信号：我们人类得到的从自己感知中得到消息，并通过大脑分析得出我们要的信息。而其中消息的传递就需要信号，信号可以是图像、声音还有其他感觉，但是所有信号都是以波的形式在介质中传播。而机械中的消息则是通过电信号的形式而传播。最基本的波：正弦波，因为只有一个周期；而理论证明所有的波，都可以用正弦波叠加而成。我们把这种周期性的波的周期倒数称为频率，这样我们就可以不用在时间上分析波的形态而可以在频率上做研究来分析波的性质。而不同的信号形式把分解成正弦波的方法不同。
时间函数 频率函数
连续和非周期 非周期和连续(FT)
连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) (FS)
离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续 (DTFT)
离散(T)和周期(N) 周期(N)和离散 (w=2π/N) (DFS)
离散(T)和有限长 周期(Ωs=2π/T) 和离散 (w=2π/N) (DFT)
概念：
模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s；周期：经过2*pi需多长时间，单位s。
模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s；
数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad；周期：经过2*pi需多少个点，单位1。关系：Ω=2pi*f；w = Ω*T= 2/N。（T为采样间隔时间,N为一个周期的采样点）
各种函数的关系
FS（离散非周期函数）通过Ω = 2f 将时域信号联系到频域中，它是研究连续周期信号
在nΩ角频率处的分量的大小（频谱）
FT（连续非周期函数）通过Ω = 2f 将时域信号联系到频域中，它是研究连续非周期
信号在各个角频率处的分量的大小（频谱）的密度函数
（因为离散信号是连续信号的取样而成，这导致频谱周期性搬移，所以离散信号的频谱是周
期函数，如果信号时周期信号，因为这相当于我们把一个周期内信号进行搬移，也就是我
们在频域中进行采样，所以频谱是离散的）
DFS（离散周期函数） 通过w = Ω*T（T为采样间隔时间），它是研究离散周期信号，
傅里叶变换
傅里叶变换是一个概括的复杂的傅里叶级数在极限。代替离散与连续而让。然后改变一个求和积分和方程
(1)
(2)
在这里,
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被称为远期(傅里叶变换),
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(6)
被称为逆(傅里叶变换)。的符号介绍了Trott(2004,p .第23),然后呢和有时也用来表示傅里叶变换和傅里叶反变换,分别(“将军”1999年,p . 1999)。
注意,一些作者(特别是物理学家)更愿意编写转换角频率而不是振荡频率。然而,这破坏了对称,导致转换
(7)
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(9)
(10)
恢复的对称变换,该公约
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(13)
(14)
有时使用(马修斯和沃克1970,p . 102)。
一般来说,傅里叶变换可以定义使用两个任意常数和作为
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(16)
傅里叶变换的一个函数是实现了Wolfram语言作为FourierTransform(f,x,k),不同的选择和可以通过使用可选FourierParameters - >一个,b选择。默认情况下,Wolfram语言以FourierParameters为。不幸的是,许多其他约定在广泛使用。例如,在现代物理学中,使用使用在纯数学和系统工程,概率论中使用的计算特征函数,在经典物理学,用于信号处理。在这工作,后Bracewell(1999年,页6 - 7),它总是假定和,除非另有说明。这种选择往往导致大大简化变换等常见功能1,等。
因为任何函数都可以分成甚至和奇怪的部分和 ,
(17)
(18)
傅里叶变换可以表达的傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换作为 (19)
一个函数有一个向前和傅里叶反变换,这样吗
(20)
前提是
1。的存在。
2。有有限数量的不连续性。
3所示。函数有界变差。一个足够的较弱的条件是满足的李普希兹条件
(拉米1985年,p . 29)。的一个函数(即更平稳。,连续的数量衍生品其傅里叶变换),更紧凑。
傅里叶变换是线性的,因为如果和有傅里叶变换和,然后
2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)
R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故
这时R()=0，于是
可编辑
精品文档，欢迎下载 §3–4 傅里叶变换的性质
设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数，
则有如下性质：
一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) +
α2 F2(jω)
二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω)
证明：
将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，
或：
，
即：F(jt)←→2π f(-ω)
P.67例3-3：已知
，
再令
==> ←→2πG(-ω)
三、尺度变换：
(α≠0的实数)
可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。
推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω)
四、时移性：
(此性质易由傅氏变换的定义证得)
推论(同时具有尺度变换与时移)：
P.69-70例3-4请大家浏览。 可编辑
精品文档，欢迎下载 五、频移性： 可编辑
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(此性质易由傅氏变换的定义证得)
π.70例3-5请大家浏览。
频移性的重要应用——调制定理：
欧拉公式
?
例如门信号的调制：
可编辑
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显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。
六、时域卷积：
f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)
证明：
时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：
时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Yf(jω) = F(jω)H(jω)
七、频域卷积： f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]
八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容)
推论:
条件：
例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω
九、时域积分性： 可编辑
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证：
故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。
