(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时)学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nnn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn nn x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr nT C a b -+= 二、引入通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，n b a )(+二项式系数，如下表所示：表1此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 •3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为rC 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知：1101C C 02C 12C 22C 03C13C23C33C14C 04C 34C 24C 44C 05C 15C 25C 35C 45C 55C③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n .从函数角度看，rn C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝当n=5及n=6时，分别作出其图象图1 图2据图可分析出函数rn C r f =)(，图象的对称轴是2nr =3、二项式系数的性质据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴．[典型问题]e.g1.已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；【2】增减性与最大值∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， Ⅰ.当21+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．当21+≥n k 时，二项式系数逐渐增大根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n nC+取得最大值．[典型问题]e.g 2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ e.g 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n e.g 4nxx )1(23+展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rnn n n n n C C C C C =++++++[组合数公式][典型问题]e.g 5.111C+311C+…+1111C=____ e.g 6.=+++++++++++++11211101210n n n n n n nn n n C C C C C C C C ____；四、经典例题例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213nn n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n nn n n C C C C -++=++=.五、拓展训练1.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++；2.若n xx )21(4+展开式中前三项系数成等差数列求（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开式中系数最大的项。

张喜林制1.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质教材知识检索考点知识清单由“杨辉三角表”可以看出，二项式定理具有下面的性质：(1)表中每行的两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，事实上，设表中任一不为1的数为,1r n C +那么它肩上的两个数分别为 和 ，由组合数的性质，有=+rn C 1+(2)与首末两端“等距离”的两个二项式系数(3)当 时，二项式系数是逐渐增大的；当 时，二项式系数是逐渐减小的，且系数呈对称性．若n 为偶数，则中间的一项 为最大值；若n 为奇数，则中间的两项相等，且同时为最大值.n b a ))(4(+的展开式中的各个二项式系数的和等于=+++=+++ 531420)5(n n n n n n C C C C C C要点核心解读1．二项式系数的推导对于n 是较小的正整数时，可以直接写出展开式中各项的系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算．表中有如下规律：“每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”， 类似这样的表，早在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，反映了我国古代数学发展的成就，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能，图1-5 -1叫“杨辉三角”，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． 2．二项式系数的特点及性质(1)由二项式系数表可以发现：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等……②图中每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（如图1-5 -2）； ③表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为,210=第2行的两数之和为,21第3行的三数之和为 22第7行的各数之和为62（如图1-5 -2）．(2)-般地，n b a )(+展开式的二项式系数n nn n C C C ,,,10 有如下性质： ;;11mn m n m n m n n m n C C C C C +--=+=②①③当21-<n r 时，;1+<r n r n C C 当21->n r 时，,1rn r n C C <+ .210n nn n n C C C =+++ ④[说明] ①对于二项式系数),,,(10n nn n C C C 有：当n 为偶数时，二项式系数中，以nnC 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以1nn C-和1n n C+（两者相等）最大；②在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即有 +++=+++531420n n n n n n C C C C C C性质④的证明用赋值法，这是本节中最常用且很重要的一种数学方法．3．对二项式系数增减性与最大值的理解如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺序是,21)1(,1,1210⋅-===n n C n C C n n n ,321)3)(1(3⋅⋅--=n n n C n,)1(321)2()2)(1(1-⋅⋅+---=-k k n n n n C k n,)1(321)1)(2()2)(1(kk k n k n n n n C k n ⋅-⋅⋅+-+---=.1=n n C其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n ，n-l ，n-2，…），分母是乘以逐次增大1的数（如1，2，3，…）．因为一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k 依次取1，2，3，…时，kn C 的值即各项的二项式系数从开始起是逐渐增大．原 因在于此时11>+-k k n （即),21+<n k 而当11≤+-k k n （即≥k )21+n 时，kn C 的值转化为不递增而递减了，因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，n+l 是奇数，展开式共有n+l 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为.2n nC当n 为奇数时，n+l 是偶数，展开式共有n+l 项，所以有中间两项，这两项的二项式系数相等并且最大，最大为2121+-=n nn nC C4．二项式系数的有关问题(1)在n b a )(+的展开式中，利用赋值法可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)对形如m n c bx ax b ax )(,)(2+++的式子：①求其展开式各项系数之和，只需令x=l 即可；②求展开式中的常数项，只需令x=0即可．对于n by ax )(+的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l 即可．典例分类剖析考点1 “杨辉三角”的探索命题规律理解定理的发现推导过程；考查学生观察、比较、分析、概括的能力． [例1]下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？[解析]仔细分析每一个数字的特点，从而发现规律．（不必证明）[解] (1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设,,10,6,3,14321 ====a a a a若令,1n n n a a b -=+则,4,3,2321===b b b 所以可得}{n b 是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．[点拨]探索数字排列规律，应遵循从特殊到一般的归纳、猜想与证明的原则．母题迁移 1．如图1-5 -4所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．考点2 求展开式中系数（或二项式系数）最大的项 命题规律(1)依据二项式系数的性质对nb a )(+的n 进行讨论，直接得出二项式系数最大的项；(2)由通项得出第r+l 项的系数,1+r t 解不等式组⎩⎨⎧≥≥+++,,211r r r r t t t t 即可得到系数最大的项．[例2] 已知n a )221(+的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．[解] 因为,2564n n n C C C =+所以=-+-)6(!6!)!4(!4n n n n ⋅-).5(!5!2n n即 ,098ln 22=+-n 解得.714或=n当n =14时，第8项的二项式系数最大，.)21.(77148C T =.3432)2(77a a =当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大，.70)2()21.(C ,235)2.)21.(4434753344a a T a a C T =⋅==<=ξ[点拨] 本题关键是求出n ，根据条件构造出关于n 的方程，并正确解方程，问题就基本解决了，一般地，二项式n b a )(+的展开式中，当n=2k 时，二项式系数最大的项是中间项，即第k+l 项；n=2k +1时二项式系数最大的项是中间的两项，即第k+l 项和第k+2项．母题迁移 n x )21(2+⋅的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项． [例3](1)求7)21(x +展开式中系数最大的项； (2)求7)21(x -展开式中系数最大的项．[解析] 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值． [解] (1)设第r+1项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥++--②①,2.2.,2.2.11771177r r r r r r r rC C C C即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-⋅--+≥⋅-⋅+--≥⋅-112.)17()!1(!72)!7(!!7,2)!17()!1(!72)!7(!7r r r r r r r r r r r r ！！⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+≥--≥⇔1271,812r r r r 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅≥≤313,316r r即.5,315314=∴≤≤r r ∴ 系数最大的项为.672255557156x x C T T =⋅⋅==+(2)展开式共有8项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因7)21(x - 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较5T 和7T 两项系数大小即可，,14)2()2(173766744775>⨯⋅=-⋅-⋅=C C C C T T 系数系数所以系数最大的项是第五项，.560)2(44475x x C T =-=[点拨] (1)本例中第一小题中的解法，是求系数最大的项的一般方法，而第二小题的解法，则通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化，可谓之“巧解”，更值得仔细品味．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组的方法求解．母题迁移 3．设∈+++=n m x x x f nm ,)1()1()(（),+N 且其展开式中关于x 的一次项的系数的和为11.m 、n 为何值时，含2x 项的系数取最小值？这个最小值是多少？考点3 求展开式的系数和或部分项的系数和命题规律给定二项展开式，利用赋值法求展开式各项的系数和（或部分项的系数和）．[例4] 已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：;)1(721a a a +++ ;)2(7531a a a a +++;)3(6420a a a a +++.||||||||)4(7210a a a a ++++[解] 令,1=x 则,176543210①-=+++++++a a a a a a a a 令,1-=x 则,3776543210②=-+-+-+-a a a a a a a a(1)因为1070==C a （或令⋅=,0x 得),10=a 所以++++ 321a a a )2(27⋅-=a 由（①一②）÷2得=--=+++23177531a a a a .1094-(3)由(①+②)÷2得=+-=+++23176420a a a a .1093(4)方法一：因为7)21(x -展开式中，6420,,,a a a a 大于零，而7531,,,a a a a 小于零，所以||||||210a a a ++-+++=++)(...64207a a a a a =--=+++)1094(1093)(7531a a a a .2187方法二：|,|||||||7210a a a a ++++ 即7)21(x +展开式中各项的系数和，所以.21873||||||7710==+++a a a [点拨] 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=l 可得所有项系数之和，令x= -1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x= -1则可得各项系数绝对值之和[例5] 已知,7292222332210=+++++n n n n n n n C C C C C 则nnn n n C C C C ++++ 321等于( )． 63.A 64.B 31.C 32.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 逆用二项式定理得：+++++ 33221222n n n n C C C C ,7293)21(2==+=nnnn nC 所以,6=n 所以++++ 321n n n C C C .631642066=-=-=C C n n故选A ． [答案] A[点拨] 逆用二项式定理，可化简含有组合数的代数式，从而解决问题，但应特别注意二项展开式的规律，当不符合规律时，可适当变形再逆用二项式定理．母题迁移 4．(1)若++++=- 22102010)21(x a x a a x ),(20102010R x x a ∈则+++++++ )()()(302010a a a a a a =+)(20100a a （用数字作答）(2)若多项式++++++=+9910102)1()1(x a x a a xx ,)1(0110+x a 则9a 的值是优化分层测训学业水平测试1．二项式10)1(xx -的展开式中二项式系数最大的项为( )．A ．第6项B ．第5、6项C ．第7项D ．第6、7项 2．设,)2(1010221010x a x a x a a x ++++=+ 则++20a a （-++2104)a a 2931)(a a a +++ 的值是( )．1.A 1.-B 0.C 10)12(-⋅D3．把9)1(-x 按x 降幂排列，系数最大的项是( )．A ．第四项和第五项B ．第五项C ．第五项和第六项D ．第六项 4．若n xx )13(-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )．540.-A 162.-B 162.C 540.D5．在472)12()1(+-+x x x 的展开式中，奇数项的系数的和为84)1.(6xx +展开式中系数最大的项为7．用杨辉三角展开.)(5b a +8．在20)25(y x -的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．二项式11)1(ba +的展开式中二项式系数最大的项为( )． A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项 D ．第6、7项n x x )1.(22-展开式的所有二项式系数的和为128，则展开式中二项式系数最大的项是( )．535.x A 235.x B 553535.x x C -和 253535.x x D 和-3．若,)124(2222102n n n x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a n a a 24++ 的值为( )．215.+n A 215.-n B n C 5. 1.D4．（2008年安徽高考题）设,)1(88108x a x a a x +++=+ 则,0a 81,,a a 中奇数的个数为( )．2.A3.B4.C5.D5．（2011年新课标全国高考题）5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．40.-A 20.-B 20.C 40.D2019.21123.19204321171819202119201.6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+的值为( )． 172.A 182.B 192.C 202.D7．（2010年湖北黄冈模拟题）,+∈N n 二项式n b a 2)(+的展开式各项系数中的最大系数一定是( )．A ．奇数．B ．偶数C ．不一定是整数D ．是整数，但奇偶与n 的取值有关 8．（2009年陕西高考题）若+++=- x a a x 1020)21(ω),(20092009R x x a ∈则20092009221222a a a +++ 的值为( )．2.A 0.B 1.-C 2.-D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9．已知,)2(20202210102x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a =+⋅+204...a a10.设,)31(9922109x a x a x a a x ++++=- 则++||||10a a =++||||92a a11.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数,)1(1rnC n +就得到一个如图1 -5 -5所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出,1)1(1)1(11rn x n r n nc C n C n -=+++其中=x 令,)1(1160130112131221nn n C n nc a +++++++=- 则-n a =21 三、解答题（共45分） 12.（7分）求84)21(xx +展开式中系数最大的项．13．（7分）已知+++=++++++ x a a x x x n 102)1()1()1(.n n x a 若.509121n a a a n -=+++-求自然数n 的值．14.（7分）在杨辉三角中，每一个数值是它上面的两个数之和，这个三角形中开头几行如图l -5 -6.试求：在杨辉三角的某一行中会出现相邻的三个数，它们的比是3:4：5吗？15.（12分）求12)31(x -的展开式中，(1)各项二项式系数和；(2)奇数项二项式系数和；(3)偶数项二项式系数和；(4)各项系数和；(5)各项系数绝对值和；(6)奇数项系数和与偶数项系数和．16.（12分）已知n xx x )1(3+的展开式中前三项的二项式系数之和为37.(1)求菇的整数次幂的项．(2)展开式中的第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数？单元知识整合1．知识网络归纳2．热点透视(1)对于易混淆的知识，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中项的系数等，应着眼于搞清它们之闽的区别和联系．(2)运用两个基本计数原理时，首先要明确需完成的事件是什么，然后再分析用什么方法去完成，如果一次不能完成整个事件，则需要“分步”；如果有几类办法均可完成，则需要“分类”，分类时要做到不重不漏．(3)解决单纯的排列应用题要根据不同题型选择不同方法，即“相邻”问题采用“捆绑”法；“不相邻”问题采用“插空法”；“在与不在”问题常优先考虑有限制条件的元素或位置．(4)要正确区分排列与组合应用题，解决组合问题常用的方法有直接法、间接法、分类法与分步法等．(5)对于排列组合综合应用题，要注意一般先“选”后“排”．(6)用二项式定理解决与“项”有关的问题时，如系数最大的项、常数项等，通常利用二项展开式的通项列方程，求出r ，再求某些特定项．具体计算时，应注意处理好符号及根式计算和指数运算，避免出错．(7)本章内容概念性强 、抽象性强、灵活性强、思维方法独特，因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，认真地研究典型例题，搞深摘透，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托，着眼于分析问题、解决问题能力的提高．(8)注意分类讨论、等价转换、整体思想、正难则反等数学思想的运用． 3．思想方法总结中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题，它对分析能力要求较高，解法也非常灵活，是高考的难点之一，因此，恰当地选择思想方法，对于解决排列组合问题至关重要．下面结合几个例子谈谈排列组合中常用的几种思想方法．类型1 分类讨论的思想就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以各个击破，这是人们解决问题最常用的策略思想．[例1] 已知集合,,,|),,{(+∈=N c b a c b a S 且≤≤b a S c ,}6≤中共有元素，____个．[解析]根据a 、b 、c 中相等的个数把元素分为四类：第一类61≤==≤c b a 时，有16C 个；第二类 61≤<=≤c b a 时，有26C 个；第三类61≤=<≤c b a 时，有26C 个；第四类61≤<<≤c b a 时，有 36C 个，所以，集合．s 中共有元素562362616=++C C C 个． [方法归纳] 这里S 中的元素可以看成是一个三维坐标，要探索元素个数必须分别看a 、b 、c 的取值情况，而其中a ，b ，c 相等的情况直接影响元素的个数，于是根据这一特点对元素进行分类，考蚕了分类讨论思想的灵活应用，这种数学思想在高考中占有重要的地位，这类题目也会成为高考命题的热点， 类型2 数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，从而达到化抽象为具体，化难为易的目的．[例2]（2010年苏州模拟题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共 有 种．（用数字作答） [解析] 解法一：如图1-1所示，从原点跳5次到达点P(3，O)必须向右跳4次，向左跳一次，才能满足条件，记向右跳一次为1，向左跳一次为-1．所求的不同运动方法就是四个1和一个-1的排列方法，共有5个位置，选好一个位置排-1，即有5种方法，故填5． 解法二：树状图（如图1-2所示）求解．共计5种．故填5．[点拨]本例解法一是通过适当建模（记向右跳一次为1，向左跳一次为-1），把问题转化为排列、组合的模型（问题转化为四个1和一个-1的排列方法），从而使问题顺利地解决；而解法二则是利用树状图的形象直观直接求解．由此可见，解答高考中的排列、组合的应用题关键是在实际问题 中选择恰当的解题切入点，建立有关模型，利用模型来分析解决问题，类型3 转化与化归的思想就是把有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去，从而求得问题的解决．[例3] 方程12=+++d c b a 有多少组正整数解．[解] 不难发现本题可以转化为12个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有多少种不同的放法？建立隔板模型，将12个小球排成一列，12个小球中间有11个空当，从中任取3个空当，如图l -3．将12个小球分成四堆，每一堆对应a ，b ，c ，d 中的一个，易求得共有165311=C 组．[方法技巧] 由于方程未知数的个数大于方程的个数，不能用常规解法，可以建立模型：并列排着12个1，就是如何将这12个1分成4组，且每组都不空的问题．即用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解组数的有效途径， 类型4 函数与方程的思想[例4] 一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？[解析] (1)红球的个数要大于或等于白球的个数，当红球取4个时取法是,44C 当红球取3个、白球取一个时取法是,1634C C ⋅当红球取2个、白球取2个时取法是,2624C C ⋅因此取法共有1152624163444=⋅+⋅+C C C C C （种）． (2)可设取红球x 个，取白球y 个，则满足以下关系⎩⎨⎧≥+=+.72,5y x y x 得.2≥x 因此可分三类：第一类红球取2个、白球取3个共有3624C C ⋅种； 第二类红球取3个、白球取2个共有2634C C ⋅种； 第三类红球取4个、白球取1个共有1644C C ⋅种， 因此所有取法共有186164426343624=⋅+⋅+⋅C C C C C C （种）． [方法技巧] 列出不等式，得出红球至少取多少个，再分类求解，注意分类要不重不漏．新典考题分析[例1] (1)（2010年全国高考题）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种(2)（2010年全国高考题）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )． A.12种移 B.18种 C ．36种 D ．54种(3)（2010年湖北高考题）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )．152.A 126.B 90.C 54.D(4)（2010年湖南高考题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有O 和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )．10.A 11.B 12.C 15.D[解析] (1)分两类，A 类选修课1门，B 类选修课2门，或者A 类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有.131423C C C +⋅3024=C 种选法．(2)第一步，从3个信封中挑选1个信封放置标号为1，2的卡片，有13C 种不同的方法；第二步，将标号为3，4，5，6的4张卡片放入另外2个信封中，每个信封放2个，有2224C C 种不同的方法，由分步计数原理得，所求的不同的放法数.18222413==C C C N(3)依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有.241313C C C ⋅⋅10812=C （种）（注：13C 表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数：2413C C ⋅表示从除司机工作外的其余3项工 作中任选定1项，让该项工作有2人从事的方法数；12C 表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数）；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有183323=⋅A C （种）（注：23C 表示从除甲、乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法数；33A 表示余下的3人分别从事另外3项不同工作的方法数）．因此，满足题意的方法有108 +18 =126（种）．(4)恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为,,,12414C C 故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1112414=++C C 个，故选B ．[答案]A )1( B )2( B )3(B )4([例2] (1)（2010年江西高考题）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）． (2)（2010年浙江高考题）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有 种（用数字作答）．[解析] (1)由题意知=⨯⨯⨯⨯=⋅=24222615442222122426A A A C C C N .1080 (2)上午的总测试方法有2444=A 种；我们以A 、B 、C 、D 、E 依次代表五个测试项目，若上午测试E的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试B 、C ，确定上午测试A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E 的同学下午测试A 、B 、C 之一，则上午测试A 、B 、C 中任何一个的下午都可以测试E ，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3x3 =9种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据乘法原理，总的测试方法共有24×11= 264种．[答案] 1080)1( 264)2([例3] (1)（2010年全国高考题）若9)(xa x -的展开式由3x 的系数是- 84，则=a (2)（2010年湖北高考题）在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项共有 项． (3)（2010年安徽高考题）6)y (xyx -的展开式中，3x 的系数等于(4)（2010年辽宁高考题）62)1)(1(xx x x -++的展开式中的常数项为 [解析] (1)本小题主要考查考生对二项式定理的掌握情况，尤其是对展开式的通项是否能准确掌握以及能否区分项的系数与二项式系数， 对于二项展开式中具体项的问题，．般利用通项法求解．解：通项为,)()(299991r r r r r r r r x C a x a x C T ---+-=-⋅=令,329=-r 得,3=r 故,84)(393-=-C a解得.1=a(2)本小题主要考查二项式定理的应用及其相关知识．解：注意到二项式204)3(y x +的展开式的通项是=+1r T rrr y xC )3(42020⋅⋅-..320420r r r r y x C ⋅⋅=-当,16,12,8,4,0=r 20时，相应的项的系数是有理数，因此204)3(y x +的展开武中，系数是有理数的项共有6项.6))(3(xy yx -的通项为=-=-+r r rr xy yx C T )().(661,)1(3232366---r r r ryx C 令,3236=-r 得,0323,2=-=r r 故3x 的系数为.15)1(226=-C6)1)(4(x x -的展开式的通项=-=-+r r r r xx C T )1(661rr r xC 266)1(--令,026=-r 得,3=r 令,126-=-r 得27=r （舍去），令,226-=-r 得.4=r 所以所求的常数项为： .51520)1()1(464363-=+-=-+-C C[答案] 1)1( 6)2( 15)3( 5)4(-参考答案。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法: 引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C rn 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n m n n -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1C C n r rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C n r nn n n n n =++++++四、讲解范例： 问题导学一、与杨辉三角有关的问题 活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 二、二项式系数的性质 活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得． 三、二项式系数、展开式系数的求和 活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________． 迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164． 【答案】C迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值． 解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6． 迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项． 【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210． 【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6， 令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1． 【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出． 【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81， 又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1． 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41． 【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1． 【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6． 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729． 【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项 【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r ·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1． 【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+， 即132171m m +=+．解得m ＝6． 【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C·24·2042x-＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项． 解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. 33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略） 教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此 我们要采用抽象分析法来化简计算.。

《杨辉三角》教案1【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n=________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2 (121)(a+b)3 (1331)(a+b)4 (14641)(a+b)5 (15101051)(a+b)6 (1615201561)……………………………爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。

杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

“杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn ． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，Cn ＋12n相等，且同时取到最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.对二项式性质的理解(1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件．(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( ) (3)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项答案：C在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )A．8 B．9C．10 D．11答案：C如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－1探究点1 与杨辉三角有关的问题(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461【解析】(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.【答案】(1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01、C11；第2行中的数是C02、C12、C22；第3行中的数是C03、C13、C23、C33；…；第n行中的数是C0n、C1n、C2n、…、C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.答案：34探究点2 二项式系数和问题已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T r＋1＝C r5(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.[变问法]在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解：(1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1.如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，那么n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选A.因为展开式中各项系数之和为128，所以令x ＝1，得2n＝128，所以n ＝7. 2．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( ) A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131解析：选C.由题意可知a 8＝(－2)7＝－128，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C. 探究点3 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项已知二项式(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【解】 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， 所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×(12)4×23＝352，T 5的系数为C 47×(12)3×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， 所以T 8的系数为C 714×(12)7×27＝3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第(r ＋1)项的系数最大， 由于(12＋2x )12＝(12)12·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，所以9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0，1，2，…，12}，所以r ＝10， 所以系数最大的项为T 11，且T 11＝(12)12·C 1012·(4x )10＝16 896x 10.(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． 解：(1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3， 解得n ＝10，因为通项：T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10x 5－5r 6，当5－5r 6为整数时，r 可取0，6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440.(2)设第r ＋1项系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1，2，3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 360x －56，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10x －103＝1 024x －103，所以系数绝对值最大的项为T 8＝－15 360x －56.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n＝5.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.3．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212B ．211C ．210D ．29解析：选D.因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.知识结构深化拓展释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.[A 基础达标]1．若(x 3＋1x2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210. 2．已知(x ＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r5·a 5－r·x r，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. 4．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70D ．80解析：选C.因为(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， 所以a ＋b ＝41＋29＝70.5．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n－12 C ．2n ＋1D.3n＋12解析：选D.令x ＝1得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n .① 令x ＝－1得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n .② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， 所以a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解析：依题设，得2n＝256，解得n ＝8. 通项C r8·x8－r 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 8(－2)r·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2.故常数项为C 28(－2)2＝112.答案：1127．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，所以 a ＝3. 答案：38．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________． 解析：令x ＝1，得a 0＝－2. 令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：29．已知(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 则a 0＝f (0)＝25＝32， 又a 0＋a 1＋…＋a 10＝f (1)＝0， 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝f (1)f (－1)＝0. 10．已知(x ＋m x)n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x8－r (m x)r ＝C r 8m r x 8－2r， 故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1C r 8m r ≥C r ＋18mr ＋1， 化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.[B 能力提升]11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1解析：选D.(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017，令x ＝12，则(1－2×12)2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.12．(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a (0≤a ＜7)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.因为487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a ＝6.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r，令6－3r ＝－3，得r ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320.13．已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n ＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n－2n＝992，解得n ＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r5(x 23)5－r(3x 2)r ＝3r C r5x10＋4r 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，又r ∈N，所以r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405263.14．(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C k －1n ，C kn ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1nC k n，45＝Ck n Ck ＋1n，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！（k －1）！（n ＋1－k ）！×k ！（n －k ）！n ！，45＝n ！k ！（n －k ）！×（k ＋1）！（n －1－k ）！n ！，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝kn ＋1－k ，45＝k ＋1n －k，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。

1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅L ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k-+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n nn n n n C C C C C -=-+-++-L ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++L L ， ∴0213n n n n C C C C ++=++L L ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=L L . 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（Λ=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C第二课时例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ①又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ② ∵r n rn n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C Λ. ④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ,令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ…(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a Λ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a Λ.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n+=， 又展开式中二项式系数和为2n， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 21．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6312+= 六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质第一课时一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n nn n n n C C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++， ∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++ ∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数 解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+， ∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C。

“杨辉三角”与二项式系数的性质教学说明1．内容和内容解析《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.2．教学目标分析“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神.根据以上分析特制定教学目标如下：1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.3．教学问题诊断分析教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示.学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？这就需要适当引导学生联系函数知识，画出6n =和7的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中，教材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各二项式系数的和，运用多种方法予以求证，如：（1）利用赋值法：在.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++中，令1x =可得；（2）利用模型化思想：引入n 元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计数原理进行说明，很好的解决了上面的问题.根据以上分析，制定教学难点如下：（1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；（2）利用赋值法证明二项式系数的性质.4、教法特点及预期效果分析数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”.在本节课的学习中，采用问题引导、合作探究的教学方法，设计六大教学环节：展示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验，丰富学习方式，形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间.在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”：第一步是数形结合、概括性质.通过学生画出n=6和n=7时函数图象，并观察分析其对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活动远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成.第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与二项式系数的关系的基础上，在画出n=6和n=7时函数图象并观察分析其对称性和增减性与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激发学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程，体验到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、“生成权”、“展示权”、“交流权”交给学生，用学生的“亮点”，点亮学生的智慧.第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问题串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思维的严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说明 的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认知冲突，培养学生思维的灵活性和独()na b创性，激发学生的探索兴趣.学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的性质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展.5．教后反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.改进之处：一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，虽然课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好.杨辉三角与二项式系数的性质教学点评本节课有以下几点值得一提：一、目标定位准确本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.二、突出主体地位1．放手发动学生把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.2．彰显理性数学本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.3．呈现合作交流本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学生动起来，让课堂活起来，更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自于“师生合作”的源头. 教师始终把自己放在和学生平等的位置上，“同欢乐，共困苦”，让学生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，这些话成果、说思路、讲道理、议方法、谈感悟等系列活动，既寄托了老师的殷切希望和拳拳爱生之心，又破除了传统的学生蹑手蹑脚演板，胆怯地来回张望，等待老师去评点乃至训斥的那种尴尬局面，展现了一种兴趣盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景.三、主导水到渠成综观整节课三个性质的呈现（教师板书的主题）毫无生涩造作，支离隔阂的痕迹. 却是分块搭建，彼此衔接，宛若于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构，水到渠成之感，这得益于教师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养，也借助于教师过渡衔接之妙：和蔼微笑的教态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一.四、增色情感价值教材的主干内容之一“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变），我国古代数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会写在那一张张稚嫩、率真的脸上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华.本节课值得改进的地方：一是可考虑通过网上链接搜集一些“杨辉三角”包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，尽管课后通过师生沟通，形成了共识，但值得在以后的教学中更好地把握好教学细节.。

教学过程一、复习预习1．在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数，2．如果二项式的幂指数是偶数，的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，的二项式系数相等并且最大．3．二项式系数的和为，即二、知识讲解考点1由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数，借助“杨辉三角”也很容易记忆组合数性质C r n＋1＝C r－1n＋C r n.考点2C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n的证明方法．由(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n.令x＝1得出．此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式中系数问题中很有用，应重点体会掌握，(1＋x)n展开式的组合数解释为：展开式左边是n个(1＋x)的乘积，按照取x的个数可以将乘积中的项按x的取法分为n＋1类：三、例题精析【例题1】【题干】1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n[答案] C[解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.【例题2】【题干】若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)[答案]2009[解析]令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝2010－1＝2009.【例题3】【题干】设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.四、课堂运用【基础】1. (x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( )A ．第4项B ．第4、5两项C ．第5项D ．第3、4两项[答案] B[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210 B ．120 C ．461D ．416 [答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r .令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210.【巩固】1. 设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n＝( ) A ．2n B ．0 C ．－1D ．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.2. (2008·北京·11)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.3. 设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得： 2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102.(3)∵T r ＋1＝C r 2010·12010－r ·(－2x )r＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.【拔高】1.求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项．[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r －k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k .令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.2. (2010·全国Ⅱ理，14)若⎝⎛⎭⎫x －ax 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84， 解得a ＝1.课程小结内容小结利用杨辉三角得出二项式系数的性质，并能够求出各种系数的和，并会求系数的最大项．课后作业【基础】1． (2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A..2．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.【巩固】1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7D ．8[答案] C[解析]原式＝(7＋1)n－C n n＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.C n－1n2．(2010·江西理，6)(2－x)8展开式中不含．．x4项的系数的和为() A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析](2－x)8的通项式为T r＋1＝C r828－r(－x)r＝(－1)r·28－r C r8x r2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.【拔高】1．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.[证明]∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，∴(C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n)·(C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n)＝(1＋x)2n，而C n2n是(1＋x)2n的展开式中x n的系数，由多项式的恒等定理得＋…＋C n n C0n＝C n2n.C0n C n n＋C1n C n－1n(0≤m≤n)，∵C m n＝C n－mn∴(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.2．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．[分析]由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，则T r＋1＝C r5·(x－2x2)r·(x－2x2)r展开式中第k＋1项为T k＋1＝C k r x r－k·(－2x2)k＝(－2)k·C k r·x x ＋k.令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.。

教学设计表学科名称：高二数学授课班级：高（1）班
工作单位：澄海汇璟中学教师姓名：强强
学习内容分析在二项式定理之后学习“杨辉三角”与二项式系数的性质，是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。

同时，又对后面学习随机变量及其分布作准备。

本节课将在学习二项式定理的基础上进一步探讨二项式系数的有关性质及其应用。

学习者特征
分析
我校为普通面向学校，非重点中学。

我们班为理科班，学生数学基础知识较薄弱。

自信心较差，自主探究能力较差，较不积极。

教学重点
及解决措施
二项式系数的性质，导学式，启发式教学。

教学难点
及解决措施
二项式系数的性质的理解和应用，讲授式。

教学设计
思路
填表说明：
1、教学过程的设计是本教学设计表的关键，要详细说明教学环节及所需的资源支持、教师和学生具体的活动、设计意图以及需要特别说明的教师引导语等）。

2、表格高度如果不够，可以在“页面设置”中将纸张高度调大。