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锐角三角函数

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1 锐角三角函数

1、直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为2 ，则k的值为（ ）

2、一个直角三角形有两条边长为3和4，则较大锐角的正切值是（ ）

3、Rt△ABC的两条边分别是6和8，其最小角的正弦值为（ ）

4、已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2-3x+1=0的两根，则△ABC是（ ） 【参考数据：sin0°=0 sin90°=1】

A直角三角形 B钝角三角形 C直角三角形或钝角三角形

5、正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）

6、若等腰三角形两边为4，9，则底角余弦值是（ ）

7、已知sinα•cosα=41 ，45°＜α＜90°，则cosα- sinα=（ ）

8、若方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根是RtABC两锐角A、B的正弦值，求m的值。

9、一艘船以25千米/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东300，2小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东450，求灯塔S到B处的距离

10、下列命题正确的为（ ） 【填序号】 ①sinα表示角α与符号sin的乘积;

②在△ABC中,若∠C=90°,则c=αsinA成立;

③任何锐角的正弦值和余弦值都是介于0和1之间的实数

11、已知cosα(α为锐角)是方程2x2-5x+2=0的根,求cosα的值.

12、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=23,则sin2A=_______.

【不要将 ∠A的一半的正弦值 看作是 ∠A的正弦值的一半】

13、用不等号连结右面的式子:cos400_______cos200

14、已知α为锐角,且21

A. 00<α<300; B. 600<α<900; C. 450<α<600; D. 300<α<450.

15、如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°=624)

16、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(-2,0),点 2 B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( )

A、2-2a;

B、2+2a;

C、-2-2a;

D、-2+2a

17、（2011甘肃兰州9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°= 。

（2）对于0°

（3）如图②，已知sinA35，其中∠A为锐角，试求sadA的值。

18、在Rt△ABC中, ∠C=90°, 我们做如下的定义： 把比值的对边的邻边AA叫做∠A的余切， 记作： 的对边的邻边AAAcot；

把比值的邻边斜边A叫做∠A的正割， 记作： 的邻边斜边AAsec；

把比值的对边斜边A叫做∠A的余割， 记作： 的对边斜边AAcsc；

如果斜边AB=4 , BC=2。求∠A的余切值，∠A的正割值，∠B的余割值

19、求证：tanA=AAcossin 请根据这个公式计算下式的值

当tanA=4 时，计算AAAAcos3sincos2sin

20、根据图示求150角 、 750角的三个三角函数值

A

A B C C B

图① 图②

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锐角三角函数关系公式

锐角三角函数关系公式

锐角三角函数关系公式

锐角三角函数关系公式是指正弦、余弦、正切等三角函数在锐角三角形中的关系式。其中最为著名的公式是“正弦定理”和“余弦定理”。

正弦定理指的是，在任意锐角三角形ABC中，有a/sin A=b/sin

B=c/sin C，其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角。

余弦定理则是指，在任意锐角三角形ABC中，有a²=b²+c²-2bc

cos A，b²=a²+c²-2ac cos B，c²=a²+b²-2ab cos C，其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角，cos A、cos B、cos C分别表示对应的余弦值。

锐角三角函数关系公式在数学和物理等领域均有广泛应用，能够帮助人们计算三角函数值，解决各种相关问题。

锐角三角函数

锐角三角函数

锐角三角函数

一、知识体系

1、定义：

（1）正弦：

（2）余弦：

（3）正切：

2、特殊角的三角函数值：

3、同角三角函数之间的关系：

（1）平方关系：1cossin22

（2）商的关系：cossintan

4、直角三角形的边角关系：

5、仰角、俯角：

6、坡度、坡角：

（1）坡度：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，lhitan。

（2）坡角：坡面与水平面的夹角α叫坡角。

7、方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角。

二、知识巩固

1、【2015·广州中考】如图所示，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC= 。

2、【重庆中考】计算6tan45°-2cos60°的结果是（

）

A.34

B.4

C.35 D.5

3、已知α为锐角，且cosα=32，求sinα，tanα的值。

4、【2014·成都中考】如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB.

（参考数据：，，）

5、【2007·莆田中考】如图所示，有一飞行中的热气球，在A处时热气球的探测器显示：从热气球看正前方一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球离地面的高度为150米，为了安全，避免热气球撞上高楼，请问热气球此时至少应再上升多少米？

（注：3≈1.732，结果精确到1米）

6、【2010·攀枝花中考】如图所示，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=43，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（ ）

31.21.32.53.DCBA

7、【武汉中考】如图所示，PA，PB切⊙O于点A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）

锐角三角函数 2

锐角三角函数 2

第 1 页 共 10 页 锐角三角函数

【问题探索】

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：222111ACCBACCBACBC成立吗？

（1）当∠A变化时，上面等式仍然成立吗？

（2）上面等式的值随∠A的变化而变化吗？

【新课引入】

由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA即：baAAA的邻边的对边tan

同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________.

思考：

你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：

30°

45°

60°

sinθ

cosθ

tanθ

（根据一付三角板的三边关系进行计算）

【总结归纳】

1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；

2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 A B B1 B2

C C1 C2

三角函数值

三角函数 θ

锐角三角函数 3

锐角三角函数 3

二．锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切、余切的概念

2.特殊角的三角函数值。

3.锐角三角函数值的变化情况

当900A时，A的正弦、正切值随角的度数的增大而增大，即如果,则,sinsin

.tan.tan；

A的余弦、余切值随角的度数的增大而减小，即如果,则cotcot,coscos

4.同角的三角函数之间的关系

（1）平方关系：;1cossin22

（2）倒数关系：;1cottan

（3）商的关系：.sincoscot,cossintan

5.互为余角的三角函数之间的关系

若,90BA则,sin)90sin(cos,cos)90cos(sinBAABAA

.tan)90tan(cot,cot)90cot(tanBAABAA

1. 直角三角形的性质

在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半。

例1：已知为锐角，且,3tan求sincos2cos2sin的值。

例2：如果,115tantan则锐角的度数为

例3：若A是锐角，,53cosA则（ ）

300.AA 4530.AB 6045.AC 9060.AD

例4：在ABC中，90ACB两直角边长为a，b高,hCD，

求证：.111222hba

例5：（恩施中考）在ABC中，DBC,60,90是AC上一点，ABDE于,E且,1,2DECD则BE的长为

例6：在ABC中，,54sin,90AC则Btan

例7：（天津中考）计算：.60cos43)258(sin)21()1(032010