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十字相乘法分解因式的精品讲解+练习

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十字相乘法分解因式
1．二次三项式

（1）多项式cbxax2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项，
为一次项， 为常数项．

例如：322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

（2）在多项式2286yxyx中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三
项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．

（3）在多项式37222abba中，把 看作一个整体，即 ，
就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把 看
作一个整体，就是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容

(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的
符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符
号与一次项系数的符号相同．

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
cbxax
2
))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa

它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大
的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真
地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式
漏写字母．

二、典型例题

例1 把下列各式分解因式：
2

(1)1522xx； (2)2265yxyx．
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522xx； (2)3832xx．

例3 把下列各式分解因式：
（1）91024xx； (2))(2)(5)(723yxyxyx；

(3)120)8(22)8(222aaaa．
例4 分解因式：90)242)(32(22xxxx．
例5 分解因式653856234xxxx．
例6 分解因式655222yxyxyx．
例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
例8、已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他
因式．
3

试一试：
把下列各式分解因式：
(1)22157xx (2) 2384aa (3) 2576xx

(4) 261110yy (5) 2252310abab (6) 222231710ababxyxy

(7) 22712xxyy (8) 42718xx (9) 22483mmnn
(10) 53251520xxyxy
课后练习
一、选择题
1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于 ( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果305)(22xxbxbax，则b为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4.不能用十字相乘法分解的是 ( )

A．22xx B．xxx310322 C．242xx D．22865yxyx
4

5.分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
( )

A．20)(13)(22yxyx B．20)(13)22(2yxyx

C．20)(13)(22yxyx D．20)(9)(22yxyx
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有
( )

①672xx； ②1232xx； ③652xx；

④9542xx； ⑤823152xx； ⑥121124xx
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题

7．1032xx__________．

8．652mm(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
9．3522xx(x－3)(__________)．
10．2x____22y(x－y)(__________)．
11．22____)(____(_____)amna．
12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．
13．若x－y＝6，3617xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．
三、解答题
14．把下列各式分解因式：

(1)6724xx； (2)36524xx； (3)422416654yyxx；

(4)633687bbaa； (5)234456aaa； (6)422469374babaa．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(xx； (2)9)2(22xx；
5

(3)2222)332()123(xxxx； (4)60)(17)(222xxxx；
（5）8)2(7)2(222xxxx； (6)48)2(14)2(2baba．
16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，2633yx，求a的值．

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因式分解--十字相乘法练习题(含答案)

因式分解--十字相乘法练习题(含答案)

因式分解--十字相乘法练习题(含答案)1、将题目格式修改为：十字相乘法因式分解练题（含答案）2、删除明显有问题的段落3、改写每段话：1.将第一个题目改写为：对于方程$x^2+3x+2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

2.将第二个题目改写为：对于方程$x^2-7x+6=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

3.将第三个题目改写为：对于方程$x^2-4x-21=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

4.将第四个题目改写为：对于方程$x^4+6x^2+8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

5.将第五个题目改写为：对于方程$x^2-3xy+2y^2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

6.将第六个题目改写为：对于方程$x^2+4x+3=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

7.将第七个题目改写为：对于方程$y^2-7y+12=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

8.将第八个题目改写为：对于方程$x^2+2x-15=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

9.将第九个题目改写为：对于方程$(a+b)^2-4(a+b)+3=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

10.将第十个题目改写为：对于方程$x^4-3x^3-28x^2=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

11.将第十一个题目改写为：对于方程$a^2+7a+10=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

12.将第十二个题目改写为：对于方程$q^2-6q+8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

13.将第十三个题目改写为：对于方程$x^2+x-20=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

14.将第十四个题目改写为：对于方程$p^2-5p-36=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

15.将第十五个题目改写为：对于方程$m^2+7m-18=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

16.将第十六个题目改写为：对于方程$t^2-2t-8=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

17.将第十七个题目改写为：对于方程$x^4-x^2-20=0$，使用十字相乘法进行因式分解。

因式分解十字相乘法练习题

因式分解十字相乘法练习题

因式分解十字相乘法练习题一、选择题1. 以下哪个表达式是正确的因式分解结果？A. x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)B. x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2C. x^2 - 9 = (x - 3)^2D. x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^22. 将下列表达式因式分解，哪个选项是正确的？A. 6x^2 - 11x + 6 = (2x - 3)(3x - 2)B. 9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)C. 4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)D. 2x^2 - 8xy + 4y^2 = 2(x - y)^23. 以下哪个表达式不能使用十字相乘法进行因式分解？A. x^2 - 2xy + y^2B. 3x^2 + 5x + 2C. 4x^2 - 4xy + y^2D. x^2 + 6x + 9二、填空题1. 将下列二次三项式因式分解：________x^2 - 6x + 92. 将下列二次三项式因式分解：________2x^2 - 4x - 63. 将下列二次三项式因式分解：________3x^2 - 11x + 10三、解答题1. 给定二次三项式 ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若 b^2 - 4ac < 0，说明该三项式不能因式分解。

请说明原因。

2. 已知二次三项式 ax^2 + bx + c 可以因式分解为 (x - p)(x - q)，求证 b = p + q 且 c = pq。

3. 将下列表达式因式分解，并说明使用十字相乘法的步骤：- 5x^2 - 20x + 16- 7x^2 - 14x + 3四、应用题1. 一个矩形的长和宽分别是 2x - 3 和 x + 4，如果矩形的面积是10x^2 - 2x - 24，求矩形的长和宽。

2. 一个二次方程的系数 a, b, c 满足 b^2 - 4ac = 0，求证该方程有两个相等的实根。

十字相乘法例题解析

十字相乘法例题解析

第2课时 十字相乘法一、十字相乘法：1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．二、例题讲解：例1.把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+= 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ 分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- (3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-例4.把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y y -⨯ 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．三、巩固练习：1．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 24x - （4）2245m mn n --2．把下列各式分解因式：(1) 2273x x -+ (2) 2672x x -+ (3)2273x x ++ (4)27()5()2a b a b +-+-(5)2282615x xy y +- (6) 222(2)7(2)12x x x x ---+。

十字相乘法分解因式经典例题和练习

十字相乘法分解因式经典例题和练习

知识点讲解、十字相乘法:2(1). x ( p q)x pq 型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是:之和.例1把下列各式因式分解:2(1) x27x 6变式例2把下列各式因式分解:例3把下列各式因式分解:(1)二次项系数是1 ；(2)常数项是两个数之积; (3) —次项系数是常数项的两个因数2x (p q)x pqpx qx pq x(x p) q(x p) (x P)(x q)因此,x 2(p q)xpq (x p)(x q)13x 361、a 2b 22ab 15a 4b 2 3a 2b 18⑴a 24ab 3b 2x)2 8(x 2x) 12变式 1、x 2 2xy 15y 2 2.5xy 6y 22 2x 4xy 21 y7xy 12y 2⑴(x y)24(x y) 12 ⑵(x y)2 5(x y) 6变式 1、(x y)29(x y) 142 、(x y)25(x y) 43、(x y)2 6(x y) 162、(x y) 7(x y) 30(2) •—般二次三项式 ax 2bx c 型的因式分解例5把下列各式因式分解:2(1) 12x 5x 2 练习:例 4 (1) x 2y 3xy 2 10y 3⑵ a 2b 2 7ab 3 10b 4变式⑴(x 23x)22( x 2 3x) 8⑵(x 22x)(x 22x 2) 3⑶ 3x 3 18x 2y 48xy 2 ⑷(x 2 5x)2 2(x 2 5x) 24⑸(x 2 2x)( x 2 2x 7) 8 ⑹ x 4 5x 2 4大家知道,(a 1x C | )(a 2x c 2)2a 1(a© a 2c 1)x C 1C 2 •反过来，就得到:a 1a 2x 2(a1C2a 2c 1 )x C 1C2 (dx G)(a 2X C 2)2 2⑵ 5x 6xy 8y1. 把4x4 y2 5x2 y2 9 y 2分解因式的结果是_________________________2. 因式分解：3x 27x 63x2 8x 3 3x25x 2例64x 465x22y16y4； 6a7a3b38b6；变式6a 45a34a2；（6）4a637a4b29a2b4．例7 x 2 2xy x y y 2 2变式x2 2xy 3x 3y y 2 2拓展讲解：例1.若x2y2mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A. 1 B. -1 C. 1 D. 2 g2例2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足ac 4 ba cb 。