四川大学常微分方程教案设计(word文档良心出品)

第 7 章 常微分方程

高等数学研究的对象是函数，而函数关系一般是不能直接由实际问题得到的．但根据实际问题

的特性， 有时可以得到表示未知函数及其导数或微分与自变量之间关系的式子，这种关系式揭示了

实际问题的客观规律性，它是描述这种客观规律性的一种重要数学模型——微分方程．

本章学习目标

l 了解微分方程的定义（阶、解、通解、初始条件、特解） ．

l 掌握可分离变量微分方程、齐次微分方程的解法．

l 熟练掌握一阶线性微分方程的解法．

l 了解二阶线性微分方程的解的结构．

l 掌握二阶线性常系数齐次、非齐次微分方程的解法．

§7.1 基本概念

利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题时，一般先要建立数学模型，再

对数学模型进行简化和求解， 最后结合实际问题对结果进行分析和讨论．数学模型最常见的表达方

式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数（或微分）也会在方程中出现，

我们称这类方程为微分方程．

定义 7.1.1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程．只含一个自变量的微分方程称

为常微分方程， 自变量多于一个的称为偏微分方程． 微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶．

于是n阶常微分方程的一般形式是 

() 

( )0 n 

Fxyyy ¢

= L ， ， ， ， （7.1.1）

本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程．

定义 7.1.2 如果方程中未知函数 y 和它的各阶导数 () 

... n 

yy ¢

， ， 都是一次幂的，则称它为线性

微分方程，否则称它为非线性微分方程． 

n阶线性微分方程的一般形式是 

()(1) 

11 ()()()() nn 

nn yaxyaxyaxyfx -

- ¢

++++= L

其中 () 

i ax 1 2 in = L （ ， ， ， ）和 () fx 都是x的已知函数．

例7.1.1 下面的方程都是常微分方程．

应用高等数学教程（专业拓展篇） 

常微分方程教学大纲

（The teaching outline of ordinary differential equations）

（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）

课程编号：21210590 总学时数：51

学分数：3 开课单位：数学科学学院

课程的性质与任务

常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专业课。

通过本课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法，能比较熟练地用初等积分法求解几类典型的一阶方程和可降阶的高阶方程，掌握一阶方程的存在唯一性定理及线性微分方程(组)的通解理论，并能熟练地运用代数方法解常系数线性方程(组)，对于简单的应用问题能列出定解问题并会求解，为后继课程和应用打下必要的分析基础。

以课堂讲授为主，适当安排习题课与讨论课（主要是对存在唯一性定理部分）。组织1--2个有应用背景的微分方程模型，从建模、求解、到解释，让学生在教师指导下，自己动手，通过讨论，经历全过程，得到一定训练，提高分析问题和解决问题的能力。

本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。

大纲内容与基本要求

第一章 绪论

第一节 常微分方程模型

第二节 基本概念和常微分方程的发展历史

1、常微分方程的基本概念，

2、雅可比矩阵与函数相关性，

3、常微分方程的发展历史。

教学要求：

1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。 2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。

3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。

第二章 一阶微分方程的初等解法

第一节 变量分离方程和变量变换

第二章 目录

内容提要及其它...................................................................................................................................................1

第二章 一阶微分方程的初等解法（初等积分）

...................................................2

第一节 变量分离方程与变量变换..............................................................................................................2

一、变量分离方程................................................................................................................................2

二、可化为变量分离方程的类型........................................................................................................6

1、齐次方程..................................................................................................................................6

2、可化为变量分离方程..............................................................................................................7

常微分方程的求解问题

摘 要

题目中显然涉及到求解数值积分和求解常微分方程问题.

首先，需要对常微分方程中的数值积分进行求解.回顾所学过的求解数值积分的方法，有Newton-Cotes公式、复化求积公式、Romberg算法和Gauss-Legender公式等，我们选择其中的一种方法来进行求解.在求解时，选择了包含在Newton-Cotes公式中的梯形公式进行了求解.

然后，将积分求解的结果代入原方程中，进一步再求解常微分方程.回顾所学过的求解常微分方程的方法，有Euler格式、后退的Euler格式、梯形格式、改进的Euler格式、Euler两步格式、Runge-Kutta 方法、Taylor级数法等，我们选择其中的一种方法进行求解.在求解时，选择了四阶 Runge-Kutta 方法进行了求解.

最后，应用MATLAB软件进行了求解计算了t=1,2,..,10时的值，并对模型进行了优缺点分析及模型的推广.

关键词：数值积分；常微分方程；Newton-Cotes公式；Runge-Kutta 方法；

MATLAB软件

THE SOLUTION OF ORDINRY DIFFERENTIAL EQUATIONS

ABSTRACT

Problems in apparently involves numerical integration and solving problems in ordinary

differential equations.

First of all, we need to give the solution of ordinary differential equations. Take a

review of the numerical integration method, a Newton-Cotes formula, complex formula,