概率论与数理统计3.5两个随机变量的函数的分布

则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)

解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,


f x, y d 1.

y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以


f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2

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例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)

i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
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(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～

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第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.1 边际分布函数
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则
X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
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第三章 多维随机变量及其分布
第30页
3.2.2 边际分布列
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
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第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。