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2014年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C .{}1,2 D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0== B A . 2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量()2,4a = ，()1,1b =-，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.1 B.3 C.7 D.15开始输出结束是否【答案】C【解析】7222210=++=S .5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立.6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴220.2 1.520.2(t 3.75)0.8125p t t =-+-=--+，即当75.3=t 时，P 有最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 . 【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .13.若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14.顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A9 15原料B6 21则最短交货期为 工作日. 【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142++=天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.15.已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-== ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+= ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+= ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.Oy xy 0x 0【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
课标文数【2014·北京文卷】一、选择题1.[2014•北京文卷]若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 【答案】C【解析】{}{}{}2,13,2,14,2,1,0==I I B A . 2. [2014•北京文卷]下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】由定义域为R 排除选项C ，定义域单调递增排除选项A 、D. 3. [2014•北京文卷]已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】2a －b =()()()7,51,14,22=--. 4. [2014•北京文卷]执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15输出【答案】C【解析】7222210=++=S . 5. [2014•北京文卷]设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件 【答案】D【解析】当0<⋅b a 时，由b a >推不出22b a >，反之也不成立. 6. [2014•北京文卷] 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作函数()xx h 6=与()x x g 2log =的图象如图，可得()x f 零点所在区间为()4,2.7. [2014•北京文卷]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由图可知当圆C 上存在点P 使O =∠90APB ，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，∴143122+≤+≤-m m ，解之得64≤≤m .8. [2014•北京文卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 O 5430.80.70.5t p记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【答案】B【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 5255.04168.0397.0，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=25.12.0c b a ，∴()0625.075.32.025.12.022+--=-+-=t t t p ，即当75.3=t 时，P 有最大值.二、填空题9. [2014•北京文卷]若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】∵()i xi i i x 211+-=+-=+，∴2=x . 10. [2014•北京文卷]设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为.()0,m A -()0,m BP【答案】122=-y x【解析】由题意设双曲线方程1222=-by x ，又∵()2221=+b ，∴12=b即双曲线方程为122=-y x .11. [2014•北京文卷]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .侧（左）视图正（主）视图11122【答案】 22【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且ABC PB 面⊥，2=PB ，2,2===BC AC AB ，222222=+=PA ，()62222=+=PC .12. [2014•北京文卷]在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815PBAC【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A . 13. [2014•北京文卷]若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为 .【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线x y z 3+=过可行域内A 点时，z 有最小值，联立⎩⎨⎧=-+=011y x y ，解之得()1,0A ，11103min =⨯+⨯=Z .14. [2014•北京文卷] 【答案】42【解析】交货期最短即少耽误工期，所以先让徒弟加工原料B ，交货期为4215216=++天. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料粗加工精加工原料A 9 15 原料B6 21则最短交货期为 工作日15. [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.1=y 01=--y x 01=-+y x xy 3-=A（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==L ，，． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=L ，， ⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=L ，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．16. [2012•北京文卷] 函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【解析】⑴ ()f x 的最小正周期为π07π6x =． 03y =⑵ 因为ππ212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，所以π5π2066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，．于是当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． 17. [2014•北京文卷]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ．所以1BB AB ⊥． 又因为AB BC ⊥．所以AB ⊥平面11B BCC ．所以平面ABE ⊥平面11B BCC ．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． 因为E ，F 分别是11A C ，BC 的中点，所以FG AC ∥，且12FG AC =．因为11AC A C ∥，且11AC A C =， 所以1FG EC ∥，且1FG EC =． 所以四边形1FGEC 为平行四边形． 所以1C F EG ∥．又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，GC 1B 1A 1FE CBA所以1C F ∥平面ABE ．（Ⅲ）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB ==． 所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA =⋅=⨯⨯=△． 18. [2014•北京文卷]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210++=名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距． 课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距． （Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 19. [2014•北京文卷] 已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =．故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+- ()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2220002044y x y x =+++()2202224442x x x x --=+++ ()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB长度的最小值为 20. [2014•北京文卷] 已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）解：（Ⅰ）由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛= ⎝()11f f ==-所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝ . （Ⅱ）设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -，因此()()2000631t y x x -=-- . 整理得3204630x x t -++=. 设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”. ()()21212121g x x x x x '=-=-.()g x 与()g x '的情况如下：)当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，，所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点.由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--， .（Ⅲ）过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点()210B ，存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切.：。
2014 年高考北京卷数学（文）卷解析（精编版）第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题.每小题 5 分，共40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={0,1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A ⋂B =（）A. {0,1, 2, 3, 4}B. {0, 4}C.{1, 2}D.{3}【答案】C【解析】 A B ={0,1,2,4} {1,2,3}={1,2}.2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.y =e-xB.y =x3C.y = ln xD.y =x【答案】B【解析】对于选项A，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0, +∞) ；选项D，在(-∞, 0) 上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量a =(2, 4)，b =(-1,1)，则2a -b =（）B. (5, 9)C. (3, 7)D. (3, 9)A. (5, 7)【答案】A【解析】2a－b= 2(2,4)-(-1,1)=(5,7).4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B. 3C. 7D.15【答案】C【解析】 S = 20 + 21 + 22 = 7 .5.设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a2 >b2 ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a ⋅b < 0时，由a >b 推不出a2 >b2 ，反之也不成立.6.已知函数 f (x )=6- logx 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是（）A. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 4)D. (4, +∞)【答案】C【解析】因为f (2) = 4 -1 > 0 ，f (4) =3- 2 < 0 ，所以由根的存在性定理可知：选C.2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P ，使得∠APB = 90 ，则m 的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 432 + 42⎩ ⎩【答案】B【解析】由图可知当圆 C 上存在点 P 使∠APB = 90O，即圆 C 与以 AB 为直径的圆有公共点，∴ m -1 ≤ ≤ m + 1，解之得 4 ≤ m ≤ 6.PA (- m ,0)B (m ,0)8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系 p = at 2 + bt + c （ a 、b 、 c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00 分钟D. 4.25 分钟【答案】B⎧0.7 = 9a + 3b + c ⎪⎧a = -0.2⎪【解析】由题意得 ⎨0.8 = 16a + 4b + c ，解之得 ⎨b = 1.5 ，⎪0.5 = 25a + 5b + c ⎪c = -2∴ p = -0.2t 2+ 1.5t - 2 = -0.2(t - 3.75)2+ 0.8125 ，即当t = 3.75时， P 有最大值.2 2 22+ 222 22+ ( 2)26 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.9.若(x + i )i = -1+ 2i (x ∈ R )，则 x = . 【答案】2【解析】∵ (x + i )i = -1 + xi = -1 + 2i ，∴ x = 2. 10. 设双曲线 C 的两个焦点为 (- 为.【答案】 x 2- y 2= 12, 0)， ( 2, 0)， 一个顶点式 (1, 0) ， 则 C 的方程【解析】由题意设双曲线方程 x 2- y 2 b 2 = 1，又∵1 + b 2 = ( )2 ，∴b 2 = 1即双曲线方程为x 2 - y 2 = 1. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】 2【解析】三棱锥的直观图如图所示，并且 PB ⊥ 面ABC ，PB = 2 ，AB = 2, AC = BC = ，PA = = 2 ， PC = = .21 - ⎛ 7 ⎫2 ⎝ 8 ⎭⎪ 15 ⎨ ⎩⎩12.在∆ABC 中， a = 1， b = 2 ， cos C = 1，则c =； sin A =.4【答案】2、8【解析】由余弦定理得c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 1 + 4 - 2 ⨯ 2 ⨯1⨯ 1= 2 ，即c = 2；4cos A =b 2 +c 2 - a 2 2bc = 4 + 4 - 1 = 2 ⨯ 2 ⨯ 2 7 ，∴ sin A = = . 8 8⎧ y ≤ 1 13.若 x 、 y 满足 ⎪x - y -1 ≤ 0 ，则 z = ⎪ x + y -1 ≥ 03x + y 的最小值为.【答案】1【解析】可行域如图，当目标函数线 z = y +3x 过可行域内 A 点时， z 有最小值，联立⎧ y = 1⎨x + y - 1 = 0 ，解之得 A (0,1)， Z min = ⨯ 0 + 1⨯1 = 1. PBC A15314.顾客请一位工艺师把 A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.【答案】42【解析 】因为第 一件进行粗 加工时， 工艺师 什么都 不能做， 所以最短 交货期为6 +15 + 21 = 42天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能 力. 15.已知{a n }是等差数列，满足 a 1 = 3， a 4 = 12 ，数列{b n }满足 b 1 = 4 ， b 4 = 20 ，且{b n - a n }是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前 n 项和.Ay = 1x - y -1 = 0x + y -1 = 0y = - 3x工序时间原料粗加工精加工原料 A 9 15 原料 B621{【解析】⑴ 设等差数列{a }的公差为 d ，由题意得 d = a 4 - a 1 = 12 - 3= 3n3 3所以 a n = a 1 + (n -1)d = 3n (n = 1，2 ， )． 设等比数列{b n - a n }的公比为 q ，由题意得·· q 3 = b 4 - a 4 = 20 -12= 8 ，解得q = 2 ．b 1 - a 1 4 - 3所以b - a = (b - a )q n -1 = 2n -1 ．nn11从而b n = 3n + 2n -1 (n = 1 ，2 ， ) ⑵ 由⑴知b n = 3n + 2 (n = 1 ，2 ， )． n -13n -11 - 2nn数列{3n }的前 n 项和为 n (n + 1)，数列 2 2 }的前 n 项和为1× 1 - 2 = 2- 1． 所以，数列{b }的前 n 项和为 3n (n + 1) + 2n - 1．n216. 函数 f (x ) = 3sin ⎛2x +π⎫的部分图象如图所示. 6 ⎪ ⎝⎭（1）写出 f (x )的最小正周期及图中 x 0 、 y 0 的值；⎡ π π⎤（2）求 f (x )在区间 ⎢⎣- 2 , - 12 ⎥⎦上的最大值和最小值.【解析】⑴f (x )的最小正周期为 πx = 7π ． 06y3 0⑵ 因为 x ∈ ⎡- π，- π ⎤ ，所以2x + π ∈ ⎡- 5π ，0⎤ ．⎣⎢ 212 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ 于是当 2x + π = 0 ，即 x = - π时， f (x )取得最大值 0；6 12 当 2x + π = - π ，即 x = - π时， f (x )取得最小值 -3．6 2 317. 如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， AA 1 = AC = 2 ，BC = 1。
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15 输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）学 科网满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考北京卷数学（文）卷第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.【学科网考点定位】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15【答案】C【解析】当0k =时，1S =；当1k =时，123S =+=；当2k =时，347S =+=；当3k =时， 输出7S =，故选C.【学科网考点定位学科网】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 【学科网考点定位】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实 验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.【学科网考点定位】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好学科网本类题目的关键. 10.设双曲线C 的两个焦点为()2,0，)2,0，一个顶点式()1,0，则C 的方程为 .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.13.若x、y满足11010yx yx y≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y=+的最小值为.【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线3z x y =+可得：当直线经过两直线1y =与10x y +-=的交点（0，1）时，z 取得最小值为1.【学科网考点定位】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最学科网值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键。
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考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3（2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x =（3）已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.15（5）设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件（6）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞（7）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京高考文科数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|3．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）第4题图第8题图A．1B．3C．7D．155．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．48．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c （a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A ． 3.50分钟B ． 3.75分钟C ． 4.00分钟D ． 4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若（x+i ）i=﹣1+2i （x ∈R），则x= _________ ． 10．设双曲线C 的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C 的方程为 _________ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．12．在△ABC 中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．13．若x ，y 满足，则z=x+y 的最小值为 _________ ．14．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21则最短交货期为 _________ 个工作日． 三、解答题，共6小题，满分80分． 15．（13分）已知{a n }是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，数列{b n }满足b 1=4，b 4=20，且{b n ﹣a n }为等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和． 16．（13分）函数f （x ）=3sin （2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f （x ）的最小正周期及图中x 0，y 0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1 [0，2） 62 [2，4）83 [4，6）174 [6，8）225 [8，10）256 [10，12）127 [12，14） 68 [14，16） 29 [16，18） 2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20．（13分）已知函数f（x）=2x3-3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）答题卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题15. （本小题满分13分）16（本小题满分13分）17（本小题满分14分）18（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）参考答案14题注：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）x （-∞，0）0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 - 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗。
