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高二培优讲义空间向量在立体几何中的应用

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(2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值． [自主解析] (1)以 A 为原点， AB ， AD ， AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 建立空间直角坐标系， 则 D(0,3,0)、 D1(0,3,2)、 E(3,0,0)、 F(4,1,0)、 C1(4,3,2)， 于是 DE ＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)． 设 n＝(x，y,2)为平面 C1DE 的法向量， n⊥ DE 3x－3y＝0 ⇒ ⇒x＝y＝－1， n⊥ EC1 x＋3y＋2×2＝0 轴的正方向
例题辨析
[例 1] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1 分别是棱 AA1，BB1，A1B1 的中点． (1)求证：CE∥平面 C1E1F； (2)求证：平面 C1E1F⊥平面 CEF. [自主解析] 以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 BC＝1， 1 1， ，2. 则 C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1 2 (1)设平面 C1E1F 的法向量 n＝(x，y，z)． 1 ∵ C1 E1 ＝ 1，－2，0， FC1 ＝(－1,0,1)， 1 C1 E1 ＝0， x－2y＝0， n· ∴ 即 n · ＝ 0 ， FC 1 －x＋z＝0. 取 n＝(1,2,1)． ∵ CE ＝(1，－1,1)，n· CE ＝1－2＋1＝0， ∴ CE ⊥n. 又∵CE⊄平面 C1E1F， ∴CE∥平面 C1E1F. (2)设平面 EFC 的法向量为 m＝(a，b，c)， 由 EF ＝(0,1,0)， FC ＝(－1,0，－1)，
(2)设 EC1 与 FD1 所成的角为 β，则 cos β＝
EC1 · FD1 | EC || FD | 1 1
＝
21 1×－4＋3×2＋2×2 12＋32＋22× －42＋22＋22＝ 14 .
1 变式练习 2．(2012· 新课标全国卷)如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC＝ AA1， 2
第九讲
教学目标：
空间向量在立体几何中的应用
1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量方法证明线线平行、垂直；线面平行、垂直；面面平行、垂直； 3.能用向量方法求解线面角、二面角；
一、知识点
知识点 1．两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线 l⊥平面 α， 取直线 l 的方向向量， 则这个向量叫做平面 α 的法向量． 显然一个平面的法向量有无数个， 它们是共线向量． 知识点 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 直线 l1， l2 的方向向 量分别为 n1，n2. 直线 l 的方向向量 为 n，平面 α 的法 向量为 m 平面 α、 β 的法向量 分别为 n，m. 知识点 3.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝ b 所成的角)． 知识点 4．直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |n· e| . |n||e| |a· b| (其中 φ 为异面直线 a， |a||b| l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β 向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1· n2＝0 n⊥m⇔m· n＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n· m＝0
知识点 5．求二面角的大小 (1)如图①， AB、 CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线， 则二面角的大小 θ＝ 〈 AB ， ． CD 〉
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ＝〈n1， n2〉(或 π－〈n1，n2〉)． 知识点 6．点到平面的距离的向量求法 如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α | AB · n| 的距离 d＝ . |n|
设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
则
CM · n＝3x＋ 3y＝0， MN · n＝－x＋ 2z＝0，
取 z＝1，
则 x＝ 2，y＝－ 6，∴n＝( 2，－ 6，1)． ∴点 B 到平面 CMN 的距离 |n· MB | 4 2 d＝ ＝ . |n| 3
变式练习 3．已知正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别为 中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2.求点 B 到平面 EFG 的距离． 解：如图所示，以 C 为原点，CB、CD、CG 所在直线分别为 x、 直角坐标系 O－xyz. 由题意知 B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)，
∴ AF ⊥ CD ， AF ⊥ ED . 又 CD∩DE＝D， ∴ AF ⊥平面 CDE， 即 AF⊥平面 CDE. 又 AF∥平面 BCE， ∴平面 BCD⊥平面 CDE. [例 2] 如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 已知 AB＝4， AD＝3， AA1＝2.E、 段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1. (1)求二面角 C－DE－C1 的正切值； F 分别是线
| BE · n| cos〈 BE ，n〉 ＝ d＝ | BE |· |n|
|
|
＝
0，2，0· 1，1，3 2 11 ＝ 11 . 11
三、归纳总结
方法在握
归纳 2 种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法 ①线线平行：证明两直线的方向向量共线． ②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； b．证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． ③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量； b．转化为线面平行、线线平行问题． (2)用向量证明垂直的方法 ①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． ③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3 种角——利用向量法求三种角的问题 在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均 可归结为两个向量的夹角． (1)求两异面直线 a、b 的夹角 θ，须求出它们的方向向量 a，b 的夹角，则 cos θ＝|cos〈a，b〉|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ 可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角．则 sin θ＝|cos〈n，a〉|. (3)求二面角 αlβ 的大小 θ，可先求出两个平面的法向量 n1，n2 所成的角， 则 θ＝〈n1，n2〉或 π－ 〈n1， n2 〉 ． 1 个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、β 的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在 图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的 内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这 是利用向量求二面角的难点、易错点.
BD ＝0， x－y＋z＝0， n· 则 即 z＝0， n·A1 D ＝0，
可取 n＝(1,1,0)．
BD ＝0， m· 同理，设 m 是平面 C1BD 的法向量，则 DC1 ＝0， m·
可取 m＝(1,2,1)． 从而 3 n· m n，m ＝ ＝ . |n|· |m| 2
D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角 A1BDC1 的大小．
1 解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1.又 AC＝ AA1， 2
2 可得 DC1 ＋DC2＝CC2 1，所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1，且 BC⊥CC1，则 BC⊥平面 ACC1，所以 CA，CB， 互垂直． 以 C 为坐标原点，CA 的方向为 x 轴的正方向，| CA |为单位长，建立 空间直角坐标系 C－xyz. 由题意知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)． 则 A1 D ＝(0,0，－1)， BD ＝(1，－1,1)， DC1 ＝(－1,0,1)． 设 n＝(x，y，z)是平面 A1B1BD 的法向量， 如图所示的 CC1 两两相
AB，AD 的
y、 z 轴建立空间
BE ＝(0,2,0)， GE ＝(4,2，－2)， EF ＝(－2,2,0)．
设平面 GEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则有
GE ＝0， n· 2x＋y－z＝0， 即 EF ＝0， －x＋y＝0， n·
令 x＝1，则 y＝1，z＝3， ∴n－BD－C1 的大小为 30° .
[例 3] 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA ＝SC＝2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示，求点 B 到平面 CMN 的距离． [自主解答] 取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC，
EF ＝0， m· b＝0， ∴ 即 FC ＝0， m· －a－c＝0.
取 m＝(－1,0,1)． ∵m· n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面 C1E1F⊥平面 CEF.

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知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算

知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算

知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。

在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。

本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。

第一种方法是点到点距离的计算。

设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。

设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。

第三种方法是点到平面距离的计算。

设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。

需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。

综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。

这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。

空间向量在立体几何中的作用

空间向量在立体几何中的作用

空间向量在立体几何中的作用摘要：在数学教学内容中，有一个数学知识点，叫空间向量知识，此知识内容具备数形结合特点，多将其运用在立体几何题目当中，可算作一个较为有力的工具。

目前，高考数学中对空间向量几何图形应用题目考察力度在不断增加，此相关数学题目在高考中所占比重也较高。

在新课改制度下，空间向量知识已经成为理科学生所必需学习的内容，这也体现空间向量知识的作用性。

基于此，本文对空间向量法在立体几何中的作用以及应用进行以下分析，从而为高中空间向量立体几何有效教学奠定理论基础。

关键词：空间向量；立体几何；作用前言：关于空间向量方法在立体几何中的运用，是在一系列的理论知识推理当中转换成一种代数运算形式，构建“图形—数理—图形”的新方法，并在数理推算以及几何证明过程当中，可建立空间直角坐标系，再把几何图形当中相关的点以坐标轴的形式表现，相关的线段用空间向量进行表示。

其中，立体几何空间向量构建形式是与平面向量相同，只不过是将平面向量在立体几何当中体现出来，学生更能够直观地在题目中进行有效应用。

一、空间向量法在立体几何中的重要作用空间向量方法，是一种数学应用方法，可将其运用在几何图形当中，从中解答相关题目。

向量这一概念，体现在近代数学教学中，与数学中几何知识、数理知识以及三角知识都有所融合，而且空间向量可以当作一种数学工具，能够处理几何知识问题。

关于空间向量法在立体几何中的重要作用：立体几何中应用空间向量方法，能够对几何问题进行处理，并在某种层面上提供了新的视角；立体几何当中引入空间向量方法，为解决三维空间中的图形位置关系与度量问题提供了有利条件；空间向量方法一般都是以立体几何图形为载体的，并能够落实在几何应用当中，从而有利于判定空间几何图形之间的位置关系，也有利于度量几何空间角度。

空间向量法应用在立体几何图形当中，能够促使学生更加清晰的分析图形问题，有利于学生快速解决一些数学问题，从而提高学生做题效率。

另外，空间向量法与几何图形相联系，属于两种知识点的融合，这在一定程度上有利于学生数学转换思维能力提升，促使学生能够深入掌握数学学习方法，从而也能够提高学生综合数学应用能力。

课件高二数学_人教版选修利用空间向量解决立体几何问题PPT课件_优秀版

课件高二数学_人教版选修利用空间向量解决立体几何问题PPT课件_优秀版

x 取x=1,z则y=-1,z=1,所以
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z) （I）求证：AO⊥平面BCD；
C
取x=1,则y=-1,z=1,所以
2x2y 0 当E,F在公垂线同一侧时取负号
F （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； n E F ， n E G 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.
A A E A ,A A A F < EA, AF >=π—θ（或θ）， l 2 E A 2 A A 2 A F 2 2 E A A F
m 2 d 2 n 2 2 m n c o s
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
dl2m 2n 22m ncos
练习
C
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用；
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1) 当此E题,F用在找公公垂垂线线同的一方侧法时比取较负难号下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决A立体几何问题的优越性 B
在C两E与直A线B1上的各距取离点d C|,nA|•,nC|AC |A2(13,30,.0).
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用；
| nBE| 2 11 例4、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离 d . （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
n 11 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离
取x=1,则y=-1,z=1,所以
③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 利用空间向量解决立体几何问题
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
【最新】高中数学-知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(基础)

【最新】高中数学-知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(基础)

空间向量在立体几何中的应用编稿：孙永钊 审稿: 张林娟【考纲要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一、空间向量 1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

要点诠释：⑴ 空间的一个平移就是一个向量。

⑵ 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。

⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 。

3.向量的数量积（1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（2）空间向量数量积的性质：① ||cos ,a e a a e ⋅=<>； ② 0a b a b ⊥⇔⋅=； ③ 2||a a a =⋅．（3）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅（交换律）；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。