2017年全国卷高考数学复习专题——双曲线及其性质

2017年全国卷高考数学复习专题——

双曲线及其性质

考点一 双曲线的标准方程

1.(2014天津,5,5分)已知双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )

A.𝑥25-𝑦220=1 B.𝑥220-𝑦25=1 C.3𝑥225-3𝑦2100=1 D.3𝑥2100-3𝑦225=1

答案 A

考点二 双曲线的几何性质

2.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B.3 C. 3m D.3m

答案 A

3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,双曲线C2的方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1,C1与C2的离心率之积为 32,则C2的渐近线方程为( )

A.x± 2y=0 B. 2x±y=0

C.x±2y=0 D.2x±y=0

答案 A

4.(2014广东,4,5分)若实数k满足0

A.焦距相等 B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等 D.离心率相等

答案 A

5.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为( )

A.43 B.53 C.94 D.3

答案 B

6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )

A.14 B.13 C. 24 D. 23

答案 A 7.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与𝑦24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为

;渐近线方程为

.

答案 𝑥23-𝑦212=1;y=±2x

8.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .

答案 52

9.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.

(1)求双曲线E的离心率;

(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.

解析 解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以𝑏𝑎=2,

所以 𝑐2-𝑎2𝑎=2,

故c= 5a,

从而双曲线E的离心率e=𝑐𝑎= 5.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为𝑥2𝑎2-𝑦24𝑎2=1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,

则|OC|=a,|AB|=4a,

又因为△OAB的面积为8,

所以12|OC|·|AB|=8,

因此12a·4a=8,解得a=2,

此时双曲线E的方程为𝑥24-𝑦216=1.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为𝑥24-𝑦216=1.

以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:𝑥24-𝑦216=1也满足条件.

设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,

则C -𝑚𝑘,0 .记A(x1,y1),B(x2,y2).

由 𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑦=2𝑥得y1=2𝑚2-𝑘,同理得y2=2𝑚2+𝑘.

由S△OAB=12|OC|·|y1-y2|得,

12 -𝑚𝑘 · 2𝑚2-𝑘-2𝑚2+𝑘 =8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

由 𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥24-𝑦216=1得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因为4-k2<0,

所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),

又因为m2=4(k2-4),

所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为𝑥24-𝑦216=1.

解法二:(1)同解法一.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为𝑥2𝑎2-𝑦24𝑎2=1.

设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

依题意得-12

由 𝑥=𝑚𝑦+𝑡,𝑦=2𝑥得y1=2𝑡1-2𝑚,同理得y2=-2𝑡1+2𝑚.

设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0). 由S△OAB=12|OC|·|y1-y2|=8,

得12|t|· 2𝑡1-2𝑚+2𝑡1+2𝑚 =8,

所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).

由 𝑥=𝑚𝑦+𝑡,𝑥2𝑎2-𝑦24𝑎2=1得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.

因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,

即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,

即(1-4m2)(a2-4)=0,

所以a2=4,

因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为𝑥24-𝑦216=1.

解法三:(1)同解法一.

(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

依题意得k>2或k<-2.

由 𝑦=𝑘𝑥+𝑚,4𝑥2-𝑦2=0得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,

因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=-𝑚24-𝑘2,

又因为△OAB的面积为8,

所以12|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=45,

所以25 𝑥12+𝑦12· 𝑥22+𝑦22=8,化简得x1x2=4.

所以-𝑚24-𝑘2=4,即m2=4(k2-4).

由(1)得双曲线E的方程为𝑥2𝑎2-𝑦24𝑎2=1,

由 𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥2𝑎2-𝑦24𝑎2=1得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,

因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,

即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,

所以双曲线E的方程为𝑥24-𝑦216=1. 当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:𝑥24-𝑦216=1有且只有一个公共点.

综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为𝑥24-𝑦216=1.

10.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:𝑥2𝑎2-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:𝑥0x𝑎2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N.

证明:当点P在C上移动时,|𝑀𝐹||𝑁𝐹|恒为定值,并求此定值.

解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c= 𝑎2+1,

直线OB的方程为y=-1𝑎x,直线BF的方程为y=1𝑎(x-c),解得B 𝑐2,-𝑐2𝑎 .

又直线OA的方程为y=1𝑎x,则A 𝑐,𝑐𝑎 ,kAB=𝑐𝑎- -𝑐2𝑎

𝑐-𝑐2=3𝑎.又因为AB⊥OB,所以3𝑎· -1𝑎 =-1,解得a2=3,

故双曲线C的方程为𝑥23-y2=1.

(2)由(1)知a= 3,则直线l的方程为𝑥0x3-y0y=1(y0≠0),

即y=𝑥0x-33𝑦0.

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M 2,2𝑥0-33𝑦0 ;

直线l与直线x=32的交点为N 32,32𝑥0-33𝑦0 ,

则|𝑀𝐹|2|𝑁𝐹|2=(2𝑥0-3)2(3𝑦0)214+ 32𝑥0-3 2(3𝑦0)2=(2𝑥0-3)29𝑦024+94(𝑥0-2)2

=43·(2𝑥0-3)23𝑦02+3(𝑥0-2)2. 因为P(x0,y0)是C上一点,则𝑥023-𝑦02=1,代入上式得

|𝑀𝐹|2|𝑁𝐹|2=43·(2𝑥0-3)2𝑥02-3+3(𝑥0-2)2=43·(2𝑥0-3)24𝑥02-12𝑥0+9=43,

所求定值为|𝑀𝐹||𝑁𝐹|=2 3=2 33.