常微分方程课程分层教学的探索与实践

第25卷第6期大　学　数　学Vol.25,№.6 2009年12月COLL EGE MA T H EMA TICS Dec.2009常微分方程课程分层教学的探索与实践段宝彬,　陈　秀,　胡秀林(合肥学院数学与物理系,安徽合肥230601) [摘　要]随着高校扩招,高等教育由精英教育转化为大众教育,由于学生的基础和水平参差不齐,传统的“一刀切”教学模式很难适应现在的高等教育.尝试将分层教学的理论应用到常微分方程课程的教学实践中,提高了学生学习的兴趣和自主学习的能力,使不同层次的学生在学习的有效性、数学应用能力等方面都有不同程度的提高.[关键词]常微分方程;分层教学;因材施教[中图分类号]G642 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2009)0620019206常微分方程是数学类专业与实际应用联系较为紧密的一门基础课程.该课程对先修课程数学分析、高等代数等及后继课程微分几何、微分方程数值解等起到承前启后的作用,对学生的数学素养、分析与解决实际问题等能力的培养有着极为重要的作用.因此,各高校数学类专业都非常重视常微分方程课程建设和课程改革,鞍山师范学院的刘会民教授对课程教学模式进行了一系列探索和实践[1],四川大学的张伟年教授提出“两头在外”的思路,对课程教学内容和教学手段进行了有益的改革[2].结合学院的实际情况,我们对我系的常微分方程课程也进行了一些探索,实施分层教学就是其中最重要的一个改革措施.所谓分层教学,就是不违反教学大纲的前提下,针对不同学生的实际情况,确定相应的教学目标,选择合适的教学内容,使不同层次的学生在原有基础上都有不同程度的提高.1　实施分层教学的必要性1.1　分层教学的理论依据受教育对象是一个具有高度差异的在个体环境中生活的实体.教学的目的在于充分挖掘学生的潜能,使每一个学生都能成为对社会有用的人才.但是,长期以来,大多数普通高校都存在着同样的情况,那就是:在相同的时间内,用统一的教学要求与进度对不同的学生个体进行教学的现象.这种传统的教学模式在不同程度上压抑了学生个性和特长的发展,不利于学生自主学习能力的培养和课堂教学质量的进一步提高.因此,近些年,不少高校对分层教学模式进行一些有益的尝试[3,4].实际上,分层教学是有其理论依据的,具体来说,主要有以下几点:一、因材施教原则因材施教原则是一个从理论上大家都认可的教育教学的基本原则.我国古代教育家、思想家孔子曾提出“中人以上,可以语上也,中人以下,不可以语上也”,即教学要“因材施教,因人而异”.因材施教原则要求教师教学时要从学生实际出发,使教学的深度、广度、进度适合学生的知识水平和接受能力,同时考虑学生的个性特点和个性差异,使每个学生都能在各自原有的基础上得到充分发展.由于每个人受先天　[收稿日期]2007206225　[基金项目]安徽省教育厅省级教学研究项目(2007jxxm409);“十一五”国家课题“我国高校应用型人才培养模式研究”项目子课题(FIB0703352A2204);合肥学院院级教学研究项目(2008jxyb27)02大　学　数　学 第25卷遗传、环境、后天教育以及个人主观努力程度等方面因素的影响,使每个学生的身心发展水平又表现出其特殊性和差异性,如有的学生学习成绩好,有的学习成绩差,有的悟性强,有的接受新知识比较慢等.教学必须充分考虑这种个体差异,在满足统一教学大纲要求的前提下,坚持因材施教,使全体学生都能达到培养目标的基本要求,又有利于优秀人才脱颖而出,使每个学生的个性尽可能得到全面而充分的发展.二、思维的“最近发展区”理论[5]前苏联心理学家维果茨基的研究结果表明:每个学生都存在两种发展水平,一种是已经达到的现有发展水平,即学生能够独立完成学习任务所处的水平,另一种是学生可能达到的潜在发展水平,表现为学生靠自己还不能独立地解决学习任务,只有在老师或他人的帮助下,经过努力才能够解决这些任务的发展水平,这两种水平之间的区域就是“最近发展区”.由于不同层次学生的最近发展区差异很大,这就要求教师教学时要对不同层次学生确定不同的教学目标和要求,不断地把他们的最近发展区转化为现有发展水平,使每个学生都能享受到成功的快乐,以此激励学生达到更高的发展水平.1.2　分层教学的现实背景近些年来,伴随着高校的扩招,高等教育由过去的精英教育转向大众化教育,学生生源分布很广,我们不难发现学生的基础和水平参差不齐,差距较大.同时,他们在学习习惯、行为特点、兴趣爱好、就业和考研意向等方面也存在着不同的差异,表现在数学知识需求和接受能力等方面也不尽一致.传统的“一刀切”课堂教学模式忽视了学生的差异性,忽视了非智力因素的开发,不利于基础薄弱学生的自信心和学习积极性的提高,而优等生又常有在课堂上“吃不饱”的感觉.所以,我们有必要打破统一的课堂教学模式,实施“分层次教学”,充分关注全体学生的发展,做到优等生有所提高、中等生有所突破、基础薄弱的学生有所收获,以全面提高教学质量.1.3　实施分层教学的意义目前教学中一个比较突出的问题是学生“两极分化”现象比较严重:在同一个班级里,学生的学习成绩参差不齐,并且年级越高,成绩差距越大.如何提高基础薄弱学生的学习成绩,成了学校教育教学的一大难题,为全面提高教育质量,使学习成绩较差的学生能够达到教学的基本要求,又要使有特长的学生得到更进一步的发展,分层教学无疑是一种行之有效的方法.这就要求教师在课堂教学中从不同层次学生的实际出发,提出不同层次的具体要求,采用不同层次的教学方式方法,给予不同层次的相应辅导,制定不同层次的评价考核方式,使每个学生都能得到充分的发展,圆满地完成学习任务,全面提高全体学生的素质.实施分层教学的精髓是因材施教,尊重学生的个体差异,为不同层次的学生创造相应的学习条件,使不同层次的学生在该课程的学习中都能有所收获,以使他们顺利完成学业.另一方面,分层教学也充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用,通过师生之间、学生之间的交互合作,使课堂活跃有序,调动了全体学生学习的积极性,使不同层次的学生都能够完成学习目标,都能充分发展,同时增强了学生学习的信心和兴趣,培养了学生健全的人格.2　常微分方程课程分层教学的实践通过对我系06级数学与应用数学、信息与计算科学两个专业学生进校一年半以来专业基础课成绩、就业和考研意向等综合分析的基础上,在尊重学生个人意愿的前提下,我系对常微分方程课程首先进行分层教学试点.2.1　常微分方程课程分层教学的课堂教学模式常微分方程课程分层教学打破了过去统一的班级教学模式,我们把数理系06级全体学生分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个层次进行课堂教学,三个层次的学生比例大约为25%,50%,25%.分层的主要原则有三个:一是现有数学基础水平,主要参考前三学期数学分析、高等代数的考试成绩;二是毕业后打算考研的专业或就业意向,主要考虑考研专业或就业领域对常微分方程知识要求的深度和广度;三是学生的个人志愿,充分考虑学生的个人兴趣爱好等.我们对每个层次确定不同的教学目标和要求,目标的制定以“跳一跳够得着”为标准,既不要因目标过高而使学生失去学习信心,又不要因目标过低而使学生的潜力发挥不出来.对于层次Ⅰ的学生,由于学生数学基础和水平较好,在完成教学大纲规定内容的基础上,对相关知识进一步拓宽、加深,使学生熟练掌握相应的数学思想、数学思维,有选择地介绍一些现代微分方程的前沿知识,鼓励学生参与教师科研课题.教学方式以启发式、讨论式为主,鼓励学生自己提出问题,通过讨论解决问题等.设计一些难易适中的问题让学生进行思考、研讨,鼓励学生自己查阅相关文献,撰写学术论文,不断提高学生的创新意识和创新能力.对于层次Ⅱ的学生,由于学生数学基础和水平一般,在完成教学大纲规定内容的基础上,着重培养学生利用常微分方程知识解决实际问题的能力.教学方式以案例教学为主,尽可能选取日常生活中的实际例子,通过分析、假设、建立微分方程模型,然后利用相关知识求出方程的解析解或利用matlab、mat hematic等数学软件求出数值解,然后再将方程的解应用到实际问题中进行检验,进一步修正、完善模型.这种教学方式处处体现数学建模的思想,可以使学生理解微分方程理论是如何联系实际的,提高学生学习的兴趣,加深了学生对所学知识的理解.鼓励学生积极参加全国大学生数学建模竞赛,不断提高学生的数学应用能力和创新意识.对于层次Ⅲ的学生,由于学生数学基础比较薄弱,着重介绍教学大纲的核心内容,强调常微分方程基础知识和方法的应用,比较难的证明过程和理论略讲,只简单介绍其数学思想和方法.课堂教学设计的问题相对要简单些、梯度小一点,采用“小步子、慢速度”的教学原则,课堂教学采取精讲多练,由浅入深,循序渐进,布置的作业也多以模仿性、基础性为主,多鼓励少批评,加强课后辅导工作.2.2　常微分方程课程分层教学的考核方式为贯彻学院的教学改革方案,变“终端控制”为“过程+终端控制”,我们为常微分方程课程制定并实施了切实可行的“N+2”考核方案,“N”主要以单元测验、课程论文和口试为主,侧重数学思维的递进训练和数学能力的建构.过程考核的内容和形式根据不同层次学生的实际情况和教学目标由授课教师自行确定,而期末考试各层次学生采用统一命题、统一阅卷、闭卷考试,以保证分层教学中各层次学生都必须达到课程教学大纲规定的要求.另外,为避免出现学生过程考核成绩较高、期末考试成绩过低的现象,我们将过程控制与结果控制有机结合,设置了期末考试课程的最低控制分数线.只有学生总评成绩不低于60分,且期末考试成绩不低于课程的最低控制分数线,才算通过该门课程的考核,从而确保了课程的教学质量.“N”和学习笔记的检查时间、次数、方式、内容(结合层次特点)等主要由授课教师自行确定,但期末考试是严格执行统一命题、统一阅卷,真正体现出灵活性和规范性相结合,个性与共性相结合,真正体现了“把教的创造性留给教师、把学的主动权还给学生”的教学理念.这一方案的实施大大增强了学生学习的有效性.2.3　常微分方程课程分层教学的效果对常微分方程课程实行分层教学,提高了学生的学习兴趣,增强了学生自主学习的能力,体现了不同层次的学生的学习的有效性和目的性.报名参加大学生数学建模竞赛的人数也增加了很多,有一位同学的课程论文已经被省级期刊录用即将发表,同时该门课程的平均成绩和及格率也得到了稳定的提高.利用SPSS软件,得到我系近三年常微分方程课程期末考试成绩和总评成绩的统计分析结果,见表1-6和图1-12.表1　04级学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%30分以下79.000 30—49分1721.800 50—59分1114.179.0 60—69分1823.12430.8 70—79分1316.72835.9 80—89分79.01417.9 90—100分5 6.45 6.412第6期 段宝彬,等:常微分方程课程分层教学的探索与实践表2　05级学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%30分以下2 1.700 30—49分1613.43 2.5 50—59分1714.35 4.2 60—69分2319.33428.6 70—79分2823.53630.3 80—89分2722.73731.1 90—100分6 5.03 3.4表3　06级学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%30—49分8 5.110.6 50—59分127.600 60—69分2113.32012.7 70—79分4226.66038.0 80—89分4528.56038.0 90—100分3019.01710.8表4　06级分层Ⅰ班学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%50—59分2 4.900 60—69分001 2.4 70—79分922.0512.2 80—89分922.02765.9 90—100分2151.2819.5表5　06级分层Ⅱ班学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%30—49分4 5.00050—59分78.80060—69分1316.31113.870—79分2632.54151.380—89分2632.52531.390—100分4 5.03 3.822大　学　数　学 第25卷表6　06级分层Ⅲ班学生常微分方程成绩统计表各分数段人数(期末)各分数段人数百分比(期末)%各分数段人数(总评)各分数段人数百分比(总评)%30—49分410.81 2.750—59分38.10060—69分821.6821.670—79分718.91437.880—89分1027.0821.690—100分513.5616.232第6期 段宝彬,等:常微分方程课程分层教学的探索与实践[参　考　文　献][1]　刘会民,等.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J ].数学教育学报,2006,15(1):72-74.[2]　张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J ].高等理科教育,2003,(1):19-21.[3]　吴立宝,何童丽.高师数学专业基础主干课程“分层递进教学”探究[J ].安徽理工大学学报(社会科学版),2004,6(2):80-83.[4]　张宝善.大学数学教学现状和分级教学平台构思[J ].大学数学,2007,23(5):5-7.[5]　维果茨基.维果茨基教育论著选[M ].余震球译.北京:人民教育出版社,2005.42大　学　数　学 第25卷。