杨辉三角与二项式系数PPT优秀课件

最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
你知道这是什么图表吗？
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7
倒序相加法
知识对接测查3
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0__1_; 1023

n＋1 增减性 当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时取得最大值
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问 题时，往往运用组合数公式．
•
如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n
＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关
系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论， 然后再证明它的一般性．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___， 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为 A，偶次 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且 B －A＝316，

2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
解: 第8、9项的二项式系数 C175与C185 最大。
即6435最大。
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项
的系数。
最大的系数呢？
C151 462
C161 462
4.已知
x
4
1 x3
n 的展开式中只有第10项系数最大,
例 5 在 (3x 2y)20 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
CC22rr00
320r 320r
2r 2r
C r1 20
C r1 20
319r 321r
2r1 2r1
3(r 1) 2(20 r) 2(21 r) 3r
37 r 42 55
渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 Cn2 取得最大值；
n1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn2
n1
Cn2 相等，且同时取得最大值。
练习
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C151 C161.
a3 a7
a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1) 27 47
(1) a1 a3 a5 a7 26 213 8128
(2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例1.已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 a6x a7

59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
得6分
则3k5≥－1 6k≥－1 kk，＋3 1，解得72≤k≤92. 又因为 k 为整数，所以 k＝4，(10 分)
所以展开式中第 5 项系数最大．(12 分)
26
26
系数最大的项为 T5＝C4534x 3 ＝405x 3 .
归纳升华 1.求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论： (1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展
开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去．
规范解答：令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝ 4n.

[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，

,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
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练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2

(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐 增大 的．由对称性知它的后半
部分是逐渐 减小 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数
π C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
Cn－2 1n，Cn＋2 1n
相
等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得： S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19) ＝(C22＋C23＋C24＋…＋C29)＋(2＋3＋…＋9) ＝C310＋8×22＋9 ＝164.
求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所 取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项， 令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项． [解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 r＋1 项系数最大，则有CC8r8r··22rr≥≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ⇒5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得．

C
n2 n 1
C
n 1 n 1
C
0 n
C
C
……..
C
……..
C
n 1 n
C
n n
对称
图像
例2
已知
的展开式中，
第4项的二项式系数是倒数第2项的 二项式系数的7倍，求n的值．
(3 x 2 n ) x
1 3 5 1 1 CCC … C _ _ _ _ 1 1 1 1 1 1 1 1
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]