2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． （1)【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =,则A B =（ ）（A ）{0} （B ）{0,1} (C){0,2} （D ）{0,1,2} 【答案】C【解析】集合{}{}2|2002A x x x =-==,．故{}02AB =,，故选C ．(2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A ）1y x =+ (B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ 【答案】A【解析】对于A ，1y x =+在[)1-+∞，上为增函数，符合题意，对于B ，2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意,对于C,2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意，对于D ，0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意，故选A ．(3)【2014年北京，理3,5分】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）(A ）在直线2y x =上 （B)在直线2y x =-上 (C)在直线1y x =-上 (D ）在直线1y x =+上【答案】B【解析】参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，故选B ．（4）【2014年北京,理4，5分】当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）7 （B)42 (C ）210 (D ）840 【答案】C【解析】当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅,则有765210S =⋅⋅=，故选C ．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）（A ）充分且不必要条件 (B ）必要且不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >,则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D ．(6）【2014年北京，理6，5分】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为( ）（A ）2 （B ）2- （C)12 （D ）12- 【答案】D【解析】若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <,则不等式组所表示的平面区x +y -2=0kx -y +2=022Oy x域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，故选D ．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ，()0,2,0C,(D ，若1S ，2S ，2S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则（ ）（A)123S S S == （B ）12S S =且31S S ≠ （C ）13S S =且32S S ≠ (D)23S S =且13S S ≠【答案】D【解析】D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，,故23S S ==D ．（8)【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀"“合格”“不合格"三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”,现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( ）（A ）2 （B)3 （C)4 （D)5 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，(AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个,故选B ．第二部分（非选择题 共110分)二、填空题：共6小题,每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9,5分】复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．【答案】1-【解析】复数21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2++===--+,故221i ()i 11i+==--．（10）【2014年北京，理10】已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ= ．【解析】由0a b λ+=，有b a λ=-，于是||||||b a λ=⋅，由(21)b =，，可得5b =，又||1a =,故||λ= （11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________;渐近线方程为______． 【答案】221312x y -=，2y x =±【解析】双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±，设C ：224y x m -= 并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-，故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=,71089a a a a +=+,于是有80a >，890a a +<,故90a <．故87S S >,98S S <，8S 为{}n a 的前n 项和n S 中的最大值．（13）【2014年北京,理13，5分】把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种． 【答案】36【解析】先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有4424A =种方法．而A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况,此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑,共有33A 6=种方法，而A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-=种．（14)【2014年北京，理14,5分】设函数()sin()f x x ωφ=+，0A >，0ω>若()f x 在学科网区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最小正周期为________． 【答案】π【解析】由()f x 在区间ππ62⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，()f x 有对称中心π03⎛⎫, ⎪⎝⎭，由π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 有对称轴1π27ππ22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记T 为最小正周期，则1ππ2π2263T T -⇒≥≥，从而7πππ1234TT -=⇒=． 三、解答题：共6题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京,理15，13分】如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =,点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ,AC 的长． 解：（1）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=．所以4311333sin sin()sin cos cos sin 727214BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠=⨯-⨯=． （2)在ABD ∆中，由正弦定理得338sin 143sin 437AB BADBD ADB⨯⋅∠===∠, 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=,所以7AC =．(16)【2014年北京，理16,13分】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立):场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4238客场41815主场5 24 20 客场5 25 12（1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数,比较()E X 与x 的大小(只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2 主场3 主场5 客场2 客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P ==．（2)李明主场命中率超过0.6概率135P =，命中率不超过0.6的概率为1215P -=,客场中命中率超过0.6概率 225P =，命中率不超过0.6的概率为2315P -=．332213555525P =⨯+⨯=．（3）()E X x =．（17）【2014年北京，理17，14分】如图,正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,G H ． （1）求证://AB FG ；(2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AF PE ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，求线段PH 的长． 解：（1）AM ED //，AM ⊄面PED ，ED ⊂面PED ．∴AM ∥面PED ．AM ⊂面ABF ,即AB ⊂面ABF ，面ABF 面PDE FG =∴AB FG ∥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -,各点坐标如下()0,0,0A ,()0,2,0E ，()1,0,0B ,()2,1,0C ，()0,1,1F ，()0,0,2P ,设面ABF 的法向量为()000,,n x y z =,()1,0,0AB =，()0,1,1AF =，00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩,令1y =，∴()0,1,1n =-，又()1,1,0BC =，∴11sin ,222BC n ==⨯，直线BC 与平面ABF 所成的角为π6．设()111,,H x y z ，由PH tPC =，则()()111,,22,1,2x y z t -=-∴111222x t y tz t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴()2,,22H t t t -，又H ∈面ABF ,()21,,22BH t t t =--，∴0n BH ⋅=，∴220t t +-=，∴23t =,∴422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴2224242333PH ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈．（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．解:（1）()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时,()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤．（2）解法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”，令()sin g x x cx =-,则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时,因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，z yx ABCDEFG PMH()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时,()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 最小值为1．解法二：令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦，则()2cos sin x x x g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减,从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 最大值为2π，b 最小值为1，下面进行证明:()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时,sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <,则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ,且()00x x ∈,时,()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增,此时()()00h x h >=,sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥，综上知:b 的最小值为1．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥,求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．解：(1）由题意,椭圆C 的标准方程为2212x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c 故椭圆C 的离心率c e a ==．（2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下:解法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠．因为OA OB⊥,所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=,解得002y t x=-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB 的方程为x =圆心O 到直线AB 的距离d =．此时直线AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时,直线AB 的方程为()0022y y x t x t --=--,即()()0000220y x x t y x ty ---+-=．圆心O 到直线AB 的距离d=．又220024x y +=，02y t x =-， 故d ===AB 与圆222x y +=相切．解法二:由题意知,直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =,OA OB ⊥，①当0k =时,()20A ±,,易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB此时直线AB 与圆222x y +=相切；②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k =-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫ ⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,,由点A 的坐标的对称性知,取点A ⎛⎫计算，直线AB的方程为：))2222y x k x k k -=+=++,即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 距离d ==，此时直线AB 与圆222x y +=相切．综上知,直线AB 一定与圆222x y +=相切．解法三:①当0k =时，()20A ±,,易知()02B ,,此时22OA OB =,=，AB =原点到直线AB的距离OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切;②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A x yB x y ,,,，则1OA，2OB ==，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫或⎛⎫⎝;于是A OA=，OB =21k AB +=OA OBd AB⋅===直线AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切．(20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．(1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值;（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小；（3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最 小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）．解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max 241max 768T P T P =+,+=+,=． （2）当m a =时:()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d b c d '=++,+=++,=++；因为a 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max a b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤； 当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2max max T P d a b a c a d b c =++,+=++,；()1T P c d '=+，(){}{}2max max T P b c d c a b c a d a b c '=++,+=++,=++；因为d 是a b c d ,,,中最小的数，所以{}max d b c b c +,+≤，从而()()22T P T P '≤． 综上,这两种情况下都有()()22T P T P '≤．（3）数列序列:P ()4,6，()11,11，()16,11,()11,8,()5,2的()5T P 的值最小；()110T P =，()226T P =，()342T P =，()450T P =,()552T P =．。
