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020-1第五章拉普拉斯变换及收敛区

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拉普拉斯变换的定义、收敛域

拉普拉斯变换的定义、收敛域
0
第
4．tnu(t)
n st L t u ( t ) t e dt n 0
15 页
1 1 1 . 2 s s s
1 n st t e d( st ) s 0 t n st n n 1 st e t e dt 0 s s 0 n n 1 st t e dt s 0 n n n 1 t L t 所以 L s n1 1 0 1 L t L[t u (t )] L[u (t )] s s
主要内容
线性 原函数积分 s域平移 初值 卷积 对s域积分 原函数微分 延时（时域平移） 尺度变换 终值 对s域微分
第
17 页
第
一．线性
若 则 L f1 ( t ) F1 ( s ), L f 2 ( t ) F2 ( s ), K 1 , K 2为常数， LK 1 f1 ( t ) K 2 f 2 ( t ) K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
VL (s) L sI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
I L s

Ls
Li L 0
V L s
电感元件的s模型

三．原函数的积分
F (s) f L f ( τ ) d τ 若L f (t ) F ( s)，则 s
第
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：
FT: 时域函数f(t) 变量 t 频域函数 F ( j ) 变量
10 页
都是实数） （变量 t、
LT: 时域函数f(t)
变量 t t（实数）
复频域函数 F ( s)

[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK

[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK

0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2

第五章 拉普拉斯变换(1)

第五章 拉普拉斯变换(1)

ROC=R 保持不变
f (t − t0 )u(t − t0 )
t0
证明： LT [ f (t − t0 )u(t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )u(t − t0 )e dt = ∫ f (t − t0 )e− st dt
∞ − st ∞ 0 t0
令x = t − t0 , t = x + t0 LT [ f ( x)u( x)] = ∫ f ( x)e− s ( x+t0 ) dx
−1 1 1 ) F(S) = ( + S + jω S − jω 2 j
1 1 1 F(S) = ( + ) S + jω S − jω 2 S = 2 2 S +ω
ω = 2 2 S +ω
衰减余弦的拉氏变换
F 0 ( S ) = LT [cos ω t ] =
S
2
S +ω
2
f (t ) = e
e
at
cos ω 1 t
(a > 0)
u (t )e
at
−σt
e .e (σ > a ) −σt e cos ω 1t
−σ t
拉 普 拉 斯 正 变 换
因果
f1(t) = f (t)e
∞ 0
−σt
s =σ + jω
F1 (ω ) = ∫ f (t )e
∞
−(σ + jω )t
dt
F(s) = ∫ f (t)e dt
B： σ 大, e st 幅度变化快； 大，频率高。 w
C ：一对共轭复频率
σ ± jw 对应一个正弦振荡
振荡
或指数为包络线的正弦

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

§4.02 拉普拉斯变换的定义、收敛域

tn −st ∞ n ∞ n−1 −st e = + ∫ t e dt −s 0 s 0
n ∞ n−1 −st = ∫ t e dt s 0 n n−1 n 所以 L t = L t s n =1
[ ]
∞
[ ]
[ ]
L[t] = ∫ t ⋅ e dt
−st 0
[ ]
[ ]
1 ∞ t de−st = − s ∫0
X
第
Hale Waihona Puke 三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
1 −st ∞ 1 = e L[u(t)] = ∫ 1⋅ e dt = 0 0 s −s
∞ −st
9 页
2.指数函数
Le
[ ]=∫
α − t
∞
0
3.单位冲激信号
∞ 0
∞
1 e e e dt = = − (α + s) 0 α + s
α − t −st
−(α+s) t
n ! 所以 L t = n+1 s
n
[ ]
⋯ ⋯
X
∞ −∞
X
第
2．拉氏逆变换
F(σ + jω) = ∫ f (t) e
∞ −(σ +jω) t
4 页
f 对于 (t) e
F 是 (σ + jω)的 傅里叶逆变换 1 ∞ −σ t f (t) e = F(σ + jω) ejω tdω 2π ∫−∞ σt 两 同 以e 边 乘 1 ∞ f (t) = F(σ + jω) e(σ +jω)t dω 2π ∫−∞ 其中 s =σ + jω ; 若 取常数， ds = jdω : σ取常数， 则

无穷级数与拉普拉斯变换

无穷级数与拉普拉斯变换

例１１ 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 （１）； （２）； （３）． 解：（１）因为
所以该级数的收敛半径为 ． 又当时，级数为（－）是发散的，当时，级数为是收敛的，所以该 级数的收敛域为（，． （２）因为该幂级数缺少偶数次项，故不能直接用定理５.５．由 比值审敛法 当，即时，而当，即时，原幂级数绝对收敛，当，即时，原幂级数 发散，所以该级数的收敛半径为． 又当时，级数为是发散的，当时，级数为也是发散的，所以该级数 的收敛域为（，）． （３）设，则原幂级数化为的幂级数 因为 所以其收敛半径为 ． 于是，当，即 时，原幂级数绝对收敛． 又当时，级数为是收敛的，又当时，级数为是发散的，所以该级数 的收敛域为［， ．
要求通过学习，掌握级数的概念、性质以及级数收敛的条件，熟练 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，掌握交错级数收敛性的莱布 尼兹判别法，理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握幂级数的概念和运 算，熟悉常用函数的幂级数展开，并会用间接法将一些简单函数展成幂 级数，求出其收敛半径和收敛域，掌握傅立叶级数的概念和性质，会将 周期为的函数进行傅立叶级数展开，理解周期为的函数的傅立叶级数展 开，了解拉氏变换及其逆变换的概念和性质，并知道其在求解微分方程 和分析电路中的应用.
解： 所以 即原级数收敛，其和为．
例３ 判定级数的敛散性． 解： 所以 故该级数发散．
5.1.3 无穷级数的基本性质
可以证明，无穷级数具有下列基本性质（证明从略）： 性质１ 若级数收敛，且其和为，则级数（为常数）也收敛，且其
和为． 同理，若级数发散，且，则级数也发散． 由此说明，级数的每一项同乘一个非零常数后，其敛散性不变． 性质２ 若级数与都收敛，其和分别为与，则级数也收敛，且其和
若设 ， 则有 ．

§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域

§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域

>0,收敛域为S右半平面
收敛域为S平面>3的区域， 可表示为Re(s)>3的区域
X
第
说明
9
页
1.满 足 lim t
f
(t) e
t

0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
对于单边信号f(t),若存在一个0,使



0时,
有
lim
t
f (t )e t
0,
则 f (t) e σ在t > 0的全部范围内满足绝对可积,Laplace变换存在.
收敛轴
jω 收敛区
收敛域：使F(s)存在的s的区 域称为 收敛域。记为：
收敛坐标 σ0 O
ROC(region of convergence) σ (实际上就是拉氏变换存在的
条件)
X
例题
第 8
页
计算下列信号Laplace变换的收敛域:
1、u(t) u(t )
收敛域为全S平面
2、 u(t)
>0,收敛域为S右半平面
3、sin(0 t)u(t)
>0,收敛域为S右半平面
4、 t的 正 次 幂 信 号: tu(t ), t n u(t )
5、 指 数 信 号e 3t u(t )
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 10
页

拉普拉斯变换及反变换

F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
机械工程控制基础 二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在 变换式里。
机械工程控制基础 拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积 分上限也应为0-
t 0
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是为了解决傅里叶变换在收敛条件上的限制而提出的，通过对频率的含义进行扩充，使得大多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有用信号都能找到对应的频率域表达式。拉普拉斯变换与傅里叶变换有密切关系，可以说是傅里叶变换的推广。通过引入衰减因子e^(-σt)，使得原本不满足傅里叶变换收敛条件的信号变得可以变换。文档还介绍了一些常用函数的拉普拉斯变换，如阶跃函数、指数函数等。然而，对于特定的函数如1/t，其拉普拉斯变换可能涉及到更复杂的数学处理，包括考虑函数的定义域、积分是否存在等问题。因此，虽然文档没有直接给出1/t的拉普拉斯变换结果，但提供了理解该变换所需的基础知识和方法。

拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。

拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。

1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s 是一个复数，称为变换参数。

实际上，s 的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。

2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。

(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。

初值定理描述了原函数在t=0 时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t 趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0)sF(s)=lim_(t→∞)f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换定义与收敛域.ppt

f f(t()t)
（如指数信号
eeata(ta(a00) )
）都满足狄里赫利条件（信号
f f(t()t)
双边带Laplace变换
X
第 12 页
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其 双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。
实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时 刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的 积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉 普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域 分析主要使用单边拉普拉斯变换。
第 1 页
第4章 连续时间系统的复频域分析
•1.拉普拉斯变换的定义 •2.拉普拉斯变换的性质 •3.系统复频域零极点分析 •4.系统复频域稳定性分析
X
第 2 页
第1节 拉普拉斯变换定义
•1.引言 •2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换 •3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域) •4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系
直线的右边区域，可表示为 Re[ s] 0
X
第 20
常用信号的单边拉普拉斯变换-1 页
X
第 21
常用信号的单边拉普拉斯变换-2 页
X
第 22
常用信号的单边拉普拉斯变换-3 页
X
第 23
单边拉普拉斯变换对-1 页
X
第 24
单边拉普拉斯变换对-2 页
X
第 25
单边拉普拉斯变换对-3 页
4 页
Fourier变换的局限性：
1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件 （信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；
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4一.既个不幅在度实按轴照又指不数在规虚律轴变上换的的点正每弦一振对荡互左为半共平轭面的，点衰，减都对应est est est
4.既不在实轴又不在虚轴上的点每一对互为共轭的点，都对应 一个幅度按照指数规律变换的正弦振荡 左半平面，衰减
左半平面的点对应幅度按指数律衰减的正弦振荡 右半平面的点对应幅度按指数律增长的正弦振荡
在傅里叶变换中一对 e jt , e jt 合成一个
实信号，代表的是一个正弦分量；
在拉普拉斯变换中的一对 est , est 也应
合成一个实信号。那么，它代表的是一个什么 分量呢？
3、est的义
复平面
s j
est et e j est =et
s实部 反映指数函数est幅度变换的速率 虚部反映指数函数中因子e jt作周期变化的频率
2 j j
1.工程技术中所遇到的激励信号与系统响应大 都为有始函数
2.积分下限为何取为0-，考虑激励与响应中在 原点存在冲激函数或其各阶导数的情况，所 以积分区间应包括时间零点在内
3.反变换，S包含的w从-无穷到+的各个分量， 所以积分区间不变
§5.2 拉普拉斯变换
2、拉普拉斯变换的物理意义
的观点定义的，我们将从信号分析的角度出发 ，由傅里叶变换推广到拉普拉斯变换
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当
︱t︱→∞ 时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上 一个衰减因子e-σt，则 就可能符合绝对可积条件 ，因而其傅里叶变换存在。
§5.2 拉普拉斯变换
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换的物理意义 （理解 est）
3、复平面上不同的点所对应的 est
B2
B1
C2
C1
A1
A2
C1*
C2*
s实部 反映指数函数est幅度变换的速率 虚部反映指数函数中因子e jt作周期变化的频率
s j
1.复频率s可以表示用复平面来表示，横轴为实轴，纵轴jw为虚轴
2.复平面上不同位置的点对应了不同的s值，因此也对应了指数
函数 e st
§5.2 拉普拉斯变换
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 f (t) f (t)e－ t
F f (t)et
f
(t )e t
e
j
tdt
f (t)e( j)t dt
令s j
f (t)estdt
拉普拉斯正变换：F (s) L[ f (t)] f (t)estdt
§5.2 拉普拉斯变换
规律：点的位置离虚轴越远， 的绝对值越大，所对应的函数
增长或者衰减的速率越大 est est est
3.在复平面虚轴上的点。出现了负频率的形式，注意是形式。 与第三章中所讲一样，只是用指数分量来表示信号的一种数学 形式。 第三章中在傅里叶变换中一对 +-jw的指数函数可以合成一个
正弦分量；e jt + e jt =2cost
共轭点离虚轴的远近，决定幅度变换的快慢 共轭点离实轴的远近，决定振荡频率的高低
2 j j
§5.2 拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换
f (t) F(s)
象函数
FD (s)
f (t)estdt
原函数
f (t) 1
2 j
j j
FD
(
s)est
ds
更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
f (t) L1[F (s)] [ 1 j F (s)estds] (t)
反变换：
F f (t)et F(s)
f
(t)e t
[
F1
(
s)]
F (s)e j td
2
f (t) 1 F (s)e( j)td
2
1 j F (s)estds
2 j j
s j
d 1 ds
j
s : j, j
拉普拉斯反变换：f (t) L-1[F (s)] 1 j F (s)estds
解决方法： 引入e－（t 0）因子与信号f (t)相乘 衰减因子
f (t) f (t)e－t 一定满足绝对可积的条件
频域中的 傅里叶变换
推广
复频域中的
拉普拉斯变换
第五章 主要内容
拉普拉斯变换与反变换 线性系统的拉斯变换分析法 线性系统的模拟(方框图) 信号流图与梅森公式
§5.2 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换在数学中是直接从积分变换
怎么对应法？ est et e j , est =et
s实部 反映指数函数est幅度变换的速率 虚部反映指数函数中因子e jt作周期变化的频率
具体分析复平面上的点 1. 原点 对应不随时间变化的常数
2.在复平面实轴上的点。这些点w=0,所以每一点都对应一个指
数函数—随时间按指数规律作单调增长或衰减的指数函数e t
第五章 连续时间系统的复频域分析
傅里叶变换的局限性
1、有些信号非绝对可积，傅里叶变换不存在； f (t) et (t), 0
2、反变换是复变函数的广义积分，难以计算，
甚至求不出； f (t) 1 F( j)e jtd
2
3、用傅里叶变换可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。
第五章 连续时间系统的复频域分析
F : f (t) 1 F ( j)e jtd是将信号分解为无穷
2 多个e jt分量，每个分量的幅度为 1 F ( j)d
2
L : f (t) 1 j F (s)estds是将信号分解为无穷
2 j j
多个est分量，每个分量的幅度为 1 F (s)ds
2 j
s常称为复频率 , 因此拉普拉斯变换分析法常称为 复频域分析法
第五章 连续时间系统的复频域分析
§5.1 引言
e(t)
H []
rzs (t) e(t) * h(t)
e(t) E()
Rzs () E() H () rzs (t) F1 Rzs ()
h(t) H()
傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引入了信号 频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。
在拉普拉斯变换中的一对共轭复频率的指数也可以合成
est est e jt e jt et 2cos t
P209任一函数表示为指数函数之和时，其复频率一定是共轭成 对出现的，所以时间上并不存在负频率的变幅正弦分量
3.在复平面虚轴上的一对互为共轭的点，对应等幅的正弦振荡， 且共轭点里实轴越远，相应的振荡频率愈高