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四川大学常微分方程 (张伟年 著) 高等教育出版社 课后答案

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(9)
dy dx
=
√1−y2 .
1−x2
(12)
dy dx
=
cos x 3y2 +ey
.
解:
(1) 分离变量后得 ydy = −xdx, 两边积分, 得
因而原方程的通解为
其中 C = 2C1 为任意非负常数. (3) 当 y = 0 时, 分离变量后得
y2 2
=
−
x2 2
+ C1,
x2 + y2 = C,
dz dx
=
2 x
z
+
x,
这是一阶线性微分方程, 其通解为 z = x2(ln |x| + C), 从而原方程的通解为 y = x4(ln |x| + C)2,
其中 C 为任意常数.
11. 设 y1(x), y2(x) 是方程
dy dx
+
p(x)y
=
q(x),
的两个互异解. 求证对于该方程的任一解 y(x), 成立恒等式
=
1 y
−
x y2
,
由于
∂M ∂y
=
−
1 y2
=
∂N ∂x
,
所以这是一个恰当方程. 取 x0 = 0, y0 = 1, 可计算出
U (x, y) =
x
(cos
0
x
+
1 y
)dx
+
y 1
1 y
dy
=
sin x
+
x y
+ ln |y|.
故该方程的通解为
sin x
+
x y
+
ln |y|
=
C,
其中
C
为任意常数.
+
C1,
ln(1 + x2)(1 + y2) = ln x2 + 2C1,
从而方程的通解为
(1 + x2)(1 + y2) = Cx2,
其中 C = e2C1 为任意正常数.
3
(9) 当 y = ±1 时, 分离变量后得
dy = √ dx ,
1 − y2
1 − x2
两端积分得
arcsin y = arcsin x + C,
0
=
x5
+
3 2
x2
y2
− xy3
+
y3 3
.
y
y2dy
0
故该方程的通解为 x5 +
3 2
x2y2
−
xy3
+
y3 3
= C,
其中 C
为任意常数.
(5) 将原方程改写为
(6x + y + 2)dx + (x + 8y − 3)dy = 0,
这里 M (x, y) = 6x + y + 2, N (x, y) = x + 8y − 3, 由于
y(x) − y1(x) y2(x) − y1(x)
=
C,
其中 C 是某常数.
证明: 令 ψ(x) = y(x) − y1(x), φ(x) = y2(x) − y1(x), 容易验证
dψ dx
+
p(x)ψ(x)
=
0,
dφ dx
+
p(x)φ(x)
=
0.
因此存在常数 k1, k2 = 0 使得
x
ψ(x) = k1 exp(− p(t)dt),
(1) 当 y = 0 时, 令 z = y−1, 原方程变为
这是一阶线性微分方程, 其通解为
dz dx
=
−
6 x
z
+
x,
z
=
1 x6
(C
+
1 8
x8
),
3
从而原方程的通解为
x6 y
−
x8 8
=
C,
其中 C 为任意常数. 此外, 显然 y = 0 也是方程的解. (3) 令 z = √y, 原方程变为
ey
=
1 2
x2
+

1 4
x4
+ C,
其中 C
为任意常数.
代入初值条件得 e =
3 4
+ C,
从而 C
=
e−
3 4
.
故所给初值问题的解为
ey
=
1 2
x2
+
1 4
x4
+e−
3 4
.
7. 求解下列 Bernoulli 方程
(1) (3)
dy dx
=
6
y x
− xy2.
x
dy dx
−
4y
=
2x2
√y
解:
(x = 0, y > 0).
+
(
1 y
−
x y2
)dy
=
0.
(3) (5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2y − 3xy2 + y2)dy = 0.
(5)
dy dx
=
−
6x+y+2 x+8y−3
.
(9)
3y
+
ex
+
(3x
+
cos
y)
dy dx
= 0.
解:
(2)
这里
M (x, y)
=
cos x
+
1 y
,
N (x, y)
,
则有
ξ
du dξ
+
u
=
1 1
− +
u u
,
用分离变量法求得其通解为 u2 + 2u − 1 = C1ξ−2, 其中 C1 为任意常数. 再由
u
=
η ξ
=
y− x−
2 1
,
ξ = x − 1,
代入上式并化简得原方程的通解为 y2 + 2xy − x2 − 6y − 2x = C,
其中 C 为任意常数. (8) 将原方程改写为
1
习 题 2.1
1. 在方程 (2.1.1) 中如果没有假设 g(y) = 0, 讨论怎样用分离变量法来求解微分方程.
解: 我们分下面两种情形来讨论方程 (2.1.1) 的解. 如果 g(y0) = 0, 则y = y0显然是方程 (2.1.1) 的解. 如果 g(y0) = 0. 设 y = ϕ(x) 在区间 (a, b) 上是满足初始条件 ϕ(x0) = y0 的方程 (2.1.1) 的解， 则
因此, 在实际求解中除了求出使 g(y) = 0 的 y 值以外, 只要用 g(y) 除方程 (2.1.1) 的两边，然后 求不定积分
dy g(y)
=
h(x)dx,
即可.
2. 试用分离变量法求下列一阶微分方程的解.
(1)
dy dx
=
−
x y
.
(3)
dy dx
=
2xy.
(4) xy(1 + x2)dy = (1 + y2)dx. √
dϕ(x) dx
=
h(x)g(ϕ(x)),
∀a < x < b.
由解的唯一性可知，在区间 (a, b) 上均有 g(ϕ(x)) = 0. 事实上，假设有 x˜0 ∈ (a, b)，使得 g(ϕ(x˜0)) = 0, 则 y = ψ(x) ≡ ϕ(x˜0) (常函数) 是方程 (2.1.1) 的解. 从而，函数 ϕ, ψ 都是过点 (x˜0, ϕ(x˜0)) 的方程 (2.1.1) 的解. 由解的唯一性, ϕ ≡ ψ ≡ ϕ(x˜0). 故
g(y0) = g(ϕ(x0)) = g(ϕ(x˜0)) = 0.
这与假设 g(y0) = 0 矛盾. 由 g(ϕ(x)) = 0 可得，
1 g(ϕ(x))
·
dϕ(x) dx
=
h(x).
故当 x ∈ (a, b) 时，
令 τ = ϕ(t), 则
x x0
ϕ (t) g(ϕ(t))
dt
=
x
h(t)dt.
两边关于 x 求导，得到
ψ(x) y0
dτ g(τ )
=
x
h(t)dt.
x0
1 g(ψ(x))
·
dψ(x) dx
=
h(x).
即
所以 y = ψ(x) 是方程 (2.1.1) 的解.
dψ(x) dx
=
h(x)g(ψ(x)).
2
同理可证由等式
y y0
dτ g(τ )
=
x
h(t)dt + C,
x0
所确定的函数 y = ψ(x, C) 都是方程 (2.1.1) 的解, 其中 C 是任意常数.
y = exp(
x
2 +
1
dx)(C
+
(x
+
1)
5 2
exp(−
x
2 +
1
dx)dx)
=
C(x + 1)2
+
2 3
(x
+
1)
7 2
,
即
y
=
C (x
+
1)2
+
2 3
(x
+
1)
7 2
,

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常微分方程第三版课后答案(00001)

常微分方程第三版课后答案(00001)

常微分方程第三版课后答案常微分方程 2.11.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分课后答案第一章培训讲学

常微分课后答案第一章培训讲学

常微分课后答案第一章第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d ；（3）0322=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy ；（4）x xy dx dydxy d x sin 3522=+-；（5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解，这里0>ω是常数．（1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；（6）x y 1-=，1222++='xy y x y x ；（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ． （3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kt a Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到k a a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到ο30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）． 解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。

高等数学高教版课后习题答案

高等数学高教版课后习题答案

4
5 x 2
ax
C4 e
4
ax
（a 0） ；
（9） y (C1 C2 x) sin x (C3 C4 x) cos x ； （10） y C1 C2 x (C3 C4 x)e x 。 2． （1） y
1 7 5 （2） y e 3 x e 3 x ； sin 2 x ； 2 6 6
25．提示：微分方程的解为 y 其中 k 为常数。
1 x 26．函数 f 满足的微分方程 y 2 (2 xy x 2 y ) ，特解： y 。 3 1 x3
§ 3 二阶线性微分方程 1． （1） y C1e 3 x C2 e 2 x ； （2） y C1e 3 x C2 e 3 x ； （3） y C1 cos 2 x C2 sin 2 x ； （4） y (C1 C 2 x)e ； （5） y (C1 C2 x)e 3 x ； （6） y C1e 4 x C2 ； （7） y C1 C2 e 3 x C3 e 2 x ； （8） y C1 cos 4 a x C2 sin 4 a x C3 e
x 3 3 3 2 e ； （3） y （4） y 2e 2 x 4 xe 2 x ； cos x sin x 2 3 2
（5） y
29 x 6 6 x 1 1 e e ； （6） y e 2 x 。 7 7 2 2
3． y C1e x C2 x x 2 1 。 4． y C1e x C2 (1 2 x) 。 5． y x sin x cos x ln(cos x) C1 cos x C2 sin x 。
（3） y ( x C ) cos x ； （4） y e 2 x Ce x ； （5） y 1 Ce x ； （6） y
《常微分方程》答案_习题4.2

《常微分方程》答案_习题4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。