杨辉三角与二项式系数的性质

格式：pptx
大小：2.53 MB
文档页数：25

高中数学必修2-3第一章1.3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1．问题导航

(1)什么是杨辉三角？它具有哪些特点？

(2)二项式系数的性质有哪些？什么是赋值法？

2．例题导读

例3证明二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，请试做教材P35练习1、2题．

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中，每行两端都是________1，与这两个1等距离的项的系数________相等．

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________和，即________Crn＋1＝Cr－1n＋Crn．

2．二项式系数的性质

(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，„，Crn＝Cn－rn.

(2)增减性与最大值：当k

(3)二项式系数的和：

①C0n＋C1n＋C2n＋„＋Cnn＝________2n．

②C0n＋C2n＋C4n＋„＝C1n＋C3n＋C5n＋„＝________2n－1．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )

(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )

(3)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋„＋Cnn.( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )

A．n，n＋1 B．n－1，n

C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3

答案：C

3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )

A．5 B．6 C．7 D．8

答案：A

4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．

答案：2n－1

1．与杨辉三角有关的问题的注意事项

(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．

教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

学习必备

欢迎下载

1.3.2二项式系数的性质(第一课时)

学校：新塘中学班级：高二A8班教师：段建辉

●教学目标

（一）知识与技能

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.掌握“赋值法”，并会简单应用

（二）情感与价值观

1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.

2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．．

●教学重点：二项式系数的性质

●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解.

●教学方法:发现法

●授课类型：新授

●教学情境设计：

一、复习回顾

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.

2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab

二、引入

通项公式中的rnC，我们称其为二项式系数.当n依次取1，2，3…时，

nba)(二项式系数，如下表所示：

1 1

1 2 1

1 3 3 1 学习必备

欢迎下载

表1

此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质

三、探究

观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律.

【注意】

•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中

•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点

•3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系

1、二项式系数表的规律

①每行两端都是1

②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）

【提示】设这一数为Crn1,其肩上的数则为C1rn和Crn，由组合数知识可知： 1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55CCrn1=C1rn+Crn 学习必备

杨辉三角的性质法则

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是由数学家杨辉于公元三世纪所创造的一种数学图形。它以一种规律排列的数字构成，具有独特的性质和法则。本文将详细介绍杨辉三角的性质和法则，以及它们在数学中的应用。

1. 杨辉三角的构造方式

杨辉三角的构造方式非常简单，首先将数字1写在第一行，然后将第一行的数字复制到第二行的两边，并在两个相邻的数字之间写下它们的和。如此继续下去，每一行的数字都是上一行两个相邻数字的和。以下是杨辉三角的前几行：

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

2. 杨辉三角的性质

杨辉三角有许多有趣的性质，以下是其中几个重要的性质：

2.1 任意一行的数字相加，结果等于2的n次方，其中n为行数。例如，第四行的数字相加等于2^4=16。 2.2 杨辉三角对称。三角形的左右两侧是对称的，每行的第一个数字和最后一个数字也是对称的。这种对称性在数学推导和证明中起到了重要的作用。

2.3 杨辉三角中的每个数字，等于它上方两个数字之和。例如，第三行的中间数字2，等于上方的1和1之和。

2.4 除了第一行的数字外，每个数字等于它上方一行两个相邻数字之和。这个性质可以用组合数学的观点来解释，即每个数字表示了在组合中选择指定数量的元素的方法数。

3. 杨辉三角的应用

杨辉三角在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：

3.1 组合数学

杨辉三角中的每个数字都可以表示为组合数，即从指定数量的元素中选择特定数量的元素的方法数。这在排列组合问题、概率论和统计学等领域中具有重要意义。

3.2 二项式定理

杨辉三角中的每一行都对应二项式展开的系数。根据二项式定理，可以将任意幂次的多项式展开为二项式的和，其中杨辉三角的每一行都是这个和式中的系数。

3.3 概率分布通过杨辉三角，可以计算得出二项式分布、泊松分布等概率分布的概率值。这对于研究随机事件的概率分布和概率密度函数等具有重要的参考价值。