第5章 拉普拉斯变换

4） e2tu (−t) + e3tu (−t)
5） te−2 t
6） 5e−0.3tu(t − 2)
8） te−2t u (t )
10） e−2tu (t + 1)
12）δ (3t) + u (3t)
14）
x
(t
)=1 0来自0≤t ≤1 other
答
5） (t2 + 1)u(t − 1)
7） t e2tu (−t )
解：
y(t) = 4(e−t − e−2t )u(t)
5-2-16 已知 LTI 系统的输入信号 x(t) 的拉普拉斯变换 X (s) = s + 2 , x(t) = 0 ， (t > 0)， s−2
系统输出 y(t) = − 2 e2tu(−t) + 1 e−tu(t) 。
3
3
1）求系统函数 H (s) ，并确定其收敛域；
<
−2
= 9） F (s)
s2 − s +1
(s + 1)2
,σ
>
−1
7
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
10） F (s)= 1 − e−2s s s +1
f (t) = u(t) − e−(t−2)u(t − 2)
11）
F(s)
=
s2e−2s + e−3s s(s2 + 3s + 2)
11
第五章 拉普拉斯变换 解：
第 5 章 习题参考答案
5-2-9 某一 LTI 系统的系统函数 H ( s) 的零、极点分布如题图 5-2-1 所示：
Im
-2 -1

0 1 as s e F a a
t
பைடு நூலகம்
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
求如图信号的单边拉氏变换. 例1:求如图信号的单边拉氏变换. 求如图信号的单边拉氏变换 解:f1(t) = ε(t) –ε(t-1),f2(t) = ε(t+1) –ε(t-1) ε , ε 1 F1(s)= (1 es ) s F2(s)= F1(s)
第5-4页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 解
5.1 拉普拉斯变换
因果信号f 求其拉普拉斯变换. 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ,求其拉普拉斯变换.
e ( s α )t ∞ 1 F1b ( s) = ∫ eαt e st d t = = [1 lim e (σ α )t e jω t ] 0 0 t →∞ (s α ) (s α ) 1 s α , Re[ s ] = σ > α jω = 不定 , σ =α 无界 , σ <α
F ( s) = 1 e sT
st
+e
2 st
+e
3 st
+ )
特例: 特例:δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-13页 13页
■
湖南人文科技学院通信与控制工程系
信号与系统 已知f 例2:已知 1(t) ←→ F1(s), 已知 求f2(t)←→ F2(s)
5.2
拉普拉斯变换性质
∞
可见,对于因果信号, 可见,对于因果信号,仅当 Re[s]=σ>α时,其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示. 在. 收敛域如图所示.
0
α
σ
收敛边界
第5-5页

2
w p
2
e
- pt
co s w t
0
w p
+
ò
sin w te
0
- pt
dt
=
-
w p
2 2
L [sin w t ] w
L [sin w t ] =
p + w
2
2
•
⑥
L [co s w t ] =
p p + w
2 2
• 证明：
轾 iw t 1 L [co s w t ] = L 犏 ( e + e 犏 2 臌 1 轾 + ? iwt = 犏 蝌 e e 2 犏0 臌
5.1.定义和性质.
• 5.1.1 定义
• 定义：设函数f(t),当t>0时有定义，而且积分 •
+ - pt
ò
f (t )e
0
dt
（其中p是复参量）
• 在p的某一域内收敛，积分所得为p的函数，记为
+
•
F ( p) =
ò
f (t ) e
0
- pt
dt
（定义式） （5-1）
• 则称式（5-1）为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏 变换），积分式可记为 •
L [ f '( t )] = p F ( p ) f (0 )
• 则有
（5-16）
• 证明：由定义
t?
L [ f '( t ) =
蝌
0
f '( t ) e
- pt + 0
- pt
dt =
0 +
e
- pt
d [ f ( t )] dt

《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s