北京师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

北京师范大学附属实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试生物试题第I卷一、选择题（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意要求的。

共40分，每小题1分。

）1. 碳元素是构成细胞的最基本元素，对此最有说服力的解释是（）A. 碳在细胞的各种化合物中含量最多B. 碳在自然界中含量最为丰富C. 细胞的各种化合物中都含有碳D. 碳链构成了有机物的基本骨架2．水稻从土壤中吸收的N可用来合成（）A．蛋白质和核酸B．淀粉和纤维素C．葡萄糖和DNAD．麦芽糖和脂肪酸3.下列物质的化学本质不．是蛋白质的是（）A. 抗体B. 唾液淀粉酶C. 胰岛素D. 纤维素4．若组成蛋白质的氨基酸的平均分子量是130，那么一个由4条肽链共280个氨基酸所组成的蛋白质其分子量是（）A. 31486B. 31432C.31378D.363825．下列组合中，属于生物大分子的是（）A.蛋白质、核苷酸、氨基酸B.多肽、葡萄糖、脂肪C.蛋白质、核酸、脂肪D.氨基酸、核苷酸、脂肪酸6．植物细胞和动物细胞共有的糖类物质是（）A．麦芽糖和乳糖 B．纤维素和蔗糖C．糖原和淀粉 D．葡萄糖和核糖7．下列物质中，作为生命活动的体现者、遗传信息的携带者、膜结构基本支架的依次是（）A．糖类，脂类、核酸 B．蛋白质、核酸、磷脂C．蛋白质、糖类、核酸 D．蛋白质、磷脂、核酸8.下列对脂质的表述中，不．正确的是（）A. 主要由碳、氢、氧元素构成的的生物分子B. 具有极性因此都溶于水C. 构成细胞膜的主要成分的磷脂就是脂质的一种D. 脂肪、性激素和V D都属于脂质9.检验苹果中是否有还原性糖，可以选用的试剂是（）A. 碘液B. 苏丹Ⅲ染液C. 本尼迪特试剂D. 双缩脲试剂10．下列关于生物膜的叙述，不．正确的是（）A．生物膜是对细胞内所有细胞器膜的统称B．各种生物膜的化学组成和结构相似C．膜的组成成分可以从内质网膜转移到高尔基体膜，再转移到细胞膜D．生物膜既各司其职，又相互协作，共同完成细胞的生理功能11．在不损伤植物细胞内部结构的情况下，能去除细胞壁的物质是（）A．蛋白酶 B．淀粉酶 C．盐酸 D．纤维素酶12．可以与细胞膜形成的吞噬泡融合，消化掉吞噬泡内物质的细胞器是（）A.线粒体 B.内质网 C.高尔基体 D.溶酶体13．细胞核中携带遗传信息的是（）A．核膜 B．核孔 C．染色质 D．核仁14. 唾液腺细胞中参与合成、分泌淀粉酶的细胞器有（）A．线粒体、中心体、高尔基体、内质网B．内质网、核糖体、叶绿体、高尔基体C．核糖体、内质网、高尔基体、线粒体D．内质网、核糖体、高尔基体、中心体15.人成熟的红细胞和精子的寿命都很短。

2015-2016学年河南省北大附中分校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°2．（5分）已知数列{a n}满足，则a6+a7+a8+a9=（）A．729 B．367 C．604 D．8543．（5分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，则通项公式a n=（）A．2n﹣1 B．2n+1 C．3n+1 D．4n+14．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}满足，且m＞1，则a1+a2m﹣1=（）A．10 B．9 C．2 D．36．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，，则a6的值是（）A．8 B．4 C．16 D．7．（5分）等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5+a6=（）A．3 B．6 C．9 D．368．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．9．（5分）已知S n表示等差数列{a n}的前n项和，且=，那么=（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形11．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=（）A．36 B．32 C．24 D．2212．（5分）若正项数列{a n}满足a1=2，a n+12﹣3a n+1a n﹣4a n2=0，则{a n}的通项a n=（）A．a n=22n﹣1 B．a n=2n C．a n=22n+1D．a n=22n﹣3二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=．14．（5分）已知有穷等差数列{a n}中，前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，那么此等差数列的项数为．15．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=，且a1+a3+…+a199=180，则a2+a4+…+a200=．16．（5分）已知等差数列{a n}、{b n}前n项的和分别是S n、T n，若=，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．18．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3+a5=﹣12，且a1a3a5=80，求数列{a n}的通项公式．19．（12分）已知数列{a n}满足，，（1）当时，求证{}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC+asinC ﹣b﹣c=0①求角A的大小；②若a=2，△ABC的面积为，求b、c的值．21．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．2015-2016学年河南省北大附中分校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°【解答】解：∵知a=5，c=10，A=30°根据正弦定理可知∴sinC═=∴C=45°或135°B=105°或15°故选：D．2．（5分）已知数列{a n}满足，则a6+a7+a8+a9=（）A．729 B．367 C．604 D．854【解答】解：∵=S n，则a6+a7+a8+a9=S9﹣S5=93﹣53=604．故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，则通项公式a n=（）A．2n﹣1 B．2n+1 C．3n+1 D．4n+1【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．则通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a2+c2﹣b2）tanB=ac，∴2ac•cosB•tanB=ac，∴sinB=，∴由正弦定理可得：=sinB=，故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}满足，且m＞1，则a1+a2m﹣1=（）A．10 B．9 C．2 D．3【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，则a m﹣1+a m+1=2a m，则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0，解得：a m=1，∴a1+a2m﹣1=2a m=2．故选：C．6．（5分）已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，，则a6的值是（）A．8 B．4 C．16 D．【解答】解：∵，a1=1，a2=2，∴，∴数列{}是以1为首项，以3为公差的等差数列由等差数列的通项公式可得∴∵a n＞0∴a6=4故选：B．7．（5分）等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5+a6=（）A．3 B．6 C．9 D．36【解答】解：在等差数列{a n}中，由a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，得（a 1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=30，即5（a5+a6）=30，∴a5+a6=6．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．9．（5分）已知S n表示等差数列{a n}的前n项和，且=，那么=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得=，因为在等差数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q．所以，即a1=3d．那么==．故选：B．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【解答】解：∵acosA+bcosB=ccosC，由正弦定理可得：sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，∴sin2A+sin2B=sin2C，和差化积可得：2sin（A+B）cos（A﹣B）=2sinCcosC，∴cos（A﹣B）=﹣cos（A+B），2cosAcosB=0，∴cosA=0或cosB=0，得A=或B=，∴△ABC是直角三角形．故选：D．11．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=（）A．36 B．32 C．24 D．22【解答】解：由等比数列的性质可知，∴∴a5=2∴b5=2a5=4则S9==9b5=3612．（5分）若正项数列{a n}满足a1=2，a n+12﹣3a n+1a n﹣4a n2=0，则{a n}的通项a n=（）A．a n=22n﹣1 B．a n=2n C．a n=22n+1D．a n=22n﹣3【解答】解：由a n+12﹣3an+1a n﹣4a n2=0得（（a n+1﹣4a n）（a n+1+a n）=0{a n}是正项数列∴a n+1﹣4a n=0，，由等比数列定义，数列{a n}是以2为首项，以4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式得，a n=2×4n﹣1=22n﹣1．故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：：2．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．14．（5分）已知有穷等差数列{a n}中，前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，那么此等差数列的项数为6．【解答】解：由题意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①并且a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=156，…②由等差数列的性质可知①+②可得：4（a1+a n）=280，所以a1+a n=70．由等差数列的前n项和公式可得：=210，所以解得n=6．15．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=，且a1+a3+…+a199=180，则a2+a4+…+a200= 60．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q=，且a1+a3+…+a199=180，则a2+a4+…+a200=q（a1+a3+…+a199）=180=60，故答案为：60．16．（5分）已知等差数列{a n}、{b n}前n项的和分别是S n、T n，若=，则=．【解答】解：在等差数列{a n}、{b n}中，由=，得===．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：218．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3+a5=﹣12，且a1a3a5=80，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=﹣12，且a1a3a5=80，∴，解得a 3=﹣4，d=±3．∴a n=a3+（n﹣3）d=3n﹣13或﹣3n+5．因此a n=3n﹣13或﹣3n+5．19．（12分）已知数列{a n}满足，，（1）当时，求证{}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：∵，∴a n﹣=（a n﹣），+1又∵，∴a n﹣≠0，∴数列{}是公比为的等比数列；（2）解：由及（1）可知，a n﹣=（﹣）•=，∴a n=+．20．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC+asinC ﹣b﹣c=0①求角A的大小；②若a=2，△ABC的面积为，求b、c的值．【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°，（2）由S=bcsinA=⇔bc=4，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，∴b+c=4，解得：b=c=2．21．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．22．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q ，由得，所以，由条件可知q＞0，故．由2a1+3a2=1得．故数列{a n}的通项式为a n =．（2）=n•3n ，，，两式相减得，所以．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

宇华教育集团2015-2016学年上学期抽考试卷高二数学考试时间 l20分钟 满分l50分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在△ABC 中，已知三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若B=4π，b=2，，则△ABC 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定2、已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前三项的和S 3的取值范围是 ( )A ．(-∞，-l]B ．(-∞，-l)(1，+∞)C ．[3，+∞) D(-∞，-l][3，+∞)3、下列四个命题，正确的命题为 ( )p 1：sin sin x y = x y π+=或x y =； p 2：22,sin cos 122x x x R ∀∈+=；A ．0 B ．1 C ．2 D ．p 3：,,cos()cos cos x y R x y x y ∀∈-=-； p 4：[0,cos 2x x π∀∈= A ．p 2，p 4 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 34、函数f(x)=lnx+ax 存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a 的取值范围( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，2)C ．(2，+∞)D ．(0，+∞)5、对于数列{a n }，“a n+1>|a n |(n ∈N*) ”是“{a n }为递增数列”的 ( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6、等比数列{ a n }中，a 1=2，a 8=4，函数f(x)=x(x-a 1)(x-a 2)…(x-a 8)，则f ’(0)=A ．26B ．29C ．212D ．2157、已知a>b>c ，若11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 ( ) A ．3 B ． 4 C ． 5 D ．68、以下命题中，真命题的个数是 ( )(1)三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；(2)若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线；(3)若a 、b 是两个不共线的向量，而c =λa +μb (,λμ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c}构成空间的一个基底．A ． 0B ．1C ．2D ． 39、设x ∈(1，+∞)，在函数()ln x f x x=的图象上，过点P(x ，f(x))的切线在y 轴上的截距为b ，则b 的最小值为 ( ) A ． e B ．2e C ．22e D ．24e10、已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z=2x+y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ． 4D ．12- 11、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上横坐标不相等的两点， 若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是(4，0)，则|AB|的最大值为 ( )A ． 10B ．6C ．4D ．212、已知椭圆C 1：22117x y +=，双曲线C2：22221x y a b-= (a>0，b>0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ． 4 BCD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡的相应位置．)13、在△ABC 中，已知三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为 .14、已知点A(0，2)，抛物线C ：y 2=ax(a>0)射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于N ，若|FM|：|MN|=1a 的值等于 .15、观察下列数表1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，……设1027是该表第m 行的第n 个数，则m+n=16、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a l =a 2=1，{nS n +(n+2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式an=三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、(10分)若命题“2[1,),22x x ax a ∀∈-+∞-+≥”是真命题，求实数a 的取值范围．18、(12分)在△A BC 中，已知三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a 2-2bccos A=(b+c)2．(1)求角A 的大小；(2)若sinB+sinC=1，b=2，求△ABC 的面积．19、(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1=2，a n =a n+12+4a n+1+2(1)令b n =log 2(a n +2)，证明：数列{b n }是等比数列；(2)设c n =nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．20、(12分)如图，梯形ABCD 中，DC//AB ，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC 中，AEFC ⊥平面ABCD ，点G 是线段EF 的中点．(1)求证：AG ⊥平面BCG(2)求二面角D —GC —B 的余弦值．21、(12分)已知函数322()(1)21,3f x ax a bx x a R =+--+∈． (1)当b=1时，讨论函数y=f(x)的单调区间；(2)若a=2，且函数y=f(x)在(1，2)上存在增区间，求实数b 的取值范围．22、(12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y=kx+a(a>0)交于M ，N 两点． (1)当k=0时，分别求C 在M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN?并说明理由．。

2015-2016学年北京市丰台实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）2．（4分）向量，向量，且满足向量，则k等于（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣23．（4分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（4分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm25．（4分）一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π6．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+7．（4分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．48．（4分）如图，空间四边形ABCD中，“AC=AD”“BC=BD”则AB与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（4分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．（4分）已知向量=（2，2，1），=（3，5，3），则|2﹣|=．12．（4分）已知圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为．13．（4分）如右图，三棱锥A﹣BCD中，所有棱长都为2，点E、F分别是AB，AD中点，则=．14．（4分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1且与椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长12，则m的值为．15．（4分）已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为．16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A1﹣BCD，则四面体A1﹣BCD的体积的最大值为，此时A1C与平面A1BD所成的角为．三、解答题（本大题共4小题，共36分）．17．（8分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB中点，E，F分别为A1D，A1C 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ABB1A1．18．（9分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC、AB的中点（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（9分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若E为AB中点时，求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．20．（10分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，且过点A（0，1），离心率为，设直线方程为y=x+m．（Ⅰ）求椭圆标准方程（Ⅱ）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（Ⅲ）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．2015-2016学年北京市丰台实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（0，﹣4），（0，4）D．（0，﹣3），（0，3）【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，且a=5，b=3∴=4∴椭圆的焦点坐标是（﹣4，0），（4，0）故选：B．2．（4分）向量，向量，且满足向量，则k等于（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣2【解答】解：∵，∴2×4+2+3k=0，解得：k=﹣，故选：C．3．（4分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．4．（4分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2【解答】解：由几何体的三视图，我们可得：底面直径为6，底面半径为3圆锥的母线长为5，故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π故选：C．5．（4分）一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r==，所以这个球的表面积：4πr2=6π．故选：B．6．（4分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选：A．7．（4分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k=4．故选：D．8．（4分）如图，空间四边形ABCD中，“AC=AD”“BC=BD”则AB与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：空间四边形ABCD中，取CD中点O，连结BO、AO，∵AC=AD，BC=BD，∴BO⊥CD，AO⊥CD，∵BO∩AO=O，∴CD⊥平面AOB，∵AB⊂平面AOB，∴CD⊥AB，∴AB与CD所成的角为90°．故选：D．9．（4分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．（4分）已知向量=（2，2，1），=（3，5，3），则|2﹣|=．【解答】解：∵向量=（2，2，1），=（3，5，3），∴=（4，4，2）﹣（3，5，3）=（1，﹣1，﹣1），|2﹣|==．故答案为：．12．（4分）已知圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为2π．【解答】解：∵圆柱的轴截面是面积为4的正方形，∴圆柱的底面半径为1，高为2．∴圆柱的体积V=π×12×2=2π．故答案为：2π．13．（4分）如右图，三棱锥A﹣BCD中，所有棱长都为2，点E、F分别是AB，AD中点，则=1．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，所有棱长都为2，点E、F分别是AB，AD中点，∴EF∥BD，且EF==1，∠DBC=60°，∴=||•||•cos＜＞=1×2×cos60°=1．故答案为：1．14．（4分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1且与椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长12，则m的值为±3．【解答】解：∵直线过F1且与椭圆于P、Q两点，且△PQF2的周长12，故4a=12，即a2=9，即m2=9，解得：m=±3，故答案为：±315．（4分）已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为8．【解答】解：由题意知，此三棱柱为正三棱柱，由三视图得底面三角形边长为4，棱柱的高为2，∴棱柱的体积V=×4×4××2=．故答案是：8．16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A1﹣BCD，则四面体A1﹣BCD的体积的最大值为，此时A1C与平面A1BD所成的角为45°．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，由BD⊥CD，平面A1BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A1BD，∴CD⊥A1B，CD⊥A1D，∵A1D=CD，∴△A1CD为等腰直角三角形，∴∠A1DC=45°，则A1C与平面A1BD所成的角为45°，又由AB=AD，BD=，∵四面体A1﹣BCD的体积V=CD•S==△A1BD故答案为：，45°三、解答题（本大题共4小题，共36分）．17．（8分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB中点，E，F分别为A1D，A1C 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ABB1A1．【解答】（本小题满分8分）证明：（Ⅰ）连结DC，在△A1DC中，E、F分别是A1D、A1C的中点，∴EF∥DC，又∵DC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，DC⊂平面ABC，∴DC⊥A1A，在正三棱锥ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵AA1∩AB=A，AA1⊂平面AA1BB1，AB⊂平面AA1BB1，∴CD⊥平面ABB1A1，∵EF∥CD，∴EF⊥平面ABB1A1．18．（9分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC、AB的中点（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接AG，GE．∵△PAD中，G，E分别为PD，PC的中点，∴GE∥CD，GE=CD，∵E、F分别为PC、AB的中点∴AF∥CD，AF=CD，∴AF∥GE，AF=GE，∴AEFG为平行四边形，∴EF∥GA，∵EF⊄面PAD，PA⊂面PAD，∴EF∥面PAD．（Ⅱ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD ⊥面PAD，∵PA⊂面PAD，∴CD⊥PA，∵∠APD=90°，∴PA⊥PD，∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD；（Ⅲ）取AD中点O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．∵AD=2，∴PO=1，∴V=PO×AB×AD=．19．（9分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若E为AB中点时，求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．【解答】（本小题满分9分证明：（Ⅰ）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），设E（1，m，0），（0≤m≤1），=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1），=﹣1+0+1=0，∴DA1⊥ED1．解：（Ⅱ）E为AB中点时，E（1，，0），=（0，﹣1，1），=（1，﹣，0），设平面CED1的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，2），平面CED的一个法向量=（0，0，1），设二面角D1﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为．（Ⅲ）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在点A处．20．（10分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，且过点A（0，1），离心率为，设直线方程为y=x+m．（Ⅰ）求椭圆标准方程（Ⅱ）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（Ⅲ）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵椭圆中心在原点，焦点在y轴上，且过点A（0，1），离心率为，∴a=1，=，∴c=，∴b=，∴椭圆的标准方程为：，即4x2+y2=1：（Ⅱ）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x2+（x+m）2=1即：5x2+2mx+m2﹣1=0，△=（2m）2﹣4×5×（m2﹣1）=﹣16m2+20≥0解得：﹣≤m≤．（Ⅲ）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+2mx+m2﹣1=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|AB|===；∴m=0．∴直线的方程为y=x．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。