四川大学常微分方程教(学)案

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《常微分方程》教学大纲课程编码：110826课程名称：常微分方程学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《大学物理》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课。

2．课程任务：《常微分方程》是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，诸如定性和定量近似求解的思想。

通过学习，使学生熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法，以及了解定性和稳定性的初步理论和方法。

通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础，同时它在训练学生分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著作用。

二、课程教学基本要求《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门重要专业课，安排在三年级上学期进行，把学生前阶段学习的数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等方面的知识首次较普遍、较深入地结合起来，用以初步解决数学理论和实际问题中出现的一批重要而基本的微分方程问题，同时在这个过程中自然地提出和建立起常微分方程本身的基础理论和基本方法，也为若干后继课程（如数理方程、微分几何、泛函分析等）作好准备。

该课程主要以讲授为主，理论课时为72学时，考核方式为闭卷考试。

成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。

成绩评定采用百分制，60分为及格。

三、课程教学内容第一章绪论1.教学基本要求让学生了解常微分方程的历史，以及它在生活实践中的应用；激发学生对本课程学习的兴趣。

了解常微分方程中的基本概念，为后续学习打好基础。

2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章的教学使学生初步掌握常微分方程产生于社会实践中,掌握常微分方程的线性、非线性,解、隐式解,通解、特解,积分曲线、方向场等基本概念.3.教学重点和难点教学重点是常微分方程及其解的概念，能判断方程的阶数，线性与非线性。

第一章 绪论定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+=1=，3121x x x--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210x y z ++-=等等根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算一、引例例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式00220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s ts v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t ==-+ （6）把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得0.420v t =-+（8）20.220s t t =-+（9）在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.一阶常微分方程的一般形式为：(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程(,)y f x y '=称为一阶显式方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.如果（*）的左端为(),,n y y y'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.一般地，初值问题为()(1)(1)(1)000000(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为(,)f x y k =例（P28习题7）：微分方程22234'x y y xy -=，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证：设:(),[,]L y f x x a b =∈是微分方程的一条积分曲线，则满足22234['()]()(),[,]x f x f x xf x x a b -=∈ 而L 关于(0,0)成中心对称曲线':()(),[,],[,]L y f x F x x b a x a b =--=∈---∈， 所以有'()'()F x f x =-, [,]x b a ∈--当[,]x b a ∈--,[,]x a b -∈,可知22234()['()]()()x f x f x xf x ----=--即 22234['()]()()x F x F x xF x -=所以()F x 满足微分方程，故()F x 为微分方程的积分曲线.并且相对于L 关于原点(0,0)成中心对称曲线.三、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.300多年前， Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 1676年微分方程最早出现在Leibniz 写给Newton 的一封信中，常微分方程的发展主要分为三个阶段：1.初期发展期17世纪中期到18世纪末期，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 代表人物莱布尼兹（德1646-1716）、牛顿（英1642-1727）2.基本理论奠定期19世纪初期到19世纪末期,主要研究解的定性理论与稳定性问题.代表人柯西Cauchy （法1789-1857）、刘维尔Liouville （法1809-1882）3.现代理论发展期19世纪末期-现在，进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.代表人物庞加莱Poincare（法1854-1912）、李雅普诺夫Lyapunov（俄1857-1918）。

大学物理数学方法：常微分方程教学案例1. 引言1.1 概述本篇长文旨在探讨大学物理数学方法中的常微分方程教学案例。

常微分方程作为数学物理学科中的重要内容之一，是解决各种自然现象和工程问题中的基础方法。

通过深入研究常微分方程解法方法以及相关教学案例，我们可以更好地理解和应用这一领域。

1.2 文章结构本文主要包括以下几个部分：概述、常微分方程基础知识、常微分方程解法方法、常微分方程教学案例分析和结论与展望。

其中，概述部分将介绍本文的主题和目标，并提供整体文章结构的概览。

1.3 目的本文的目的是通过对大学物理数学方法中常微分方程教学案例的研究，探讨如何有效地教授和应用这一领域知识。

通过针对不同难度级别和实际应用场景的案例分析，旨在提高读者对常微分方程解法方法的理解，并培养其应用知识于实际问题解决能力。

以上为"1. 引言" 部分内容。

2. 常微分方程基础知识:2.1 定义与分类:常微分方程是描述函数未知函数及其导数之间关系的数学方程。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

一阶常微分方程：表示未知函数的导数只出现了一次。

例如，dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。

高阶常微分方程：表示未知函数的导数出现多次。

例如，d^2y/dx^2 + p(x)(dy/dx) + q(x)y = g(x)，其中y是未知函数，p(x)，q(x)，g(x)均为已知函数。

2.2 初值问题与边值问题:在解常微分方程时，通常会遇到两种类型的问题：初值问题和边值问题。

初值问题：在给定一个初始点（x0, y0）时，需要找到该点处的一个解析解或者数值解。

例如，求解一阶常微分方程dy/dx = f(x)，满足初始条件y(x=x0) = y0。

边值问题：在给定两个边界点（a, ya）和（b, yb）时，需要找到这两个点之间满足特定条件的解析解或者数值解。

例如，求解二阶线性常微分方程d^2y/dx^2 = f(x)，满足边界条件y(x=a) = ya和y(x=b) = yb。

第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。

在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。

例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。

这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。

利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。

本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。

例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。

）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。

这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。

其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。

下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。

第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。

例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。

掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。

例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。

我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气的温度保持为。

解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。

例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。

《常微分方程》课程标准一、课程概述常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课。

它不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。

在教学当中，教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练；通过典型例子、做练习题这些环节，帮助培养、提高解题能力和技巧。

二、课程目标1、通过学习，使学生知道《常微分方程》在数学基础课中的地位与作用，知道本学科的研究范围、研究方法和学科进展情况。

2、通过本课程的学习，使学生掌握《常微分方程》的基本概念、基本原理和基本方法。

3、要求学生学会运用基本方法和基本运算和技能，把所学到的基本原理应用到具体的实际事件中去，去发现、分析和解决一些日常生活中遇到的实际问题。

三、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。

这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。

理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。

掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。

学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。

教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。

本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。

（一）绪论（一）课时安排与教学建议《常微分方程》是数学与应用数学专业的必修课，也是主干课程。

在第三学期或第四学期开设为宜，每周安排3节，共60学时完成本课程的教学。

具体课时安排如下：1、 应以标准教学班为主要教学组织，班级授课制是本课程教学的主要组织形式。

2、 应注意教学方法、教学手段的综合运用，教学过程中，可以用如讨论、提问、声像、多媒体 教学等手段开展教学活动以激发学生学习兴趣。

应用型本科院校《常微分方程》教学设计初探近几十年，随着非线性科学和动力系统的快速发展，常微分方程在力学、生物信息、机械通讯等科学工程领域中都有着广泛的应用。

常微分方程是联系理论和实践应用的桥梁，因此《常微分方程》是应用型本科院校数学专业的一门基础核心课程，它以《数学分析》《高等代数》作为理论基础，又以自身作为工具去解决物理、力学和工程等方面的一些问题。

所以《常微分方程》是一门有很深实际背景综合性又比较强的学科课程，受到师生们的普遍重视。

作为一门数学专业课程，《常微分方程》的理论体系非常完善和严谨，在传统教学中常微分方程教学的一个突出特点是推理严密繁杂，板书较多，经常出现教师说的急，写的多，擦的快的现象，学生往往目不暇接，还没有完全记下重点，也没有完全消化内容就进入了下一个内容板块，最后导致学生学习兴趣降低，教学效果不理想。

为了顺应时代的发展，下面作者在教学实践的基础上，根据应用型本科院校人才培养目标和学生的學习实际，以重视学生在学习中的主体地位为前提，拟对传统常微分方程教学作了一些教学探索，以期培养出一批理论基础扎实，又具有科学创新能力的合格优秀数学专业人才。

1 优选学生教材，优化教学内容教材作为教学内容的信息载体，是教师实施组织教学活动及学生系统获得课程知识的基本工具。

通常人们指的教材主要是对教师备课而言的。

事实上，给学生选配一些参考书让他们从单纯的课堂中走出来是很必要的，因为学生的创新意识首先要从主动查阅文献开始。

因此合理选配教科书和参考书，是教学改革中解决传统教学内容与新教学目标计划不适应这一矛盾的关键一环。

为了搞好教学改革的内涵建设，我们选用了王高雄等编著的“十一五”国家级规划教材《常微分方程》（第三版）作为本课程的主要参考书目。

此教材的编写高度重视启发学生的纵横思维，强调前沿理论知识与自然科学实际相结合的数学思维特点。

其中第一章至第六章（带星号的除外）为必学内容，本着从特殊到一般的教学原则，我们对教材内容进行了优化处理。

大学数学课程教案：研究微分方程1. 引言概述：在大学数学课程中，微分方程是一个非常重要的主题。

微分方程广泛应用于自然科学和工程学领域，如物理、化学、生物和工程等。

研究微分方程不仅有助于我们深入理解现实世界中的各种变化和现象，还为解决实际问题提供了一种有效的数学工具。

文章结构：本文将以以下几个部分来介绍微分方程及其应用。

首先在第二部分中，我们将回顾微积分的基本知识，以便更好地理解微分方程的概念和性质。

接着，在第三部分中，我们将探讨解微分方程的方法，并详细介绍变量可分离方程、线性一阶常微分方程和齐次线性二阶常系数微分方程的求解方法。

然后，在第四部分中，我们将关注数学建模中微分方程的应用，并说明复利问题与连续贬值问题、生物学中的增长模型和传染病模型，以及物理学中的运动问题和振动问题等案例。

最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容并讨论大学数学课程教案的意义和启示，同时提出未来研究的可能性。

目的：本文的主要目的是引导读者更加系统地学习和理解微分方程，并展示其在不同领域中的实际应用。

通过对微分方程基本概念和求解方法的介绍，读者将能够掌握解决实际问题所需的数学工具和技巧。

此外，本文还意在启发读者对于大学数学课程教案设计和未来研究方向的思考，以促进数学教育和科学研究的进步。

2. 微分方程的基本概念2.1 微积分回顾:微积分是数学的一个分支，涉及到导数和积分的概念。

在微积分中，我们研究函数的变化率和面积或曲线下的累计效应。

导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则表示了函数曲线下面积或累计效应。

2.2 微分方程的定义与分类:微分方程是描述未知函数和其导数（或偏导数）之间关系的方程。

它们广泛应用于自然科学、工程领域以及其他各个领域中，常用于建立模型来解释和预测各种现象。

根据方程中出现的未知函数和导数（或偏导数）的阶数，可以将微分方程分类为以下几类：- 常微分方程：只包含未知函数关于单变量（通常是时间）的导数。

- 偏微分方程：包含未知函数关于多个变量的偏导数。

常微分方程课程教学大纲及实施意见一、课程的性质与任务常微分方程是数学的一个重耍分支，也是数学理论联系实际的重耍渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起來的。

随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论FI益丰富多采，富有生命力。

常微分方程是大学数学专业的一门皋础课，在教学计划屮是选修课，它在解析几何、数学分析、高等代数之后开课,本课程着重讲授常微分方程理论中一些最皋本、最重要的经典问题和一些简单的应用，例如初等解法，解的理论，线性方程的理论和解法，一阶线性和拟线性偏微分方程的理论和解法，为了使学生对常微分方程的进一步内容有所了解，本课程也简略地介绍了常微分方程定性理论和稳定性理论。

通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主耍方法,具冇一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础C二、课稈内容、要求与说明（一）初等积分法（学吋数26）内容1.基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性方程和非线性方程，阶，解（通解、特解、隐式解），初值条件，初值问题。

2.可分离变量的方程。

3.齐次方程dy/dx=ip（y/x）4.一阶线性方程,常数变易法,伯努力方程。

5.全微分方程与积分因子。

6.方向场，微分方程的几何意义。

7.一阶隐式微分方程（可解出dy/dx的方程，克莱洛方程，奇解）8.几种可降阶的二阶方程:d2y/dx2=f（x, dy / dx）, d 2 y / dx 2 =f （y, dy / dx）。

9.微分方程的应用举例（物理与几何方面的简单应用）教学要求1.理解线性方程与井线性方稈，阶，解（通解，特解，隐式解），初值条件，初值问题等概念。

2.熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；们努力方程，全微分方程的求解方法。

3.掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。

4.了解变量变换和积分因子在求解微分方程屮的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。