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杨辉三角和二项式定理杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。
本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。
一、杨辉三角杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。
杨辉三角的构造方法如下：1.第一行写上数字1；2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；例子：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、二项式定理二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。
二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。
组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]这样，我们就得到了二项式定理的定义。
三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。
具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。
另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。
例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。
杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。
在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。
杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。
通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
杨辉三⾓与⼆项式定理⾸先杨辉三⾓是啥：利益⽅⾯，把（a + b）^n 展开，将会得到⼀个关于x的多项式： （a + b）^0 = 1 （a + b）^1 = a + b （a + b）^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 （a + b）^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 （a + b）^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4系数正好跟杨辉三⾓⼀致。
⼀般的，有⼆项式定理：所以，（a + b）^n 是n个括号连乘，每个括号⾥任选⼀项乘起来都会对最后的结果有⼀个影响。
如果选择了 k 个 a，就⼀定会选择 n - k个 b,最后的项也就是 a^(n-k)*b^k 。
然⽽从n个a⾥选择k个有多少种⽅法呢？有 C（k ， n）种⽅法，这就是组合数的定义。
给定 n ,如何求出（a + b）^n 中所有项的系数呢？⼀个⽅法是⽤递归，根据杨辉三⾓中不难发现的规律，可以写出程序：1 memset(c,0,sizeofcv));2for(int i = 0;i <= n;i++){3 c[i][0] = 1;4for(int j = 1;j <= i;j++)5 c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];6 }（以上的算法的时间复杂度是O（n^2））另⼀个⽅法是利⽤等式C( k, n) = ( n - k + 1) / ( k ) * C( k-1, n)，从C( 0, n) = 1开始从左往右递推，如下：c[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;可能不明显，却容易⽤组合数公式 C（k , n）= n! /( k! * (n - k)! )。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n 的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n .思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大．梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C ＝C ＋C .k n ＋1k －1n k n (2)二项式系数的性质性质内容对称性C ＝C ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的mn n －m n 两个二项式系数相等如果二项式的幂指数n 是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大12n T +增减性与最大值如果n 为奇数，那么其展开式中间两项与的二项12n T +112n T ++式系数相等且同时取得最大值二项展开式中各二项式系数的和等于2n ，即C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n 0n 1n 2n n 各二项式系数的和奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n －1，即C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2n －11n 3n 5n 2n 4n 6n1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × )2．二项式展开式的二项式系数和为C ＋C ＋…＋C .( × )1n 2n n 3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )类型一 与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 (1)B (2)C解析 (1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C ，第2项是C ，第3项是C ，第4项是C ，…，第212231315项是C ，第16项是C ，所以S (16)2919＝C ＋C ＋C ＋C ＋…＋C ＋C ＝(C ＋C ＋…＋C )＋(C ＋C ＋…＋C )1221323192912131922329＝(C ＋C ＋C ＋…＋C －C )＋(C ＋C ＋…＋C )2121319232329＝C ＋C －1＝164.210310反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 34解析 由题意设第n 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C ∶C ＝2∶3，即＝，解得n ＝34，所以在第13n 14n 14n －132334行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二 二项式系数和问题例2 已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.(2)令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由(2x －1)5的通项T k ＋1＝C (－1)k ·25－k ·x 5－k 知a 1，a 3，a 5为负值，k 5所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243.(3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35.所以a 1＋a 3＋a 5＝＝－121.1－352引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a 0＋a 2＋a 4；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35.所以a 0＋a 2＋a 4＝＝122.1＋352(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数，所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4.令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝，f (1)＋f (－1)2偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.f (1)－f (－1)2跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝29.0919299(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝，59－12即所有奇数项系数之和为.59－12类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.3x 2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C ·(3x 2)3＝270.323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭223x (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C ·3k ·，k 52(52)3k x ＋假设T k ＋1项系数最大，则有Error!∴Error!即Error!∴≤k ≤，∵k ∈N ，∴k ＝4，7292∴展开式中系数最大的项为T 5＝C (3x 2)4＝405.4523x 263x 反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论．①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用Error!解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C x 6y 5，T 7＝C x 5y 6.511611(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C x 11－k (－y )k ＝C (－1)k x 11－k y k ，k 11k 11∴项的系数的绝对值为|C ·(－1)k |＝C ，k 11k 11∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C x 6y 5，T 7＝C x 5y 6.511611(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C x 6y 5.611511(4)展开式中，二项式系数的和为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝211.01111121111(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C －C ＋C －…－C ＝(1－1)11＝0.011111211111．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6.2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第(2n ＋1－12＋1)项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.(2n ＋1＋12＋1)3．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )(x ＋33x )A ．4 B ．5C ．6D ．7考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，故有＝64，所以n ＝6.4n2n 4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.①又T k ＋1＝C (－3)4－k (2x )k ，k 4∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.②由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大(14＋2x )的项的系数为________．考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 358解析 由C ＋C ＋C ＝37，得1＋n ＋n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二0n 1n 2n 12项式系数最大，T 5＝C ××(2x )4＝x 4，该项的系数为.481443583581．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x 3＋1x 2)A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C ＝210.6103．已知关于x 的二项式n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )(x ＋a3x )A ．1B ．±1C ．2D ．±2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由条件知2n ＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C ()5－k k ＝C a k 中，令k 5x (a3x )k 51556kx 15－5k ＝0，得k ＝3.所以C a 3＝80，解得a ＝2.354．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( )A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11，令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，①令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，②＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024.②－①25．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C ＝C ＝45.8102106．设n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开(5x －1x )式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C (5x )4－k ·k ＝(－1)k 54－k C ，k 4(－1x )k 4342k x令4－＝1，得k ＝2，3k2所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C ＝150.247．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C ＋C ＋C ＋…＋C 的值为( )1n 2n 3n n A ．28 B ．28－1C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n －C ＝28－1.1n 2n 3n n 0n 8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C010********解析 由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式510系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为k10k10510T k＋1＝C a10－k(－b)k＝(－1)k C a10－k b k知，第6项的系数－C最小，故D正确．二、填空题9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，a k(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.(1x＋31x3)10．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，511611中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.三、解答题12．设(2－x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．3(1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－)100，①3所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－)100－2100.3(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋)100.②3与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝.(2－3)100－(2＋3)1002(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.33(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋x )100的展开式中，33令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.313．已知n 展开式的二项式系数之和为256.(x ＋mx )(1)求n ；(2)若展开式中常数项为，求m 的值；358(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C x 8－k k ＝C m k x 8－2k ，k 8(mx )k 8故8－2k ＝0，即k ＝4，则C m 4＝，解得m ＝±.4835812(3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则Error!化简可得≤k ≤.8m －1m ＋19mm ＋1由于只有第6项和第7项系数最大，所以Error!即Error!所以m 只能等于2.四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则＝________.a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故＝－.a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6636515．已知(＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求2n 的展3x (2x －1x )开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，(2x －1x )即T 6＝C ·(2x )5·5＝－8 064.510(－1x )(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C ·(2x )10－k ·kk 10(－1x )＝(－1)k ·C ·210－k ·x 10－2k .k 10∴Error!得Error!即Error!∴≤k ≤，k ∈N ，∴k ＝3，83113故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C ·27·x 4＝－15 360x 4.310。
