第五章方阵的相似变换

48 习题十七 特征值与特征向量 相似矩阵

一、填空题：

1．n阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量 线性无关 ；若n,,,21是n阶方阵A的n个特征值，则nii1niiia1，nii1A。

2．已知三阶矩阵A的三个特征值分别为3,2,1，则A 6 ，1*)21(A 2/9 。

3．设A为n阶方阵，0Ax有非零解，则A必有一特征值为 0 。

4．假设n阶矩阵A的任意一行中n个元素之和都为a，则A有一特征值为a，对应于此特征值的一个特征向量是T1,,1,1。

5．若是可逆阵A的一个特征值，则*A有一特征值为A。

6．已知向量Tk)1,,1(是矩阵122212221A的一个特征向量，则k -2，1 。

二、求下列矩阵的特征值和特征向量：

1．122113221 2．324202423

解：0)3)(3(2AE， 解：,0)8()1(2AE

因此，3,3321。 因此,1,8321

当31时，解方程组0)3(XAE， 当81时，解方程组,0)8(XAE

,0001101014221432243AE

0002/1101015242824258AE

故属于31的特征向量为)0(,1,1,1kkT。 故属于81的特征向量为Tk2,1,2。

§3 相似矩阵

定义 设 为 阶方阵，若有 阶可逆方阵 ，使得

称 是 的相似矩阵， 与 相似，称 为对 进行相似变换。

相似是一种矩阵的等价关系，满足反身性、对称性、传递性。

定理 若 与 相似，则 与 有相同的特征值。

证 因 与 相似，故存在可逆方阵 ，使得 ，则

所以 与 有相同的特征值。

推论 若 与对角阵

相似，则 是 的所有特征值。

反之， 是 的所有特征值，则 不一定与对角阵

相似。这是由于 与对角阵需要有一定的条件：

定理 阶方阵 与对角阵相似的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。

证 设 与对角阵 相似，则存在可逆阵 使得

，记

则

从而 ，即 是 对应于特征值 的特征向量，并且由于 可逆，故 线性无关。

设 对应于所有特征值 的特征向量 线性无关，则

可逆，并且必有 ，即 与对角阵相似。

1 第五章：相似矩阵及二次型

本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。

3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。

4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。

5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。

§1 向量的内积、长度及正交性

内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式yyxxyx, ,,2；n 维向量x与y的夹角yxyx ,arccos；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A的n个列（行）向量构成向量空间 Rn 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。

重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。

§2 方阵的特征值与特征向量

内容：矩阵的特征值与特征向量；A

的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式nnnnnnaaaaaaaaaf212222111211； 2 若λ是 A 的特征值，则 也是A的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

§3 相 似 矩 阵

内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与

B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；

设n21，则有

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第五章 矩阵的特征值与特征向量

一．内容提要

1 . 特征值和特征向量

定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得

则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量

注意：1）是方阵；

2）特征向量 X 是非零列向量；

3）方阵 与特征值 对应的特征向量不唯一

4）一个特征向量只能属于一个特征值.

2．特征值和特征向量的计算

计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：

（1） 计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；

（2） 求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；

（3） 设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。 对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.

3． 特征值和特征向量的性质

性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；

（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；

（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；

（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0

为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。

性质2（1）

（2）

性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值

性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关

4. 相似矩阵