含参变量有限积分的性质及应用
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重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用
院系数学与统计学院
专业数学与应用数学(师范)
姓名张杨府
年级 2009级
学号 ************
指导教师刘学飞
2011年6月
含参变量有限积分的性质及应用
张杨府
(重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班)
摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质,并且阐述了它在数学中的应用。
关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性
1 含参变量的有限积分的定义
设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤⨯≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在∀μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b
a f x u dx ⎰存在. ∀μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分(,)
b a f x u dx ⎰
.于是,积分(,)b a f x u dx ⎰是在定义区间的[α,β]函数,表为ϕ(μ)=
(,)b a f x u dx ⎰称为含参变量的有限积分, μ称为参变量.
2 含参变量有限积分的性质定理
定理1
如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤⨯≤β , α≤μ≤β)连续,则(,)f x μ函数ϕ(μ)= (,)b
a f x u dx ⎰在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运
算的顺序是可以交换的.
证明 ],[βα∈∀u ,取u ∆,使u +u ∆∈],[βα,有
)()(u u u ϕϕ-∆+=⎰-∆+b
a dx u x f u u x f )],(),([
|)()(u u u ϕϕ-∆+|≤⎰-∆+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续,即
0,0>∃>∀δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ∀∈-<-<
2211特别是 ε<∆∈∆+∀|:|),(),,(u R u u x u x
于是 0||>∆u ,
有 |)()(u u u ϕϕ-∆+|≤⎰-∆+b
a dx u x f u u x f |),(),(|a
b a b --<)(ε, 即函数)(u ϕ在区间],[βα连续。
定理2
如果函数(,)f x μ与
(,)f x μμ∂∂在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤) 连续,则函数ϕ(μ)= (,)b a f x u dx ⎰在区间[α,β]可导,且∀μ∈[α,β]有
(,)b a d f x dx d ϕμμμ∂=μ∂⎰()或(,)(,)b b a a d f x f x dx d μμμ
∂=μ∂⎰⎰ 简称积分号下可微。
该定理说明了被积函数及其偏导数在闭矩形上连续时,倒数与积分运算时可以交换次序的。 证明 ],[βα∈∀u ,取u ∆,使u u ∆+∈],[βα,有
)()(u u u ϕϕ-∆+=⎰-∆+b a dx u x f u u x f )],(),([. (1)
已知 u
f ∂∂在R 存在,根据微分中值定理,有 ),(),(u x f u u x f -∆+=u u u x f u ∆∆+),('θ, 10<<θ。
将它代入(1)式等号两端除以u ∆,有
u u u u ∆-∆+)
()(ϕϕ=⎰∆+b
a u dx u u x f ),('θ,10<<θ。
在上面等式等号两端减去
⎰b a u dx u x f ),(',有 |u
u u u ∆-∆+)
()(ϕϕ⎰-b a u dx u x f ),('| ≤⎰-∆+b a u u dx u x f u u x f |),(),(|''θ
由所学知,函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续,即
0,0>∃>∀δε,δ<∆∈∆+∀|:|),(),,(u R u u x u x ,
u u 从而,有 |u
u u u ∆-∆+)()(ϕϕ⎰-b
a u dx u x f ),('|)(a
b -≤ε 即0lim →∆u u
u u u ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰b a u dx u x f ),(' 或du d )(u ϕ=dx u u x f b a ⎰∂∂),(.
定理3
如果函数(,)f x μ在矩形域(,R a x b αμβ≤≤≤≤)连续,
则函数((,)b
a f x dx ϕμμ⎰)=在区间 [α,β] 可积,且
{(,)}{(,)}b b a a f x d f x dx ββαα
μμμ=⎰⎰⎰⎰简称积分号下可积。 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序。
定理4
若函数(,)x u f 与f μ
∂∂在矩形域R (,)a x b αμβ≤≤≤≤连续,而)(u a 与)(u b 在区间],[βα可导,],[βα∈∀u ,有
b u a a ≤≤)(, b u b a ≤≤)(,
则函数)(u ψ=⎰)
()(),(u b u a dx u x f 在区间],[βα可导,且
du d )(u ψ=dx u
u x f u b u a ⎰∂∂)()(),(+)(]),(['u b u u b f )(]),(['u a u u a f - 证明 ],[βα∈∀u ,设)(),(u b z u a y ==与⎰z
y dx u x f ),(=),,(u z y F 有
)(u ψ=⎰
)()(),(u b u a dx u x f =]),(),([u u b u a F 已知y F ∂∂,z F ∂∂,u
F ∂∂都是连续函数。则函数),,(u z y F 关于变量u 可导,有 )('u ψ=u F ∂∂+y F ∂∂du dy +z F ∂∂du
dz