中考数学复习《圆的综合》专项综合练习含答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．

(1)如图(1),求证:AD∥BC；

(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；

(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129

【解析】

试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．

（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB， AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．

作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．

试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．

（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=12CN，∴AE=2DF．

（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．

∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=43，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43， AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AHHC=343．

作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=ACAP，∴3432129sin6032ACAP，∴⊙O的半径是129．

2．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．

（1）求证：AD=BD．

（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．

（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）239

【解析】

分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；

（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；

（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.

详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心

∴CI平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD

∴弧AD=弧BD

∴AD=BD

（2）AB=DI

理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=弧BD ∴∠DAB=∠BCD=60°

∵AD=BD

∴△ABD是等边三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠C

∵I是△ABC的内心

∴BI平分∠ABC

∴∠CBI=∠ABI

∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD

∴∠BID=∠IBD

∴ID=BD

∵AB=BD

∴AB=DI

（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧

∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD

∴∠AED=∠ACB=×120°=60°

∵圆的半径为2，DE是直径

∴DE=4，∠EAD=90°

∴AD=sin∠AED×DE=×4=2

∵点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度数为120°，

∴弧AM、弧BF的度数都为为40°

∴∠ADM=20°=∠FAB

∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°

∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=∠AI1D ∴AD=I1D=2

∴弧I1I2的长为：

点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.

3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；

（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．

试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DCDB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．

点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

4．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB． (1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;

(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，

求证:GF=GD;

(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1114.

【解析】

试题分析：（1）延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．由圆周角定理可得：∠AQB=∠ACB，再由等角的余角相等即可得出结论；

（2）证明△DFG是等边三角形即可；

（3）延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中， AH=5k．设NH=x，则AN=5k-x， AD=10k-2x．在△AQF中，

AF=k，AQ=2k，FQ=32k．由(2)知：△GDF是等边三角形，得到GD=GF=DF，进而得到AG=9k-2x．

OM=NH=x，BC=23x， GF=BC=23x．在△GQF中，GQ=AG+AQ=192k-2x，QF=32k，GF=23x，由勾股定理解出74xk，得到AG=9k-2x=112k，AR=2OB=4OM=4x=7k．在△GAR中，由sin∠ADG=sin∠R即可得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．

∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB=900．∵AD⊥BC，∴∠AHC=900．

∵弧AB=弧AB，∴∠AQB=∠ACB．

∵∠AQB+∠ABO=900，∠ACB+∠CAD=900

∴∠ABO=∠CAD

（2）证明：如图2，连接DF．

∵AG∥OB，∴∠ABO=∠BAG．∵∠ABO=∠CAD，∴∠CAD=∠BAG．

∵∠BAC=600，∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=600，即∠GAD=∠BAC=60°．∵∠BAD=∠CAF．∴∠CAF+∠CAD=600，∴∠GAD=∠DAF=600，∴∠DGF=∠DAF=60°．

∵弧GD=弧GD，∴∠GAD=∠GFD=600，∴∠GFD=∠DGF=600，∴△DFG是等边三角形，∴GD=GF．

（3）如图3，

延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．

∵AF：FE=1：9，∴设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中，∠E=300，∴AH=5k．

设NH=x，则AN=5k-x．∵ON⊥AD，∴AD=2AN=10k-2x

又在△AQF中，∵∠GAF=1200，∴∠QAF=600，AF=k，∴AQ=2k，FQ=32k．

由(2)知：△GDF是等边三角形，∴GD=GF=DF，

∵∠GAD=∠DAF=600，∴DP=DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD

∴FK=GP，AP=AK，∠ADK=300，∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG

∴AG=10k-2x-k=9k-2x．

∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM=NH=x．∵∠BOD=12∠BOC=∠BAC=600

∴BC=2BM=23x．∵∠BOC=∠GOF，∴GF=BC=23x

在△GQF中，GQ=AG+AQ=192k-2x，QF=32k，GF=23x

∵222GQFQGF

∴22219322322kxkx，

1271342xkxk，舍去．

∴AG=9k-2x=112k，AR=2OB=4OM=4x=7k，

在△GAR中，∠RGA=900，