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2014年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题（重要提示：答案必须做在答题纸上，做在试题上不给分）考试科目代码810 考试科目名称管理学一、简答题（30分，每题5分）1．管理人员的选拔适合从哪些方面去考虑？2．简述德尔菲法的概念和步骤。
3．影响管理幅度的因素主要有哪些？4．简述前馈控制的优点和难点。
5．明茨伯格的研究显示管理者会扮演哪些角色？6．管理人员应如何进行信息的评估？二、选择题（40分，每题2分）1．霍桑实验表明（）A．非正式组织对组织目标的达成是有害的B．正式组织对组织目标的达成是有益的C．企业应采取一切措施来取缔非正式组织D．企业应该正视非正式组织的存在2．预测既是计划工作的前提条件，又是计划工作的（）A．组成部分B．基础C．结果D．保证3．授权时应依被授权者的才能和知识水平高低而定，这是授权原则的（）A．扬长避短B．因人设职，视能授权C．任人唯贤D．因事设人，视能授权4．因领导者的特殊品格、个性或个人魅力而形成的权力是（）A．法定权B．奖励权C．强制权D．统御权5．下列方法中属于风险型决策的方法是（）A．决策树法B．线性规划法C．小中取大法D．量本利分析法6．下列各项不属于双因素理论所指的激励因素的是（）A．工作本身B．同事关系C．承认D．晋升7．管理控制工作的一般程序是（）A．建立控制标准、分析差异产生原因、采取矫正措施B．采取矫正措施、分析差异产生原因、建立控制标准C．建立控制标准、采取矫正措施、分析差异产生原因D．分析差异产生原因、采取矫正措施、建立控制标准8．管理创新的基准和出发点是（）A．创新条件B．创新内容C．创新原则D．创新方法9．企业把客户、销售代理商、供应商、协助单位纳入生产体系，同他们建立起利益共享的合作伙伴关系，进而组成一个企业的供应链，这是（）A．精益生产B．同步工程C．敏捷制造D．企业流程再造10．一家产品单一的跨国公司在世界许多地区拥有客户和分支机构，该公司的组织结构应该考虑按照什么因素来划分（）A．职能B．产品C．地区D．矩阵结构11．采取工作轮换的方式来培养管理人员的最大优点是有助于（）A．提供受训者的业务专精能力B．减轻上级领导的工作压力C．增强受训者的综合管理能力D．考察受训者的高层管理能力12．作为公司经理，当你发现公司内部存在许多小团体时，你应该（）A．立即宣布这些小团体非法并予以取缔B．深入调查，找出小团体的领导人，向他们发出警告，不要再搞小团体C．只要小团体不影响企业正常运行，可以不闻不问、听之任之D．正视小团体存在的客观性，允许乃至鼓励小团体的存在，对其加以积极引导13．关于组织文化的特征，下列说法中不正确的是（）A．组织文化的中心是人本文化B．组织文化的管理方式以柔性管理为主C．组织文化的核心是组织精神D．组织文化的重要任务是增强群体凝聚力14．权变理论的提出者是（）A．布莱克B．菲德勒C．勒温D．施米特15．某企业对生产车间的工作条件进行了改善，这是为了更好地满足职工的（）A．生理需求B．安全需求C．感情需求D．尊重需求16．向新来的员工支付比最低工资高一些的工资，由此推断该管理者接受的是（）A．功利观B．权利观C．公平理论观D．综合社会理论观17．所谓的“跳一跳，摘桃子”指的是目标的（）A．可考核性B．可接受性C．挑战性D．层次性18．若较低层次做出的决策比较重要、影响面较大，则该组织的权力划分特征为（）A．分权程度较高B．集权程度较高C．集权分权程度相当D．分权程度较弱19．双向网络沟通中，倾向于集权化的沟通方式是（）A．圆型B．轮型C．星型D．风车型20．罚款属于管理方法中的（）A．法律方法B．经济方法C．教育方法D．行政方法三、论述题（40分，每题10分）1．管理的基本职能有哪些？试述这些基本职能间的关系。
第1页共4页上海海事大学试卷2013—2014学年第一学期期末考试《复变函数与积分变换》（A 卷）班级学号姓名总分一、填空题（共10题，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上1．复平面中1Rez 2=所表示的平面曲线为___________.2．方程e 10z --=的解z=________________________________.3．-1的三次根是_____________________________________________.4．3223()33,f z x x yi xy y i z x yi =+--=+其中，则()f z '=______________________.5．2124z dz z z ==++⎰ ________________.6．0z i e dz π--=⎰________________.7．设C 为正向圆周|ζ|=2，c sin 3(z)d -zf πζζ=⎰ ，其中|z|<2，则(1)f '=_______________.8．设100i)(1z +=，则Imz ＝___________________________.9．已知函数[()](),[()]f t F tf t ω==则F F _________.10.若12120,0;0,0;()()()()=1,0,,0,t t t f t f t f t f t t e t -<<⎧⎧==*⎨⎨≥≥⎩⎩则_____________.题目一二三四五六得分阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第2页共4页二、计算下列积分（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分）1.(1)d cz z -⎰，其中积分路径C 为从点0到点1+i 的直线段.2．dz a z e c 22z⎰+,其中c:｜z ｜=b 正向，且b>｜a ｜.第3页共4页三、（10分）将函数)2)(1(1--z z 分别在区域0<|z -1|<1,1<|z -2|<+∞内展开为洛朗级数四、求下列积分变换（共2题，其中第1题8分，第2题12分，共20分）1.利用定义求函数()tf t e -=的Fourier 变换2.求22233()(1)(3)s s F s s s ++=++的Laplace 逆变换第4页共4页五、（10分）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题2e ,(0)(0)(0)0t y y y y y '''''''+====六、（10分）利用留数方法计算()22022d ,0x x a x a +∞>+⎰。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]A.(2，+∞)B.(1，2)C.(，1)D.(0，)正确答案：B参考解析：2[单选题]下列曲线中有渐近线的是（）．A.y=x+sin xB.y=x2+sin xC.y=x+sinD.y=x2+sin正确答案：C参考解析：3[单选题]设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上（）．A.当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)C.当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D.当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D参考解析：令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x)，则 F(0)=F(1)=0，F'(x)=-f(0)+f(1)-f’(x)，F”(x)=-f”(x)．若f”(x)≥0，则F”(x)≤0，此时F(x)在[0，1]上为凸的．又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)．4[单选题]（）．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：5[单选题]（）.A.1B.C.D.正确答案：D参考解析：6[单选题]A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C.u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得D.u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得正确答案：A参考解析：由题意知，B≠0，A，C互为相反数．由于AC—B2<0，可知u(x，y)在D内无极值．而最值只可能在极值点、不可导点和区间端点(或区域边界)处取得，因此可知u(x，y)的最大值和最小值均在区域D的边界处取得．7[单选题]A.(ad—bc)2B.-(ad—bc)2C.a2d2-b2c2D.b2c2-a2d2正确答案：B参考解析：利用行列式的展开定理，按列步步展开，可得提示：本题也可用特殊值代入，通过排除，从而得出正确答案．令a=d=0，可得行列式值为-(bc)2，排除A、D项；令b=c=0，可得行列式值为-(ad)2，排除C项，故B项正确．8[单选题]设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α1+kα+lα3，线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（）．3，α2A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件正确答案：A参考解析：9[填空题]_______.参考解析：【解析】10[填空题]设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=_______. 参考解析：1【解析】由题意知，当x∈[0，2]时，又f(x)是周期为4的奇函数，可知f(0)=C=0，f(7)=f(-1)=-f(1)=1．11[填空题]_______. 参考解析：【解析】解法一将方程两边对x，y分别求偏导数，得12[填空题]曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=()处的切线的直角坐标方程是_______.参考解析：【解析】13[填空题]一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度p(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心横坐标=_______.参考解析：【解析】14[填空题]设二次型f(x1，x2，x3)=的负惯性指数是1，则a的取值范围是_______.参考解析：[-2，2]【解析】配方法：f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)由于二次型负惯性指数为1，所以4-a2≥0，故-2≤a≤2．15[简答题]参考解析：16[简答题]已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值．参考解析：由x2+y2y '=1-y' ，得17[简答题]设平面区域D={(x，y)| 1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}．参考解析：区域D关于y=x对称，且满足轮换对称性，即18[简答题]参考解析：19[简答题]设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(I)(1I)参考解析：20[简答题]参考解析：21[简答题]已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2-(2-y)ln y．求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积．参考解析：22[简答题](I)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E 的所有矩阵B ． 参考解析：23[简答题]参考解析：。
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=1【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.2【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-。
若(2)1f =,则(1)f =___________. 3【答案】 3 【解析】3.3|4-1|0)1(∴4,1|-4|1)2(∴|-||1-|)(2所以，是解得=+===+=+=f a a f a x x x f Θ4.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。
为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。
若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 5【答案】 70【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n 个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=706.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 6【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+ 【答案】(C)【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=，又 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选(C).(2) 设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一(3) 设()f x 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰( )(A) 1100010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰ (B)1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰(C)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ(D)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ【答案】(D) 【解析】1101101(,)(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ---=+⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr +=+⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ.故选(D). (4) 若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=32260y xy x y +++= ( )(A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2sin x π (D) 2cos x π 【答案】(A) 【解析】2222(cos sin )(sin )2cos (sin )cos x a x b x dx x b x a x x b x a x x dx --⎡⎤--=---+⎣⎦⎰⎰ππππ22222(2sin sin cos )x bx x b x a x dx -=-++⎰ππ2222202(sin cos 2sin )x dx b x a x bx x dx -=++-⎰⎰πππ223124()422223a b b =+⋅-⋅+πππ 2232(4)3a b b =+-+ππ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2232(2)43a b ⎡⎤=+--+⎣⎦ππ当0,2a b ==时，积分最小. 故选(A).(5) 行列式0000000a b abc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.故选(B).(6) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A) 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数402Q p =-，向量p 线性无关是向量D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P B A -= ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B)【解析】 已知a =，A 与()2123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++独立，a ，()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=-()0.5()0.5()0.3P A P A P A =-==，则 ()0.6P A =，则()()()()()()0.50.50.60.50.30.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=-=.故选(B).(8) 设连续性随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则( )(A) 12EY EY >，12DY DY > (B) 12EY EY =，12DY DY =(C) 12EY EY =，12DY DY < (D) 12EY EY =，12DY DY > 【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设12,(0,1)X X N ，相互独立. 22212221())2y y y Y f y ---==，1(0,1)Y N .2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2121()2Y X X =+，212212111()(()())0,()(()())242E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121()()0,()1()2E Y E Y D Y D Y ===>=.故选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲面22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=【解析】由于22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以22(1sin )cos x z x y x y '=--⋅，(1,0)2x z '=；2cos 2(1sin )yz x y y x '=-+-，(1,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即21x y z --=.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.()f x 是以4为周期的奇函数，故2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3(1)y e =的解为y =__________.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【答案】21(0)x y xe x +=>【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x'⇒=. 令yu x=，则y x u =⋅，y xu u ''=+，代入原方程得 ln xu u u u '+=(ln 1)u u u x-'⇒=分离变量得，(ln 1)du dxu u x=-，两边积分可得 ln |ln 1|ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=.故ln1y Cx x -=. 代入初值条件3(1)y e =，可得2C =，即ln 21yx x=+. 由上，方程的解为21,(0)x y xe x +=>.(12) 设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从A 0x =轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ __________.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得0Ldydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx x y z z y∑∑∂∂∂+==+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰xyD dydz dzdx =+=⎰⎰π，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤.(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.(14) 设总体X 的概率密度为()22,2,;30,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩θθθθ其他,其中θ是未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若221()nii E cX==∑θ，则c =_________.【答案】25n【解析】 222222()(;)3x E X x f x dx x dx +∞-∞==⋅⎰⎰θθθθ 2422215342x =⋅=θθθθ，222215[]()2ni i n E cX ncE X c ===⋅=∑θθ， 25c n∴=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim [(e 1)]xx x x →+∞=--2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：2223220y y y xyy x y xy '''++++= ①令1x 为极值点，则由极值必要性知：1()0y x '=，代入①式得：2111()2()0y x x y x +=.即1()0y x =或11()2y x x =-. 将其代入原方程知：1()0y x =（舍去），即11()2y x x =-. 代入，有 33311184260x x x -+-+=，∴11x =. 即(1)2y =-，(1)0y '=.对①式两边再求导：22226()322()222220y y y y yy x y xyy yy xy x y y xy ''''''''''''+++++++++=.将(1)2y =-，(1)0y '=代入得：4(1)09y ''=>. ∴()y f x =在1x =处取极小值，(1)2y f ==-.(17)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，()cos xz f e y =满足()222224cos .x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂若()()00,00f f '==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂，2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos 4[cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+,即()()cos 4cos 4cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()44f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,0a b =-=，特解*y t =- 则原方程通解为()2212=tty f t c e c et -=+-由()()'00,00f f==，得1211,44c c ==-, 则()2211=44u uy f u e e u -=-- (18)(本题满分10分)设∑为曲面22z x y =+(z 1)≤的上侧，计算曲面积分33(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑--+-+-⎰⎰223(1)3(1)1x y dV Ω⎡⎤=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 223()667x y dV xdV ydV dV ΩΩΩΩ=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一∑和1∑所围立体为Ω，Ω关于yoz 面和zox 面对称，则0xdV ydV ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221221()x y x y x y dV dxdy dz +Ω+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=21220(1)d r r rdr -⎰⎰πθ461011112()2()46466r r =-=-=πππ22112x y zdV dzdxdy zdz Ω+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ173746222∑+∑∴-=⋅+⋅=+=⎰⎰πππππ 14∑+∑∴-=⎰⎰π又22111(1)(11)0x y z dxdy dxdy ∑∑+≤=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1114I ∑+∑∑∴=-=-⎰⎰⎰⎰π(19)(本题满分10分)设数列{}{},n n a b 满足02n a <<π，02n b <<π，cos cosb n n n a a -=，且级数1nn b∞=∑收敛.(I) 证明：lim 0n n a →∞=.(II) 证明：级数1nn na b ∞=∑收敛. 【解析】(I )1nn b∞=∑收敛 lim 0n n b →∞∴=cos cos 2sinsin 022sin 02n n n n n n n n n a b a ba ab a b+-=-=->-∴<又424nn a b --<< ππ，042n n a b-∴-<<π2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一即：n n a b <又0,n n a b << lim 0n n b →∞= lim 0n n a →∞∴=(II )证明：由(I )2sinsin 22n n n n n a b a ba +-=- 2sin sin 22n n n nn n na b a b a b b +--∴= 222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<= 又 1n n b ∞=∑收敛 ∴12nn b ∞=∑收敛,1n n na b ∞=∑收敛(20)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=， 则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n =λ的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率分布为{}{}112,2P X P X ====在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为(y)Y F ，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一{}{}{}{}{}()1|12|2Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X =≤==≤=+=≤={}{}11|1|222P Y y X P Y y X =≤=+≤= 当0y <时，()0Y F y =；当01y ≤<时，13()(y )224Y y yF y =+=； 当12y ≤<时，1()(1)22Y yF y =+；当2y ≥时，()1Y F y =. 所以Y 的分布函数为0,03,014()1(1),12221,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩(II) Y 的概率密度为3,01,41(y),12,40,Y y f y ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.120131()=()d 44Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞=+⎰⎰⎰ =31113(41)42424⨯+⨯-=(23)(本题满分11 分)设总体X 的分布函数为21(;)0,0,0,x x x e F x -≥<⎧⎪-=⎨⎪⎩θθ其中θ是未知参数且大于2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一零.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）求()E X ，2()E X ；（II ）求θ的最大似然估计量nθ；（III ）是否存在实数a ，使得对任何0>ε，都有{}lim 0n n P a →∞-≥=θε？【解析】X 的概率密度为22,0(;)(;)0,xx e x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩θθθθ其它 （I ）22()(;)x xE X xf x dx xedx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222[]x x x xdexeedx ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰θθθ2x edx -+∞=⎰θ12==22222()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222220[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ22x xedx -+∞=⎰θθθ=θ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一（II ）似然函数2112,0()(;)0,ix n i ni i i x e x L f x -==⎧⎪∏>=∏==⎨⎪⎩θθθθ其它当0(1,,)i x i n >=⋅⋅⋅时，212()i x nii x L e-==∏θθθ，21ln ()[ln 2ln ]ni i i x L x ==--∑θθθ222211ln ()11[][]0n ni i i i x d L x n d ===-+=-=∑∑θθθθθθ 解得 211n i i x n ==∑θ所以，θ的最大似然估计量为211ˆnni i X n ==∑θ （III ）依题意，问ˆnθ是否为θ的一致估计量. 2211ˆ()()()nni i E E X E X n ====∑θθ 242211ˆ()()[()()]nD D XE X E X n n==-θ 24442()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ2224430[4]x x x x dex eex dx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ2304x x edx -+∞=⎰θ22222022[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθθθ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一24x xedx -+∞=⎰θ2222()x x ed -+∞=--⎰θθθ22=θ2221ˆ()[2]nD n n∴=-=θθθθ ˆlim ()0n n D →∞=θˆn∴θ为θ的一致估计量 a ∴=θ。
第 1 页 共 8 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第二学期期末考试 《 高等数学A （二）》船（B 卷）（本次考试不得使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、设yxy x z arcsin)2(2-+=，那么=∂)2,1(x z ∂（ A ）(A)2 (B)1 (C)π2(D)π4. 2、设Ω是由3x 2+y 2=z , z =1－x 2所围的有界闭区域，且f (x , y , z )在Ω上连续，则C⎰⎰⎰-+-222213410210),,(2)(x y x x dz z y x f dy dx A ⎰⎰⎰----331022),,()(y z y z x xdx z y x f dy dz B⎰⎰⎰-+----2222213212111),,()(x y x y y dz z y x f dx dy C ⎰⎰⎰+-----222223141412121),,()(y x x x x dz z y x f dy dx D3、若x x x e x x x f e x x x f ---==22 22),(,2),(，则f x x y '(,)2=（ C ） (A) 2xex- (B) xex x -+-)2(2 (C)24x -e x-(D) xex --)4(4、旋转抛物面4222-+=y x z 在点)1,1,1(--处的法线方程为（B ）--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 8 页（A ）114121-+=+=-z y x （B ）114121-+=-+=-z y x （C ）114121-+=+=--z y x （D ）114121--=-=-+z y x二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、幂级数n n n x n∑∞=12的收敛区域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21 2、函数z z x y =(,)由方程xyz z x =所确定，则z x =xy xz yzz z z x x x ---=-1ln 3、以()122=++y c x 为通解的微分方程是2221y y y '+= 4、AB 是连接A （0，2），B （)0,23的直线段，则⎰+AB ds y x )(44 32337三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分10小题，共 68分）1、(本小题7分) 设x y z arctan=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 设x yz arctan=，求x z ∂∂，y z ∂∂ 解：222222y x yx y y x x z x +-=-⋅+= 4分 222221y x xx y x x z y +=⋅+= 7分2、(本小题6分) 计算曲线积分⎰++++Ly y x x x xy y d )2(d )2(22其中L 是由A (4，0)沿上半圆周24x x y -= 到O (0，0)的半圆周。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数图形的凹凸性 【解析】令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰21111(,)+(,)x xdx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰⎰⎰或112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰.故选D.（4）若{}2211,(cos sin )min (cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A【考点】定积分的基本性质 【解析】222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx xx a x b x a x b x dx ππππ----=-+++⎰⎰22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx ππ-=--+++⎰22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx ππ-=-++⎰2222202[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π=-++⎰333222222222(2)(4)[(2)4]32233b a b a b b a b ππππππππ=-++=+-+=+--+故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.（5）行列式0000000a b abc d cd=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式展开定理 【解析】2141000000(1)0(1)000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d ++=-⨯⨯--⨯⨯-a b a bad bcc d c d=-+ 2()()a bbc ad ad bc c d=-=--.故选B. （6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】概率的基本公式 【解析】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D【考点】统计量的数学期望 【解析】2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+.1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221[()()]()22y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=⎰.2222112121[()()]()22y EY f y f y dy EX EX +∞-∞=+=+⎰， 22222111121211()()()24DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+ 2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ⎡⎤=+---⋅⎣⎦ 22121212124DX DX EX EX EX EX ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦ 221212121()()24DX DX EX EX EX EX ⎡⎤≥+++-⋅⎣⎦ 2121221()4DX DX EX EX DY ⎡⎤=++-≥⎣⎦ 1212,EY EY DY DY ∴=>二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面【解析】22(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--22(1sin )cos x F x y x y '=--⋅，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-⋅+-，1z F '=-∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】函数的周期性 【解析】由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2()(1),[0,2]f x x C x =-+∈又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈)(x f 是以4为周期的奇函数，故2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为=y【答案】21x y xe+=【考点】变量可分离的微分方程 【解析】(ln ln )0ln 0y xxy y x y y x y''+-=⇒+= ① 令yu x=，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)u u u x-'=分离变量，得(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dxu u u x-==--两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln 1yCx x-= 代入初值条件3)1(e y =，可得2C =，即ln 12yx x-= 整理可得21x y xe +=.（12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx【答案】π【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得0xyLD dydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z yπ∑∑∂∂∂+==+=+=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}22(,)1xy D x y x y =+≤（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12是2θ的无偏估计，则=c【答案】n52【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ=====∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22t t t t e t e t x t t ++→→---===令 （16）（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程322+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：2223220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）将2y x =-代入原方程得 3660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=>，即4(1)09f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x=，知(cos )cos x x z f e y e y x ∂'=⋅∂，(cos )(sin )x x zf e y e y y∂'=⋅-∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即(cos )4(cos )cos x x x f e y f e y e y ''-= 令cos x u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程212402,2r r r -=⇒==- 齐次方程通解为2212uu y C eC e -=+设特解*y au b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y u =- 原方程的通解为221214uu y C eC e u -=+-由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616C C ==- 22111()16164u u y f u e e u -∴==--（18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑【考点】高斯公式【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，方向向上．133(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω=-+-+⎰⎰⎰22(3633631)x x y y dxdydz Ω=++++++⎰⎰⎰ 22(337)x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰1220(z)(337)D dz x y dxdy =++⎰⎰⎰1220(37)4zdz d r rdr πθπ=+=⎰⎰⎰（其中(66)0x y dxdydz Ω+=⎰⎰⎰，因为积分区域关于,xoz yoz对称，积分函数(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）在曲面1∑上，133(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=⎰⎰故33(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑-+-+-=-⎰⎰ ．（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=⇒=-0,022n n a b ππ<<<<，cos cos 00n n n n a b a b ∴->⇒<<级数1n n b ∞=∑收敛，∴级数1n n a ∞=∑收敛，lim 0n n a →∞=.（II ）解法1：2sinsin cos cos 22n n n nn n nn nna b a ba ab b b b +---== 02n a π<<，02n b π<<，sin,sin 2222n n n n n n n n a b a b a b a b++--∴≤≤ 222222n n n nn n n nn n a b a b a b a b b b +--⋅-∴≤=222n n n b b b ≤= 02n a π<<，02n b π<<，且级数1nn b∞=∑收敛，∴级数∑∞=1n nnb a 收敛. 解法2：cos cos 1cos n n n nn n na ab b b b b --=≤21cos 1cos 1lim lim 2n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，∴由1n n b ∞=∑⇒ 11cos n n n b b ∞=-∑收敛⇒∑∞=1n n n b a收敛（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】对矩阵()A E 施以初等行变换1234100()01110101203001A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭1205412301021310013141--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭（I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数 （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设111111111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，0010020B n ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭因为()1r A =，()1r B =所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤=11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）随机变量Y 的概率密度为'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)00x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】（Ⅰ）X 的概率密度为22,0(;)(;)0,0xx e x f x F x x θθθθ-⎧⎪≥'==⎨⎪<⎩222()(;)()x x xE X xf x dx x edx xd eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰22200012222x x x xeedx edx θθθθπθπ+∞---+∞+∞=-+==⋅=⎰⎰ 22222202()(;)()x x xE X x f x dx x edx x d e θθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰2222200222x x x x xx ex edx x edx edx θθθθθθθ+∞----+∞+∞+∞=-+⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本的观测值，似然函数为2112(),0(1,2,,),()(;)0,0ix n n ni i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==⎧≥=⎪==⎨⎪<⎩∏∏当0(1,2,,)i x i n ≥= 时，22111122()()()ni i i x nn x nn i i i i L x ex eθθθθθ=--==∑==∏∏两边取对数，得2211112121ln ()lnln lnln nnnni ii ii i i i L n x x n x x θθθθθ=====+-=+-∑∑∑∏两边求导，得221ln ()1nii d L n xd θθθθ==-+∑令ln ()0d L d θθ=，得211n i i x n θ==∑所以，θ的最大似然估计量为211ˆn i i X n θ==∑.（Ⅲ）存在a θ=.因为{}2n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211ˆnn i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ. 所以对于任何0ε>都有{}ˆlim 0nn Pθθε→∞-≥=.。
上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、 不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则 =--→xf x f x 2)1()31(lim0 （ ）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）64、xx x ee 1011lim+-→的极限为 （ ）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x --------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三 计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→ 计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。
