝T4，解得T ＝π.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ，AC 的长.分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可. 解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4√37. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC ﹣∠B ) ＝sin ∠ADC cos B ﹣cos ∠ADC sin B＝4√37×12−17×√32＝3√314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BAD sin∠ADB8×3√3144√37＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2﹣2AB ·BC ·cos B ＝82＋52﹣2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.16.(本小题13分))：(1)(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率;(3)记x 为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX 与x 的大小.(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系.解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C ＝A ∪，A ，B 独立.根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x .17.(本小题14分)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点.在五棱锥P ﹣ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H. (1)求证：AB ∥FG ;(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.分析：(1)首先利用AM ∥ED 得到AB ∥平面PDE ，然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求出直线BC 的方向向量和平面ABF 的法向量，利用这两个向量的夹角表示所求，再根据H 在PC 上，设出H 的坐标，然后利用平面ABF 的法向量与AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值，进而求出H 点的坐标，最后利用坐标公式求得线段长度. (1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE.因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG.(2)解：因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，1，0). 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即{x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝﹣1.所以n ＝(0，﹣1，1).设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sinα＝|cos <n ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|＝|n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗|n ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||＝12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w ).因为点H 在棱PC 上，所以可设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， 即(u ，v ，w ﹣2)＝λ(2，1，﹣2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2﹣2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量，所以n ·AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即(0，﹣1，1)·(2λ，λ，2﹣2λ)＝0，解得λ＝23， 所以点H 的坐标为(43，23，23).所以PH ＝√(43)2＋(23)2＋(﹣43)2＝2.18.(本小题13分)已知函数f (x )＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2].(1)求证：f (x )≤0; (2)若a<sinx x<b 对x ∈(0，π2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.分析：(1)先求出导函数f'(x )，利用导函数在(0，π2)上的符号判断f (x )在[0，π2]上的单调性，并求出其最大值，即可证得结论;(2)根据x>0，将不等式转化为整式不等式，进而转化为g (x )＝sin x ﹣cx (x ∈(0，π2))与0的大小关系，注意对参数c 的取值要分c ≤0，c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论，然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值.(1)证明：由f (x )＝x cos x ﹣sin x 得f'(x )＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x.因为在区间(0，π2)上f'(x )＝﹣x sin x<0， 所以f (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)＝0. (2)解：当x>0时，“sinx x>a”等价于“sin x ﹣ax>0”;“sinx x<b”等价于“sin x ﹣bx<0”.令g (x )＝sin x ﹣cx ，则g'(x )＝cos x ﹣C ． 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立.当c ≥1时，因为对任意x ∈(0，π2)，g'(x )＝cos x ﹣c<0，所以g (x )在区间[0，π2]上单调递减.从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈(0，π2)恒成立.当0<c<1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g'(x 0)＝cos x 0﹣c ＝0. g (x )与g'(x )在区间(0，π2)上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立”当且仅当g (π2)＝1﹣π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立;当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈(0，π2)恒成立.所以，若a<sinx x<b 对任意x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.19.(本小题14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论.分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求得离心率e ;(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否相等分类，分别求出原点O 到直线AB 的距离，将其与圆的半径√2进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝√2. 故椭圆C 的离心率e ＝ca ＝√22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝﹣2y0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝﹣t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±√2，故直线AB 的方程为x ＝±√2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝√2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y ﹣2＝y 0﹣2x 0﹣t(x ﹣t )，即(y 0﹣2)x ﹣(x 0﹣t )y ＋2x 0﹣ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝00√(y 0﹣2)＋(x 0﹣t ).又x 02＋2y 02＝4，t ＝﹣2y0x 0，故d ＝|2x 0＋2y02x 0|√x 02＋y 02＋4y 0x 02＋4|4＋x 02x 0|√x 0＋8x 0＋162x 02√2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.20.(本小题13分)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k﹣1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k ﹣1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k ﹣1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P ：(2，5)，(4，1)，求T 1(P )，T 2(P )的值;(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P'：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析：(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P')，然后根据a ，b ，c ，d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小，即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小，然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列，依次求出T 1(P )，T 2(P )，T 3(P )，T 4(P )，T 5(P )即可.解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }.当m ＝a 时，T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋B ．因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P'). 当m ＝d 时，T 2(P')＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋B ．因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P'). 所以无论m ＝a 还是m ＝d ，T 2(P )≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P ：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T 5(P )值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2}答案:C解析:解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C . 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)答案:A解析:A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数; D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上答案:B 解析:由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .840 答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6. 第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5. 第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4. 显然4<5成立,输出S 的值,即输出210,故选C .5.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为{a1>0,q>1或{a1<0,0<q<1.故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若x,y满足{x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D 解析:如图,作出{x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC 在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=12×2×√2=√2.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 答案:B解析:用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i)2= .答案:-1 解析:1+i1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=2i 2=i,所以(1+i 1-i)2=i 2=-1. 10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 答案:√5解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .答案:x 23−y 212=1 y=±2x 解析:双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线y 24-x 2=1有共同渐近线的方程为y 24-x 2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为y 24-x 2=-3,即x 23−y 212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 答案:8解析:由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种. 答案:36解析:产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A 的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 . 答案:π解析:由f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=-f (π6)知,f (x )有对称中心(π3,0),由f (π2)=f (23π)知f (x )有对称轴x=12(π2+23π)=712π.记f (x )的最小正周期为T ,则12T ≥π2−π6,即T ≥23π.故712π-π3=π4=T 4,解得T=π.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD ;(2)求BD,AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在△ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B=4√37×12−17×√32=3√314.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=AB·sin∠BADsin∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.16.(本小题13分)(2014):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x 的大小.(只需写出结论)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=A B∪A B,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25.P(C)=P(A B)+P(A B)=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX=x.17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.分析:(1)首先利用AM∥ED得到AB∥平面PDE,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC的方向向量和平面ABF的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H 在PC 上,设出H 的坐标,然后利用平面ABF 的法向量与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值,进而求出H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ,所以AB ∥平面PDE. 因为AB ⊂平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE=FG , 所以AB ∥FG.(2)解:因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面ABF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,y +z =0.令z=1,则y=-1.所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则 sin α=|cos <n ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ,v ,w ).因为点H 在棱PC 上,所以可设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 即(u ,v ,w-2)=λ(2,1,-2), 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n 是平面ABF 的法向量,所以n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=23, 所以点H 的坐标为(43,23,23).所以PH=√(43)2+(23)2+(-43)2=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈[0,π2]. (1)求证:f (x )≤0; (2)若a<sinxx<b 对x ∈(0,π2)恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.分析:(1)先求出导函数f'(x ),利用导函数在(0,π2)上的符号判断f (x )在[0,π2]上的单调性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g (x )=sin x-cx (x ∈(0,π2))与0的大小关系,注意对参数c 的取值要分c ≤0,c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值. (1)证明:由f (x )=x cos x-sin x 得f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x. 因为在区间(0,π2)上f'(x )=-x sin x<0, 所以f (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)=0. (2)解:当x>0时,“sinx x >a”等价于“sin x-ax>0”;“sinxx<b”等价于“sin x-bx<0”. 令g (x )=sin x-cx ,则g'(x )=cos x-c.当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当c ≥1时,因为对任意x ∈(0,π2),g'(x )=cos x-c<0, 所以g (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈(0,π2)恒成立.当0<c<1时,存在唯一的x 0∈(0,π2)使得g'(x 0)=cos x 0-c=0. g (x )与g'(x )在区间(0,π2)上的情况如下:因为g (x )在区间[0,x 0]上是增函数, 所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立”当且仅当g (π2)=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 所以,若a<sinxx<b 对任意x ∈(0,π2)恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C :x 2+2y 2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y=2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求得离心率e ;(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据A ,B 两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O 到直线AB 的距离,将其与圆的半径√2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0. 当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2,故直线AB 的方程为x=±√2,圆心O 到直线AB 的距离d=√2,此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t(x-t ), 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)+(x 0-t ).又x 02+2y 02=4,t=-2y 0x 0, 故d=|2x 0+2y 02x |√x 02+y 02+02x 02+4=|4+x 02x |√04022x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k-1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P':(c ,d ),(a ,b ),试分别对m=a 和m=d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P'),然后根据a ,b ,c ,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列,依次求出T 1(P ),T 2(P ),T 3(P ),T 4(P ),T 5(P )即可. 解:(1)T 1(P )=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2014北京，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()．A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}答案：C解析：解x2－2x＝0，得x＝0，x＝2，故A＝{0,2}，所以A∩B＝{0,2}，故选C.2．(2014北京，理2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()．A．y B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A解析：A项，y为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C项，1=2=2xxy-⎛⎫⎪⎝⎭为R上的减函数；D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.3．(2014北京，理3)曲线=1cos,2sinxyθθ-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心()．A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上答案：B解析：由已知得cos1, sin2,xyθθ=+⎧⎨=-⎩消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上．故选B.4．(2014北京，理4)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A．7 B．42 C．210 D．840答案：C解析：开始：m＝7，n＝3.计算：k＝7，S＝1.第一次循环，此时m －n ＋1＝7－3＋1＝5，显然k ＜5不成立，所以S ＝1×7＝7，k ＝7－1＝6.第二次循环，6＜5不成立，所以S ＝7×6＝42，k ＝6－1＝5. 第三次循环，5＜5不成立，所以S ＝42×5＝210，k ＝5－1＝4. 显然4＜5成立，输出S 的值，即输出210，故选C.5．(2014北京，理5)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为10,1a q >⎧⎨>⎩或10,0 1.a q <⎧⎨<<⎩故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2014北京，理6)若x ，y 满足20,20,0,x y kx y z y x y +-≥⎧⎪-+≥=-⎨⎪≥⎩且且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．12- 答案：D解析：如图，作出20,0x y y +-≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y －x ＝－4，即x －y －4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x －y ＋z ＝0在x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，故201042k -==--.故选D.7．(2014北京，理7)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D ．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )．A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1 答案：D 解析：三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0)，B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)，D 1(1,1,0)．显然D 1点为A 1C 1的中点，如图(1)，正投影为Rt △A 1B 1C 1，其面积S 1＝12×2×2＝2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0)，B 2(0,2,0)，C 2(0,2,0)，2D ．显然B 2，C 2重合，如图(2)，正投影为△A 2B 2D 2，其面积2122S =⨯=.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0)，B 3(2,0,0)，C 3(0,0,0)，3D ，由图(3)可知，正投影为△A 3D 3C 3，其面积3122S =⨯=综上，S 2＝S 3，S 3≠S 1.故选D.图(1)图(2)图(3)8．(2014北京，理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )．A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 答案：B解析：用A ，B ，C 分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A 的学生最多只有一人，语文成绩得B 的也最多只有1人，得C 的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2014北京，理9)复数21i 1i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝__________.答案：－1解析：21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+，所以221i i 11i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭. 10．(2014北京，理10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝__________.解析：|=λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ，故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以||||||λ===b a 11．(2014北京，理11)设双曲线C 经过点(2,2)，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．答案：221312x y -= y ＝±2x 解析：双曲线2214y x -=的渐近线方程为y ＝±2x . 设与双曲线2214y x -=有共同渐近线的方程为224y x λ-=， 又(2,2)在双曲线上，故2222=4λ-，解得λ＝－3. 故所求双曲线方程为2234y x -=-，即22=1312x y -. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12．(2014北京，理12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝__________时，{a n }的前n 项和最大．答案：8解析：由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0；而a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，故a 9＜0.所以数列{a n }的前8项和最大．13．(2014北京，理13)把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种．答案：36解析：产品A ，B 相邻时，不同的摆法有2424A A =48种．而A ，B 相邻，A ，C 也相邻时的摆法为A 在中间，C ，B 在A 的两侧，不同的摆法共有2323A A =12(种)．故产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)． 14．(2014北京，理14)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f (x )的最小正周期为__________．答案：π解析：由f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，f (x )有对称中心π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知f (x )有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.记f (x )的最小正周期为T ，则1ππ226T ≥-，即2π3T ≥.故7πππ12344T -==，解得T ＝π.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题13分)(2014北京，理15)如图，在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD ＝∠ADC －∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可．解：(1)在△ADC 中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B1127-=. (2)在△ABD 中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠==∠＝. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.16．(本小题13分)(2014北京，理16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设(1) (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求；(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解；(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C AB AB=，A，B独立．根据投篮统计数据，()3 5P A＝，()25P B＝.P(C)＝()332213 ()+()555525P C P AB P AB=⨯+⨯=＝.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 25.(3)EX x＝.17．(本小题14分)(2014北京，理17)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．分析：(1)首先利用AM∥ED得到AB∥平面PDE，然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论；(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求出直线BC的方向向量和平面ABF的法向量，利用这两个向量的夹角表示所求，再根据H在PC上，设出H的坐标，然后利用平面ABF的法向量与AH垂直确定参数取值，进而求出H 点的坐标，最后利用坐标公式求得线段长度．(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.(2)解：因为P A⊥底面ABCDE，所以P A⊥AB，P A⊥AE.如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，()1,1,0BC=．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0,0,AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC 〉|＝12||||BC BC ⋅=n n .因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ= (0＜λ＜1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH ⋅=n ，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2PH ==.18．(本小题13分)(2014北京，理18)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求证：f (x )≤0；(2)若sin x a b x <<对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 分析：(1)先求出导函数f ′(x )，利用导函数在π(0,)2上的符号判断f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并求出其最大值，即可证得结论；(2)根据x ＞0，将不等式转化为整式不等式，进而转化为()πsin ((0,))2g x x cx x -∈＝与0的大小关系，注意对参数c 的取值要分c ≤0，c ≥1和0＜c ＜1三种情况进行分类讨论，然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值．(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间π(0,)2上f ′(x )＝－x sin x ＜0，所以f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0. (2)解：当x ＞0时，“sin x a x >”等价于“sin x －ax ＞0”；“sin xb x>”等价于“sin x －bx ＜0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )＞0对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．当c ≥1时，因为对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，g ′(x )＝cos x －c ＜0，所以g (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而g (x )＜g (0)＝0对任意π(0,)2x ∈恒成立．当0＜c ＜1时，存在唯一的π(0,)2x ∈使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间π(0,)上的情况如下：因为g (x )0所以g (x 0)＞g (0)＝0.进一步，“g (x )＞0对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ1022g x ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，即20πc <≤. 综上所述，当且仅当2πc ≤时，g (x )＞0对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )＜0对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.19．(本小题14分)(2014北京，理19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出a ，c ，即可求得离心率e ；(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否相等分类，分别求出原点O 到直线AB 进行比较，即可判断直线与圆的位置关系．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22=142x y +.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c =故椭圆C的离心率2c e a ==. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ⋅=，即tx 0＋2y 0＝0，解得02y t x =-. 当x 0＝t 时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =，故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为0022=y y x t---(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB的距离d =.又2200+24x y =，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．20．(本小题13分)(2014北京，理20)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P ′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)分析：(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值；(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P ′)，然后根据a ，b ，c ，d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小，即可求得T 2(P )和T 2(P ′)的大小关系；(3)先比较已知数据大小，然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列，依次求出T 1(P )，T 2(P )，T 3(P )，T 4(P )，T 5(P )即可．解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)． 当m ＝d 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．1y x =+B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上 【答案】B【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲2=-+y x 02=+-y kx A=-x y的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A .14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a = ，()2,1b = ，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤ ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。

2014·北京卷（理科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ：{0}；B ：{0,1}；C ：{0,2}；D ：{0,1,2}。

C ，交集2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A：y B ：2(1)y x =-；C ：2x y -=；D ：0.5log (1)y x =+。

A ，函数的单调性3．曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ：在直线2y x =上；B ：在直线2y x =-上；C ：在直线1y x =-上；D ：在直线1y x =+上。

B ，参化普，圆的参数方程4．当7m =，3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ：7；B ：42；C ：210；D ：840，条件分支，循环结构 5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ：充分而不必要条件；B ：必要而不充分条件；C ：充分必要条件；D ：既不充分也不必要条件。

D ，等比通项，充要条件6．若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ：2；B ：2-；C ：12；D ：12-。

D ，线性规划，分类讨论，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内(4,0)A 点时z y x =-有最小值4-，将A 坐标代入20kx y -+=解得12k =-。

7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1D ，若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ：123S S S ==；B ：12S S =且31S S ≠；C ：13S S =且32S S ≠；D ：23S S =且13S S ≠。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． （1)【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =,则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} (C){0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．(2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A ）1y x =+ (B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A ，1y x =+在[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意,对于C,2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．(3)【2014年北京，理3,5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）(A ）在直线2y x =上 （B)在直线2y x =-上 (C)在直线1y x =-上 (D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京,理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B)42 (C ）210 (D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅,则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 (B ）必要且不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >,则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．(6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为( ）（A ）2 （B ）2- （C)12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <,则不等式组所表示的平面区x +y -2=0kx -y +2=022Oy x域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ，()0,2,0C,(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则（ ）（A)123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ (D)23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，,故23S S ==D ．（8)【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀"“合格”“不合格"三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”,现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( ）（A ）2 （B)3 （C)4 （D)5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，(AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个,故选B ．第二部分（非选择题 共110分)二、填空题：共6小题,每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9,5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+,故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =,故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________;渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=,71089a a a a +=+,于是有80a >，890a a +<,故90a <．故87S S >,98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值．（13）【2014年北京,理13，5分】把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况,此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑,共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14)【2014年北京，理14,5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234TT -=⇒=． 三、解答题：共6题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京,理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =,点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ,AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=．所以4311333sin sin()sin cos cos sin 727214BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=⨯-⨯=． （2)在ABD ∆中，由正弦定理得338sin 143sin 437AB BADBD ADB⨯⋅∠===∠, 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=,所以7AC =．(16)【2014年北京，理16,13分】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立):场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4238客场41815主场5 24 20 客场5 25 12（1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数,比较()E X 与x 的大小(只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2)李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=,客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图,正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证://AB FG ；(2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ,即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -,各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ，()1,0,0B ,()2,1,0C ，()0,1,1F ，()0,0,2P ,设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =,()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩,令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴11sin ,222BC n ==⨯，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ,()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =,∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴2224242333PH ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解:（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时,()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-,则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时,因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，z yx ABCDEFG PMH()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时,()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1．解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减,从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明:()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时,sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <,则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ,且()00x x ∈,时,()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增,此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知:b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥,求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：(1）由题意,椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下:解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB⊥,所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=,解得002y t x=-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时,直线AB 的方程为()0022y y x t x t --=--,即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=．又220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二:由题意知,直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =,OA OB ⊥，①当0k =时,()20A ±,,易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB此时直线AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,,由点A 的坐标的对称性知,取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++,即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知,直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三:①当0k =时，()20A ±,,易知()02B ,,此时22OA OB =,=，AB =原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切;②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A x yB x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝;于是A OA=，OB =21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．(20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．(1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时:()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上,这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11,()11,8,()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =,()552T P =．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0== B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .2=-+y x 02=+-y kx A=-x y8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b = ，且()0a b R λλ+=∈ ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±=【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A.14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）（2014•北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•北京）复数（）2=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：（）2=．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）（2014•北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0）x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切．解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）（2014•北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．考点：分析法和综合法．专题：新定义；分析法．分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。

2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函 数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x=+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） .7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的 最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标 平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在 区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小 （只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的 最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明 你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组 成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

绝密★考试结束前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题。

每小题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。

每小题5分。

共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）
11
12
13
14。