上海海事大学高等数学B(二)2010-2011(B)

第 1 页 共 12 页 上 海 海 事 大 学 试 卷 2010 — 2011 学年第二学期期末考试 《 高等数学B（二）》（B卷） （本次考试不得使用计算器） 班级 学号 姓名 总分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)

1、设yxyxzarcsin)2(2，那么)2,1(xz（ ）

(A)2 (B)1 (C) 2 (D) 4. 2、设空间三点的坐标分别为M（1，-3，4）、N（-2，1，-1）、P（-3，-1，1）。则MNP=（ ） （A） （B）43 （C）2 （D）4.

3、若xxxexxxfexxxf22 22),(,2),(，则fxxy'(,)2=（ ） (A) 2xex (B) xexx)2(2 (C) 24xex (D) xex)4(

4、旋转抛物面4222yxz在点)1,1,1(处的法线方程为（ ） （A）114121zyx （B）114121zyx （C）114121zyx （D）114121zyx

题 目 一 二 三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分 阅卷人

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二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)

1、幂级数nnnxn12的收敛区域为

2、函数zzxy(,)由方程xyzzx所确定，则zx= 3、以122ycx为通解的微分方程是 4、交换积分次序22212(,)yyydyfxydx= 三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分10小题，共 68分） 1、(本小题7分)

设xyzarctan，求xz，yz

2、(本小题6分) 求过点（1，1，1）且与202240xyzxyz垂直，与01043zyx平行的直线。 第 3 页 共 12 页

3、(本小题8分) 设D=}1),{(yxyx，求Dyxde。

4、(本小题8分) 计算二次积222222290319110xyxxxyxdyedxdyedx 第 4 页 共 12 页

5、(本小题5分) 判别级数13233sinnnnn 的敛散性

6、(本小题5分) 判别级数1,1sin11aanann的敛散性，若收敛，说明其是绝对收敛还是条件收敛

7、(本小题8分) 展开231)(2xxxf为x的幂级数。 第 5 页 共 12 页

8、(本小题8分) 求微分方程yyyxex22的通解 .

9、(本小题7分) 试求在圆锥面22zxy与平面1z所围锥体内作出的底面平行于xoy面的最大长方体的体积。 第 6 页 共 12 页

10、(本小题6分) 设222(),ufrrxxz其中f二阶可导，满足2222220uuuxyz

且(1)1,(1)1ff，求()fr。 第 7 页 共 12 页

上 海 海 事 大 学 试 卷 2010 — 2011 学年第二学期期末考试解答 《 高等数学B（二）》（B卷） （本次考试不得使用计算器） 班级 学号 姓名 总分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、A 2、D 3、C 4、B . 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)

1、21,21

2、xyxzyzzzzxxx1ln 3、2221yyy 4、211102(,)xxdxfxydy 三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分10小题，共 68分） 1、(本小题7分)

设xyzarctan，求xz，yz

解：222222yxyxyyxxzx 4分

题 目 一 二 三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分 阅卷人

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装 订 线------------------------------------------------------------------------------------ 第 8 页 共 12 页

222221yxxxyxx

zy 7分

2、(本小题6分) 求过点（1，1，1）且与202240xyzxyz垂直，与01043zyx平行的直线。

解：11216,3,0122ijkS， 2分 由已知条件得：6m-3n=0，3m-4n+p=0 解得：n=2m，p=5m， 4分

所以所求直线为：512111zyx 6分

3、(本小题8分) 设D=}1),{(yxyx，求Dyxde。

解：原式dyedxexxyx1101+dyedxexxyx1110 3分 =0111)(dxeeexxx+1011)(dxeeexxx 6分 =1ee 8分 4、(本小题8分) 计算二次积222222290319110xyxxxyxdyedxdyedx

解：原式=)(4931202eerdredr 8分

5、(本小题5分) 第 9 页 共 12 页

判别级数13233sinnnnn 的敛散性 解： 33sin32nnnun 数收敛。由比较判别法知：原级而,1023nnnun 5分

6、(本小题5分) 判别级数1121nnnn的敛散性，若收敛，说明其是绝对收敛还是条件收敛

解：12122)1(lim1nnnnn，所以12nnn收敛 3分 原级数绝对收敛。 5分 7、(本小题8分) 展开)1(xedxdx为x的幂级数，并求1)!1(nnn

解：!!3!211,!!21122nxxxxenxxxenxnx（0x）2分 1122)!1(!)1(!43!32!21)1(nnnx

xnnnxnxxxedx

d 5分

而)1(xedxdx=,1,12xxexexx)1(xedxdx=1，所以1)!1(nnn=1。 8分

8、(本小题8分) 第 10 页 共 12 页

求微分方程yyyxex2321()的一个特解 解：特征方程rr2230的根为rr1213, 3分 设特解为yxAxBepx() 5分 代入方程得 xpexxy)12(8 8分

9、(本小题7分) 求函数2xyzu在条件xyzRxyz22224000,,,下的极大值，并证明对任意正数

abc,,,成立42)(641cbaabc。其中R0。

证：令)4(22222RzyxxyzL

由 040220202222222RzyxLzxyzLyxzLxyzLzyx得驻点 RRR2,, 4分 且 422,,RRRRu，4max2Ru 5分 由 222222224281422zyxzyxRxyz 6分 得 422222641zyxxyz，取 axbycz222,, 则得42)(641cbaabc。 8分 第 11 页 共 12 页

10、(本小题6分) 已知)(22yxuu具有连续的二阶偏导，且满足22xu+2222yxyu，求u

解：令22yxr，则drdurxxu，22xu=222232drudrxdrdury 2分 同理：22yu222232drudrydrdurx，2221rdrdurdrud 4分 解此方程得：2221222))(ln()(161CyxCyxu 6分