第四讲 空间几何体的三视图和直观图(学生版)

1 第八讲 空间几何体的三视图和直观图（1） 知识归纳 1.中心投影与平行投影 ①光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的光线交于一点． ②在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．平行投影的光线是平行的，在平行投影中，投影线垂直于投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影．与投影面平行的平面图形，在平行投影下得到的影子与原平面图形全等；在中心投影下的影子与原平面图形相似． 2.三视图 三视图是观察者从三个不同的位置观察同一个几何体画出的空间几何体图形，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 换言之，正视图即从正面往投影面看所看到的图；侧视图即从左面往投影面看所看到的图；俯视图即从上面往投影面看所看到的图． 方法点拨 1. 画三视图的基本方法 (1)确定正视方向，确定投影面； (2)布置视图，按三视图的位置关系，画各视图的定位线，如中心线或某些边线； (3)一般从正视图画起，按投影规律，再画另两个视图． (4)完成三视图绘制，把能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示． 2.三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可间记为“长（左右距离）对正；高（上下距离）平齐；宽（前后距离）相等”或“正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽”．如下图是六棱柱的三视图:

3.几种常见几何体的三视图 (1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆； (2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是一圆和其圆心； (3)球的三视图都是圆． 如下图所示:

(1)圆柱的三视图(2)圆锥的三视图 2

(3)球的三视图 4.组合体的三视图 应认清结构，把组合体分解成基本的几何体，再按基本几何体画图，并注意三视图的位置和大小关系． 【典型例题】 例1画出下列几何体的三视图．

（图1） （图2）

例2根据三视图(如图)想像物体原型，并画出物体的一个直观图草图． 3

例3如图，一桶未启封的方便面摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ） 例4如图，EF、分别为正方体的面11ADDA、面11BCCB的中心，则四边形1BFDE在该正方体的面上的射影是 ．

例5图（1）为长方体积木堆成的几何体的三视图，则此几何体共由 块木块堆成；图（2）中的三视图表示的实物为 ．

【课堂练习】 1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 2.将正三棱柱截去三个角（如图1所示ABC、、分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱

图（3） 图（2）

图（1）

E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A. B E B. B E C. B E D. 4

3.一个几何体的三视图如下图所示， 那么这个几何体是（ ）

A． B． C． D． 4.给出下列四个命题： ①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点； ②空间图形经过中心投影后，平行线可能变成了相交的直线； ③在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比； ④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式． 上述命题中，正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如下图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ．

第八讲 空间几何体的三视图和直观图（2） 知识归纳 1.直观图 直观图是观察者站在某一点观察几何体画出的空间几何体的图形． 2.利用斜二侧画法画空间图形的平面直观图的一般步骤: ①建立直角坐标系． 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O． ②画出斜坐标系．

在画直观图的纸上（平面上）画出对应的Ox，Oy，使xOy450（或1350），它们确定的平面表示水平平面． ③画对应图形．

在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形平行于y

轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来的一半． ④擦去辅助线． 图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）． 5

3.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz．且平行于Oz的线段长度保持不变．其他同平面图形的画法． 方法点拨 1.利用斜二侧画法画空间几何体的直观图的步骤: ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使

009090.xOyyOz，

②画出与Ox、Oy、Oz对应的轴OxOyOz、、，使004590xOyyOzxOy，，

所确定的平面表示水平平面． ③已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中画成平行于x轴、y轴和z轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中

画成平行于y轴，且长度变为原来的一半． ⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 2.应注意的几个问题 (1) 直观图与三视图的区别 绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段长度不如三视图要求严格；而三视图对线段的长度有严格的规定，一般在工程制图中应用广泛． (2)由直观图还原实际图形 将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍． (3) 求直观图面积 求直观图面积关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成045角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可． 【典型例题】 例1 利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是正方形； ③等腰梯形的直观图一定是等腰梯形； ④平行四边形的直观图一定是平行四边形． 以上结论正确的是（ ） A.①② B.①④ C.③④ D.①②③④ 例2一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）

A．1222 B． 212

C． 12 D． 22 例3如图1，'''AOB表示水平放置的AOB直观图，'B在'x轴上，''AO与'x轴垂直，且 6

''2AO，则AOB的边OB上的高为 ．

图1 图2 例4用斜二测画法作出长为3cm、宽为4cm的矩形的直观图．

例5画出底面是正五边形且侧棱与底面垂直的五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm． 【课堂练习】 1.下列关于斜二测画法画直观图说法，不正确的是（ ） A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同 B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D．斜二测坐标系取的角可能是135° 2.如图所示的直观图表示的平面图形为（ ） A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.非等腰直角三角形 D.不能确定

3.已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为 ． 4.下列说法中: ①角的水平放置直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍然相等； ③两条相交直线的直观图可能平行； ④水平放置的正方形的直观图可能是梯形； ⑤)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直． 其中正确的是 ． 5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，请画出相应空间图形的直观图． 7

【家庭作业】 1.如下右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的正视图和侧视图，那么原立体图形可能是 ．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)．

2.如图，设所给的方向为物体的正视方向，试画出它的三视图．（单位：cm）

3.用三个正方体，一个圆柱，一个圆锥的积木摆成如图※所示的几何体，其正视图为( ) 8

4.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( ) A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙 C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁 D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边 5.根据三视图(如图所示)想像物体原形，并画出物体的实物草图．

6.在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中（ ） A.变大 B.变小 C.可能不变 D.一定改变

7.如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( ) A.AB B.AD C.BC D.AC

8.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．