函数图形的描绘曲率

经济数学知识点总结

一、函数与极限

1、 函数

11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数 x∈D，按照一定的法则 f，变量 y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。

112 函数的值域：函数值的集合。

113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝ φ(x)，则称 y ＝ fφ(x)为复合函数。

116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。对于

y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。

2、 极限

21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数 ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式 ｜xn A| ＜ ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作

lim(n→∞） xn ＝ A。

211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于

x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作 lim(x→x0) f(x) ＝ A 或 lim(x→∞）

f(x) ＝ A 。

212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。

二、导数与微分

1、 导数

11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 Δx （点 x0 ＋ Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 Δy ＝ f(x0 ＋ Δx) f(x0) ；如果 Δy 与 Δx 之比当 Δx→0

曲率曲率半径

第一篇：曲率曲率半径

曲率曲率半径

高中时期，做万有引力题时偶尔会出现非常规题，也就是行星的运动不是标准圆，而是椭圆。对于椭圆，万有引力公式是不能随便用，原因R不是我们所理解的r，而是曲率半径。当时以我们的知识更本无法求出R。问老师吧，得到的结果不是，这不在高考考查的范围内，不用深究；就是，这些题的关键就是求曲率半径，而曲率半径我们根本没有学，讲了你也听不懂，不要在这上面浪费时间了。人就是这样，越是得不到的东西越是想得到。那时我是多么想做出来证明自己的实力啊，可是就是没有人教，只剩下苦恼，郁闷。

现在已经知道了什么是曲率，怎么求曲率半径。下面仅作简述，希望拍砖！曲率

设曲线C;y=f(x)具有连续导数。曲线C是光滑的，点M,N在曲线C上，当动点M从移动到N时，切线转过的角度为||，弧段的长度为|s|。用比值|



|，即单位弧度上s的切线转过的角度大小来表示弧段平均弯曲程度，称为弧段的平均曲率，并记为，即



|s

当S趋近于0时，平均曲率的极限就是曲线C在M点的曲率，记作，即k|

k

Lim

||

s0s

|y，|

（注意：分子上是Y 关于曲率的求解过程就不再详细解出，只给出结果K

(1y.^2)

3的二阶导数，分母是Y的一阶导数）

曲率半径

设曲线在点处的曲率为K（K,><0）.过点M处的曲线的法线MN，在曲线凹的一侧取点C，使|MC|=

=R.以为圆心，为半径作圆，这个圆叫做曲线在点处的曲率圆，C就是圆K

^2

^2

心，R就是曲率半径。

椭圆|

ab

^2

^4

^4

^2

1或者是双曲线|

a

^2

^2

^21曲率半径表达式一致，^2

b

(a^4y^2b^4x^2)R

ab

^2(1);抛物线x2py，R

P

(如果对称轴在Y轴

上，只须将x换成y即可)。R的等式中的x，y均是要求点的坐标

第二篇：曲率 《曲率》说课稿

福州大学至诚学院数学教研室《高等数学》考研资料

1 第二章 导数与微分

一、考试大纲考试内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L’Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径

考试要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 福州大学至诚学院数学教研室《高等数学》考研资料

2 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数。当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.

9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

第一章 函数与极限

1.2-1.3 数列和函数的极限

一、 根据数列或函数极限的定义证明下列极限:

1. 0)1(lim2nnn； 2. 521532limnnn；

3. 224lim42xxx； 4. 0coslimxxx；

5. 证明11limxxx，并求正数X，使得当xX时，就有01.0|11|xx.

（X）

二、设}{nx为一数列.

1. 证明：若axnnlim，则||||limaxnn；

2. 问：(1)的逆命题“若||||limaxnn，则axnnlim”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例. （逆命题不成立。反例：(1)nnx。）

三、判断下列命题的正误：

1. 若数列}{nx和}{ny都收敛，则数列}{nnyx必收敛； （正确）

2. 若数列}{nx和}{ny都发散，则数列}{nnyx必发散； （错误）

3. 若数列}{nx收敛，而数列}{ny发散，则数列}{nnyx必发散。（正确）

四、证明：对任一数列}{nx，若axkk12lim且axkk2lim，则axnnlim.

五、证明：Axfx)(lim的充分必要条件是Axfx)(lim且Axfx)(lim.

六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：

1. limarctanxx，limarctanxx和 limarctanxx不存在

2. limsgn1xx，1limsgnxx和 limsgnxx不存在

3. 0limxxe，limxxe和limxxe不存在

七、证明：若)(lim0xfxx存在，则函数)(xf在0x的某个去心邻域内有界.

八、证明：函数)(xf当0xx时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即