弗赖登塔尔的HPM思想及其教学启示蒲淑萍;汪晓勤【摘要】汉斯·弗赖登塔尔是荷兰杰出的数学家和数学教育家.其＂再创造＂理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行＂再创造＂,＂有指导的再创造＂中的HPM思想,基于数学现实的再创造中的HPM思想,＂学习过程＂的再创造中的HPM思想.弗赖登塔尔的HPM思想对数学教学的启示有：数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础,教师培训是从知识到理念提升中小学教师对HPM 认识的大好契机,再创造思想为提升数学史的使用层次提供理论支撑.%Hans. Freudenthal, an outstanding Dutch mathematician and mathematics educator, and also the most prestigious authority of mathematics education in the world, was the leader mathematics educator in the later half of the 20th century. The HPM thought dominating his whole basic thoughts, such as Reinvention Thought, is very valuable to the mathematics instruction theory and practice. We excavated and reorganized his HPM thought to provide some enlightenment about mathematical teaching.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2011(020)006【总页数】5页(P20-24)【关键词】汉斯·弗赖登塔尔;再创造;HPM思想;教学启示【作者】蒲淑萍;汪晓勤【作者单位】华东师范大学数学系,上海200241;淄博师范高等专科学校,山东淄博255100;华东师范大学数学系,上海200241【正文语种】中文【中图分类】G4201 问题提出自1972年在英国埃克塞特举办的第二届国际数学教育大会（ICME-2，United Kingdom, Exeter, 1972）上，美国的P. S. Jones和英国的L. Rogers组织成立数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称 HPM）以来，数学史与数学教育关系这一学术研究领域在各个国家和地区蓬勃发展起来，基于HPM思想的教学理论与实践研究[1～2]都取得了令人瞩目的进展与成就．然而阳光并未普照到世界的所有角落，HPM 在我国中小学的实际情况并不十分乐观．很多中小学教师与管理人员还存在着对HPM领域的认识不足或误区．研究者曾就中小学数学教学中运用数学史的情况进行了访谈调查，发现为数不少的教师及教学管理人员仍存在诸如“我们主要关注升学率，数学史的运用可能会影响教学进度．”“数学史没有时间用．”“数学史的知识我们（指教师）都知道得很少，怎么用？”“数学史也就是讲讲故事、看看图片，激发一下兴趣而已吧！”“用数学史？大概得等到上公开课的时候吧？”“数学史确实对教学有促进作用，但我们用得很少，几乎不用”等看法．相比于Constantinos Tzanakis, Abraham Arcavi 等人调查获得的结果[3]竟没有太多的改观．而对于运用“再创造”的思想与方法将概念、公式等的历史发展等通过重构方式运用于教学的做法，更是使不少对HPM领域缺乏足够认识的人难以理解、接受．比如，有些人认为“看不到”历史素材，如年代、人物、史实等，就不能算作运用历史．可以看到，他们不仅对数学史用于数学教学的认识肤浅、甚至存在误区，而且对利用发生教学法、通过“再创造”的方法重构历史于教学的做法更是缺乏正确认识．如此等等的信息，使研究者认识到深入宣传HPM思想、推行利用历史发生原理进行教学设计、让数学史走进常态课堂的迫切性．数学史怎样进入中小学数学课堂，已是理论演绎和实践反思双向互动中生成的迫切课题．发掘数学教育大师的HPM思想，反思其对教学的启示，可获得最为直接、并最具有借鉴意义的做法．今天对20世纪下半叶的国际数学教育权威汉斯·弗赖登塔尔的HPM思想进行挖掘整理，以期对广大数学教育工作者深入、正确认识HPM领域并积极进行理论研究与教学实践尽绵薄之力．2 汉斯·弗赖登塔尔简介汉斯·弗赖登塔尔（H. Freudenthal，1905—1990）是荷兰数学家、数学教育家，是国际上最富盛名的数学教育权威，被誉为 20世纪下半叶数学教育领域的带头人[4]．弗赖登塔尔1905年出生于荷兰，1930年获得柏林大学博士学位．1951年起为荷兰皇家科学院院士，1971年至1976年任荷兰数学教育研究所所长．早年从事纯粹数学研究，在李群和拓扑学方面多有建树．20世纪50年代围绕“新数”运动的争论使弗赖登塔尔名声大振．他对国际数学教育委员会研究课题的建议（研究课题应是明确的、具体的．例如，几何教学中采用初等的直观方法的必要性；心理学在数学教学早期阶段的作用；几何教学的重要性；逻辑学与数学教学[4]．），得到了广泛而热烈的赞同与响应．1967年，弗赖登塔尔当选国际数学教育委员会主席．在他的手中实现了令数学界、数学教育界瞩目，至今仍影响深远的两件事：其一，单独举行 ICME（International Congress of Mathematics Education）．打破了过去国际数学教育委员会会议作为数学家大会（ICM）的一个分组的状况．从此，ICME独立举行，国际数学教育委员会（ICMI）成为一个促进数学教育研究的国际机构，四年一度的ICME成为各国数学教育工作者交流研究成果的最好机会；其二，弗赖登塔尔在1968年创办了《数学教育研究》（Educational Studies in Mathematics）．现在，《数学教育研究》与ICME的联系更加紧密，它已成为国际上最有影响的数学教育刊物．弗赖登塔尔1950年代后开始关注数学教育，他的一系列数学教育著作，影响遍及全球．主要有《作为教育任务的数学》（Mathematics as an Educational Task，1973），《播种和除草》（Weeding and Sowing，1978），《数学结构的教学法现象学》（Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，1983）．其中第一本是最基本的，阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点，后两本则是第一本的发挥与发展．1987年冬，82岁高龄的弗翁应华东师范大学陈昌平、唐瑞芬、张奠宙等先生的邀请访华．1994年，他在中国的讲稿以Revisting Mathematics Education—China Lectures为名出版，中译本书名《数学教育再探：在中国的讲学》[5]，于1999年由上海教育出版社刊行．他的中国之行，对中国的数学教育影响深远．时至今日，包括中小学数学教师在内的广大数学教育工作者对其“现实的数学”、“数学化”、“再创造”等教学思想都有所了解．弗赖登塔尔认为数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思组织起来，不断地进行横向的或纵向的系统化．因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他提到的“数学化”．没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来，一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽[6]．如何打破这种“教学法颠倒”的现象？这句为数学教育界耳熟能详的话语为挖掘整理其HPM思想指明了道路，研究者认为“再创造”思想就是其HPM思想的最好体现．3 弗赖登塔尔的HPM思想与“再创造”考虑到“数学是不同的．而为什么不同，理由之一就是历史．人类学习的历史过程能被个别的学生以某种方式重复一遍吗”[5]，对比“启发式”（heuristic）与“发生方式”（genetic method）的不同，弗赖登塔尔提出了“再创造”的思想．对于“再创造”，他的解释是：“‘创造’既包含了内容也包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织．创造，照这里的理解，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的‘再’．”[5]弗赖登塔尔认为无论概念、公理定理或数学语言与数学符号的形式体系，以及包括各种算法在内的、需要按照特定步骤解决的问题，都应使用再创造的方法，反对生吞活剥地进行灌输．对其“再创造”理论中的HPM思想进行层次划分与归类．大致概括为如下几个方面．3.1 以历史发生原理为指导进行“再创造”历史发生原理（Historical-genetic-principle）是指导进行“再创造”的主要理论依据．该原理可以上溯到18世纪孔德（A. Comte，1798—1857）时代，19世纪，人们将德国生物学家海克尔（E. Haeckel，1843—1919）所提出的生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”运用于教育中，重新得出“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”，历史发生原理因此而形成[7]．1980年8月10日至16日，在美国加州大学伯克利分校举行的第四届国际数学教育会议上，弗赖登塔尔作了题为《数学教育的主要问题》[8]的报告．在报告中，关于历史发生原理弗赖登塔尔指出：“数学史乃是一个不断进步的系统化的学习过程．儿童无需重蹈人类的历史，但他们也不可能从前人止步的地方开始．从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史．”“再创造”是弗赖登塔尔关于数学教学的基本思想，是数学学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则．他认为存在两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学．完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程．弗赖登塔尔认为有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤．弗赖登塔尔反复强调：数学学习的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他认为这是一种最自然、最有效的学习方法．说它最自然，是因为生物学上的“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学上也是成立的，即：数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律．但是弗赖登塔尔提倡的“再创造”并非要求数学教学完全重现数学的发展历程，而是指应该使学生体会到：如果当时的人有幸具备了现在有了的知识，他们是怎样把这些知识创造出来的[9]．对于“再创造”，弗赖登塔尔采用苏格拉底（Socrates）给门诺（Meno）的奴隶授课的宗旨，即“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些结果的；或者设想一个学生的学习过程得到指导时，他是应该怎样发现它的”，“目的就在于找出学生怎样才能把他要学的知识‘再创造’出来”[9]．弗赖登塔尔推崇的“苏格拉底方法”正是这样的一种方法，狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学中再创造或再发现所教的东西．针对具体的教学，弗赖登塔尔认为的“再创造”究竟应该怎样实施呢？3.2 “有指导的再创造”中的HPM思想如何在教学中实施“再创造”？弗赖登塔尔认为：“力求用发生的方法来教概念，并不意味着必须完全按照知识的发展顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除地教．而是设想那时如果教师已经知道了现在所知道的东西，应该如何去发现，就像看得见的人可以告诉盲人如何去创造与发现．”对于“再创造”的具体方法之一：苏格拉底方法，他的态度是：“我们不必全盘否定苏格拉底，但也不必全盘继承．我们保留他的通过再发现来学习，但这个‘再’并非指学生的前世，而是指人类的历史，也就是重复人类祖先发现他们所掌握的知识时的发展情况，我们不妨称之为再创造．”[9]至于为何采用“有指导的再创造”的做法，他的回答是：“历史告诉我们数学是怎样创造的．我曾经问过这样一个问题，学生是否需要重复人类的学习过程？当然不应该，自古以来，历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己．”因此，在教育中“新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平．他们被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，教育者承担了帮助他们的任务，但不是通过规定，而是通过允许他们应该学到的数学”[5]．这就要求进行“有指导的再创造”，教育者，具体来说是教师承担了这项任务．“有指导的再创造”其中形容词“有指导的”是就“学习过程的教学环境”而言的，为使教师理解他的意思，他进一步指出：“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡．”在具体操作中“学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西”[5]．对于如何实施“指导”，弗赖登塔尔通过一个问题序列详细展示：① 往哪里指导？② 在哪里指导？③ 怎样指导？④ 算法化；⑤ 再创造几何．对于问题的回答涉及很多知识，但无一例外都是从其概念的来源，即历史形成与发展说起，进而涉及其它．例如，针对“在哪里指导”的回答之一是“指数增长的知识”．对此，他说：“将增长的概念数学化，在数学历史上已成为一个更近代的特征……如果允许再创造历史的话，重点一定从作为对数逆运算的指数转到作为一个增长函数的指数．其实复合利率作为离散的指数增长的一个例子早就形成了，将它引导到连续增量是一个历史的产物而不是进来才出现的……它应是再创造指数（以及紧随的对数）函数的一个来源和一个导引．”他甚至提到“在一个更形式的水平上，在加法与乘法之间由指数和对数函数作为中介的同构，是构建再创造的一个产物”[5]．其后提到“历史上另一个必须通过再创造加以修正的例子是正弦（和其它测角函数）”中也提到三角形不是唯一的再创造正弦的来源，它们更应该在函数的水平上被再创造．因此，再创造中的“有指导”不仅要揭示知识的来源与现实生活的关系，更要兼顾知识之间的联系与相互依存关系．再如“算法化”，他认为其重要性在于“算法的掌握对于个体的进程与人类在历史上的进程是同等重要的”，其作用在于“算法是展示数学的窗口，那就是展示现成的数学”．为纠正人们认为数学“就是一篮子算法”的印象，弗赖登塔尔的措施就是再创造算法以及算法化．“再创造算法可能是一个乏味而又费时的活动，它的深奥策略有必要让教师、教科书作者、教育开发者和研究人员相信，最终结果的价值与付出的劳动和花费的时间是相称的”．对于算法学习，弗赖登塔尔认为“学习的一个极端是没有意识地教的学习；另一个极端是直截了当地强加的学习”．对于新的算法，大多数人失败的原因在于“不能把新算法的发生过程与通过精简和合理化已获得的尝试的发生过程等同起来”，而对于学生则是因为“过去有时他们被要求做的智力上的跳跃，超越了他们智力的能力”．对此，弗赖登塔尔认为虽然学生不能跟踪人类认识的发展，但对于“规则的错误应用与模式的错误转换，可能会提供一些迹象．在普通常识的任何发展阶段，学习者对于发展过程的付出有多大，也许意义非常重大”[5]．上述对于再创造算法及算法化的重要性，以及学习过程中容易出现问题的阐述，提醒教师遵循历史发生原理、尊重学生的认知发展过程设计算法教学是极其重要的．3.3 基于数学现实的再创造中的HPM思想数学教学必须做到“源于现实、寓于现实、用于现实”．他认为“有指导的再创造”问题之一“往哪里指导”的实质性目标“现实”，也即“通过他的指导展开在他面前的学生自己的现实”．进一步地，弗赖登塔尔认为“数学化是将现实数学化．而一旦数学化在教学上转变到再创造，有待数学化的现实就成为学生的现实，成为引导学生进入其中的现实．同时，数学化也就成为学生自己的活动”．因此，所谓“数学现实”是指数学教师的任务之一是去了解学生的数学现实，并由此出发组织数学教学．弗赖登塔尔认为数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实．比如，用相同被加数的加法再创造乘法的例子就是一个很好的说明[5]．为实现数学化，数学现实中的范例作用不容忽视．尽管古巴比伦的楔形文字介绍怎样求解一次、二次方程或二元一次方程组的解法，但是都是具体数值的例子，用它们很难教会学生解方程的一般方法．因此，弗赖登塔尔认为教师应对这些材料进行再创造．再如“变量”，“在数学的历史上很早就有了对变量的需要（对于不确定的和变化的对象），那里也需要给各个变量取名称，巴比伦数学家用文字表示变量，如‘长度’和‘宽度’．希腊人用字母表示；但是在字母表中没有足够的字母来满足潜在的无限个变量名称的需要．借助全部正整数的无限性用下标区分变量是数学历史上一个比较晚的创造，而字母作为下标更是最近的事，下标的下标更是如此”，对于借助这种思想设计变量表示的教学的“再创造”，他进一步地指出：“我反复强调历史可能是一个很好的参谋，它告诫我们人们习惯性的事情远非想象的那样简单．历史可能会告诫我们要防止让学生在目前现成的水平上进行学习．在教学中也是如此，使用字母来表示变量应适应某种需要，研究人员与教师应该创设一个使学生感到迫切需要用字母来表示变量的情境，从而激发学生再创造的兴趣，他们应该把用字母表示变量这种策略变的越来越精炼．”[5]事实证明，教学实践中，具备这样一种“再创造”思想的教师，其教学确实取得了极大的成功[10～11]．教学中还有大量的内容可以基于学生的数学现实用“对历史进行再创造”的方法进行．此外，弗赖登塔尔还提倡在“应用”中学习数学，他说：“历史意味着寻根，那么纯数学的历史是一颗被剥夺了其强壮的根的树．数学教学也没什么两样．”所谓数学化的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程．要实现数学化，“再创造”教学还应注意“留给学生去再创造自然界或和社会中的一些问题情境”，此处的应用不是学完数学后应用，而是指学习过程对数学现实的应用．3.4 “学习过程”的再创造中的HPM思想弗赖登塔尔将“学习过程”作为一个教学原理，其中也贯穿着弗赖登塔尔“再创造”的思想．之所以将数学学习的过程，当作一个教学原理，原因大致有二．其一，弗赖登塔尔认为，区别于将学习过程当作研究的工具与对象，作为教学原理的学习过程更值得研究；其次，他认为“教学论本身是与过程密切相关的”[5]．弗赖登塔尔本人对学习过程也是非常重视的，他经常提到：应该认为，与其说让学生学数学，不如说让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化．他认为数学化的过程可以分为5个层次：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段、严谨阶段．并不要求每一个学生一次完成所有阶段，而应该符合学生的年龄特征．对于学习过程中的水平结构，他提到他和范希尔夫妇的合作以及他们对于学习水平的层次划分：学习过程是由各种水平来构造的．较低水平的活动，也就是通过在这个水平上可用的方法组织的活动，成为较高水平上分析的一个对象；较低水平的可操作的内容成为下一个水平的学科内容．学生学习通过数学的方法来组织，学习把他自发的活动数学化，或使他更适合于通过这种方法来学习[5]．对此他常举的一个例子是皮亚诺（Peano）自然数公理中的数学归纳法．按照数学归纳法的历史发展过程，弗赖登塔尔认为学习数学归纳法的正确途径是：向学生提出一些必须使用数学归纳法才能解决的问题，如证明1+3+5+…+…(2n-1)=n2，再如弗赖登塔尔经常提的“边与对角线数”等类似问题．迫使他们直观地去使用这个方法（如，使用“形数”问题直观求解），从而发现这个方法．在学生发现了和懂得了这个方法以后，再去帮助他用抽象的形式把它叙述出来．然后学生需要在对某些简单的内容进行过公理化的工作后，才能实现从数学归纳法到皮亚诺公理系的更大飞跃．他反对那种将思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，推导出其它东西的“教学法的颠倒”的做法．他认为这种颠倒掩盖了创造的思维过程，若不进行再创造，学生很难真正理解，灵活应用则更是难以达到．对此，弗赖登塔尔说：“历史的路也是个人的路，都是从直观的、无反思的活动开始的，好像从完全归纳法的偶然实践到皮亚诺的自然数公理体系的系统阐述……这里学习水平的各种水平鲜明地显现出来．”[5]4 教学启示弗赖登塔尔说“历史不是一顶旧帽子”，《作为教育任务的数学》一书的译者给它的注解是“作者意思是我们应当以历史为鉴，而不是将历史视作一顶旧帽子，一扔了之”[9]．回到在文章开头提到的访谈中出现的问题，能从弗赖登塔尔的HPM思想受到哪些启发、得到怎样的教益呢？首先把教师对于数学史知识的认识不足或误区大致归结为几个层次：（1）运用数学史浪费时间，影响升学率，不利于学生成绩的提高的“数学史无用论”的“认识误区”层面；（2）教师缺乏将HPM思想运用于课堂的数学史知识，材料“无米之炊”的层次；（3）教师即使有数学史知识却没有正确利用数学史知识的意识与行动，理念“无米之炊”的层次；（4）能够将数学史料用于教学设计，但运用水平停留在“附加式”这种较低水平的使用层面，对于较高层次的、以“再创造”思想为指导的将数学史料进行重构运用于教学的做法，缺乏正确认识．对于以上认识不足甚或误区，都能从弗赖登塔尔的HPM思想中受到启发，找寻到解决问题与症结的方法与途径．4.1 数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础对于教师是否需要数学史知识的问题，以及怎样在教学中使用数学史知识，弗赖登塔尔在文章[12]“should a mathematics teacher know something of the history of mathematics?”中给出了明确的答复．与之相佐的，著名数学史家M·克赖因（Morris Kline，1908—1992）也指出“历史顺序是教学的指南”[13]．匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚（G.Polya，1887—1985）则指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断．”[14]教学实践中，可以看到，教师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样的方式从事数学教学活动．而教师在课堂教学中起着重要的价值引领作用．只有具备数学史知识的教师才能做到在数学的具体源头和抽象形式之间架构起通往学生理解的桥梁，而一个缺乏数学史知识的教师看到的只是一堆形式的符号与逻辑关系，很难做到从概念的历史发生、发展的角度促成学生的理解，无法使学生透过数学史的独特视角把握思维历程．因此，数学史素养是每位数学教师必备的素养之一．4.2 教师培训是从知识到理念提升中小学教师对 HPM 认识的大好契机关于教师培训的目的与意义，弗赖登塔尔有所涉及[9]．要利用数学史，积极开展HPM视角的教学设计与实践，首先要求教师自身具备数学史知识与进行HPM研究的意识．目前我国正在实施从国家到地方开展中小学教师培训计划．这一计划正是对中小学教师、管理人员加强数学史知识学习，培养、培训使用数学史知识进行。
弗赖登塔尔的数学教育思想综述作者：田甜来源：《学校教育研究》2015年第13期荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔及其数学教育思想，一直深深地影响着世界各国的数学教育，尤其是其“数学现实论”“数学化”和“再创造”的思想，为此弗赖登塔尔及其数学教育思想一直倍受各国研究者的关注。
进入新世纪，我国新一轮数学课程改革更是处处渗透了弗赖登塔尔数学教育思想，这使得它再次成为我国数学教育研究者注目的焦点之一，本文将在前人研究的基础上，进一步展开对其更深入、更细致的思考与研究。
一、弗赖登塔尔的数学教育思想（一）现实的数学数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实。
这是弗赖登塔尔“现实的数学”的基本出发点。
根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。
数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。
数学如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。
另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。
（二）数学化所谓数学化，是用数学的方法观察世界，分析研究具体现象并加以组织整理，以发现规律，简言之，“数学化即是数学地组织现实世界的过程”。
弗赖登塔尔运用了埃德里安，特雷弗斯关于数学化的理论，将数学化分为水平和垂直的两种成分。
比如，从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展。
而用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题垂直地加以深入。
弗赖登塔尔的再创造理论对数学思想教学应用的几点思考摘要：本文以基本不等式教学为例，从课堂实际出发，运用弗赖登塔尔的再创造理论，讨论并分析了数学思想教学的应用价值。
关键词：数学思想应用不等式一、问题的提出教学实践中，有多位高三学生提出以下问题：当x>0时，由于1+x2≥2x，当且仅当1=x2即x=1时，等号成立，此时2x=2，所以得到函数y=1+x2（x>0）的最小值为2，又因为此二次函数的值域是（1，+∞），并无最小值，前后出现了矛盾，这是为什么？笔者十分惊讶高三学生提出这个问题。
高三学生已经学习过使用基本不等式求最值，为什么还存在这些问题？笔者以为，学生的“学”中存在的问题首先应该在教师的“教”中反思：教师只是把“基本不等式的应用”作为知识和技能进行了详细的讲授，让学生掌握使用基本不等式解决简单问题的最值，而用基本不等式为什么能求函数最值？事实证明，这些有关基本不等式应用背后的思想本质，学生自己无法自觉地理解知识所蕴含的数学思想，教师要从课堂教学实际出发,运用弗赖登塔尔的再创造理论，可在数学课堂教学上凸显数学思想的应用价值。
二、数学思想应用价值实例——以基本不等式应用为例１.以“最值概念”为出发点，呈现化归思想。
数学概念是提示数学知识的核心本质内容，在应用基本不等式求最值时，运用等价化归思想,以最值概念为出发点,能处理相应的问题。
弗赖登塔尔的“再创造”理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行“再创造”，基于数学现实有指导的“再创造”。
这个理论告诉我们：学生数学学习的本质,就是让学生学会用数学的方法观察世界, 分析研究具体现象并加以组织整理,以发现规律的过程，学习数学最好的方法就是“再创造”，学生将要学的知识自己去发现创造出来,亲自参与知识的产生与发展过程,亲尝“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”（doing mathematics）的过程。
“做数学”是学生理解数学的重要条件。
弗赖登塔尔的数学“再创造”思想及其应用研究作者：李辉燕来源：《南北桥·人文社会科学学刊》2014年第04期【摘要】本文主要介绍了数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”思想，以及该思想产生的缘由，并通过教学案例阐述“再创造”思想在数学课堂教学中的灵活应用。
【关键词】弗赖登塔尔再创造应用中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.04.111荷兰籍数学教育家弗赖登塔尔指出“学习数学唯一的方法是实行‘再创造’”。
中学数学新课程标准中指出，数学教育既要考虑数学自身的特点，又要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。
这充分说明弗赖登塔尔的数学“再创造”思想与新课程标准的理念具有一致性，为此，学习和研究该思想对数学教学具有重要指导意义。
一、什么是数学的“再创造”学骑车的最好方法是在骑行的过程中去掌握这种运动技能，那么数学学习呢？弗赖登塔尔强调数学教学是一种活动，并指出“学一个活动的最好方法是做”。
为此，弗赖登塔尔提出了“再创造”数学教学思想。
什么是“再创造”呢？弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法称之为再创造方法”。
[1]也就是说，在现实教学过程中，教师不应该将数学知识灌输给学生，而应该创设合理的情景，提供大量具体的例子，让学生在现实活动过程中通过自己的实践与思考“再创造”出数学知识。
这里的创造并非客观意义上地创造出新知识，而是学生在主观意义上的创造，即有意义地建构过程。
这里的创造也和我们平时讲的“发现学习”不同。
弗赖登塔尔认为：学习过程具有不同的层级，学生在同一水平的只能是发现学习，只有发生了从低层次水平向高层次水平的跃迁，才叫作“再创造”学习。
数学“再创造”思想有两个突出的特点：一是强调学生的主体性，将教学的重点由教师的“教”转向学生的“学”，教师不再是将数学知识生吞活剥地灌输给学生，而是让学生在活动中去体验、去认知，进而提高学生数学学习的积极性、自主性和创造性。
